大問１
（１） \( 5-2 \times (-7) \) を計算しなさい。
（２） \( 3(a+b)-(a-4b) \) を計算しなさい。
（３） \( a=4，b=-5 \) のとき，\( 9a^2b \div (-3a) \) の値を求めなさい。
（４） \( \sqrt{48}-\dfrac{6}{\sqrt{3}} \) を計算しなさい。
（５） \( 9a^2-25b^2 \) を因数分解しなさい。
（６） 関数 \( y=2x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域を求めなさい。
\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) は最大値をとります。
この問題では，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) で
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは
\( x=2 \) のときで，このとき \( y \) の値（最大値）は，
\( y=2 \times 2^2=8 \)
よって，求める \( y \) の変域は，
\( 0≦y≦8 \)
になります。
（７） 関数 \( y=-\dfrac{3}{x} \) のグラフをかきなさい。
反比例のグラフは原点に対して点対称な２本の曲線でできています。
\( y=-\dfrac{3}{x} \) に
\( x=1 \) を代入すると \( y=-\dfrac{3}{1}=-3 \)
\( x=3 \) を代入すると \( y=-\dfrac{3}{3}=-1 \)
\( x=-1 \) を代入すると \( y=-\dfrac{3}{-1}=3 \)
\( x=-3 \) を代入すると \( y=-\dfrac{3}{-3}=1 \)
となるので，
\( (x，y)=(1，-3)，(3，-1) \) をつないだ曲線と
\( (x，y)=(-1，3)，(-3，1) \) をつないだ曲線
の２本の曲線が求める曲線になります。
（８） \( 1 \) から \( 6 \) までの目が出る２つのさいころＡ，Ｂを同時に投げる。さいころＡの出る目の数を十の位の数，さいころＢの出る目の数を一の位の数としてできる２けたの自然数が \( 4 \) の倍数になる確率を求めなさい。
ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。
さいころＡ，Ｂの出る目の組み合わせと
そのときにできる２けたの自然数を表に書き出し，
\( 4 \) の倍数になっているところに 〇 をつけます。
\( 4 \) の倍数になる組み合わせは \( 9 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4} \)
（９） 白の碁石だけがたくさん入っている袋がある。この袋に白の碁石と同じ大きさの黒の碁石を \( 50 \) 個入れてよくかき混ぜ，この袋から \( 30 \) 個の碁石を無作為に抽出したところ，黒の碁石は \( 6 \) 個であった。
この袋に入っている白の碁石の個数は，およそ何個と推定できるか答えなさい。
母集団に含まれる調査対象の割合（比率）と標本に含まれる調査対象の割合（比率）は等しい
と考えることができます。
袋に入っている碁石の個数（白と黒の合計）を \( x \) 個とすると，
袋の中の \( x \) 個の碁石のうち，黒の碁石は \( 50 \) 個
取り出した \( 30 \) 個の碁石のうち，黒の碁石は \( 6 \) 個
であり，これらの割合は等しいので，
\( \dfrac{50}{x}=\dfrac{6}{30} \)
\( 6x=1500 \)
\( x=250 \)
となり，袋に入っている碁石の個数は，およそ \( 250 \) 個と推定されます。
この中に黒の碁石が \( 50 \) 個入っているので，白の碁石の個数は，およそ \( 200 \) 個と推定されます。
大問２
希さんは，Ｋ中学校の１年生，２年生，３年生のそれぞれの生徒を対象に，１日あたりの睡眠時間について調査した。
表は，Ｋ中学校の各学年のデータをそれぞれ度数分布表に整理したものである。
図は，Ｋ中学校の各学年のデータをそれぞれ箱ひげ図に表したものである。
次の（１）～（３）に答えなさい。
（１） 表において，各学年のデータの最頻値のうち，データの最頻値が最も大きい学年をかき，その学年のデータの最頻値を求めなさい。
（２） 表や図から読みとれることとして，正しいことを述べているものを，次のア～エから全て選び，記号をかきなさい。
ア Ｋ中学校で，睡眠時間が最も短い生徒は，２年生の中にいる。
イ １年生において，睡眠時間が最も長い生徒と最も短い生徒で，\( 5 \) 時間以上の差がある。
ウ １年生と２年生において，睡眠時間が \( 9.5 \) 時間以上の生徒の人数は，２年生の方が
１年生より多い。
エ ３年生の生徒の睡眠時間を短い順に並べたとき，\( 21 \) 番目の生徒の睡眠時間は，\( 6.5 \) 時間
である。
箱ひげ図から，最小値が最も左（小さい方）にあるので，正しい。
イ
箱ひげ図から，睡眠時間が最も短い生徒の睡眠時間（最小値）は，\( 5.5 \) 時間です。
睡眠時間が最も長い生徒との差が \( 5 \) 時間以上あるとすると，
睡眠時間が最も長い生徒の睡眠時間（最大値）は，\( 5.5+5=10.5 \) 時間以上の値になります。
箱ひげ図から，最大値は，\( 10.5 \) 時間未満なので，差は \( 5 \) 時間未満であり，正しくありません。
ウ
【１年生で睡眠時間が \( 9.5 \) 時間以上の生徒の人数】
箱ひげ図から，第３四分位数は \( 9.5 \) 時間になっています。
１年生は，全部で \( 79 \) 人いるので，第３四分位数になるのは，
睡眠時間が長い方から \( 20 \) 番目の生徒の値です。
ここから，睡眠時間が長い方から \( 20 \) 番目の生徒の睡眠時間が \( 9.5 \) 時間なので，
睡眠時間が \( 9.5 \) 時間以上の生徒は \( \color{red}{20} \) 人以上
いることがわかります。
【２年生で睡眠時間が \( 9.5 \) 時間以上の生徒の人数】
箱ひげ図から，第３四分位数が約 \( 8.2 \) 時間になっています。
２年生は，全部で \( 66 \) 人いるので，第３四分位数になるのは，
睡眠時間が長い方から \( 17 \) 番目の生徒の値です。
ここから，睡眠時間が長い方から \( 17\) 番目の生徒の睡眠時間が \( 8.2 \) 時間なので，
睡眠時間が \( 9.5 \) 時間以上の生徒は \( \color{blue}{17} \) 人未満
であることがわかります。
以上より，睡眠時間が \( 9.5 \) 時間以上の生徒の人数は，
１年生の方が２年生より多いので，正しくありません。
エ
箱ひげ図から，第１四分位数が \( 6.5 \) 時間になっています。
３年生は，全部で \( 83 \) 人いるので，第１四分位数になるのは，
睡眠時間が短い方から \( 21 \) 番目の生徒の値です。
よって短い方から \( 21 \) 番目の生徒の睡眠時間は \( 6.5 \) 時間であり，正しい。
（３） 表をもとに，睡眠時間が \( 7 \) 時間未満の生徒の割合が最も大きいのは，どの学年であるかを，累積相対度数を用いて説明しなさい。
ただし，累積相対度数は四捨五入して小数第２位まで求めるものとする。
大問３
\( A \)「\( 2 \) をひく」，\( B \)「\( 2 \) 倍する」，\( C \)「\( 2 \) 乗する」,\( D \)「はじめの数をひく」という計算方法がかかれた４個の玉 \( A，B，C，D \) が袋に入っている。
この袋の中の玉を使って，次の手順によって，計算結果を求める。
➀ 袋の中から玉を１個ずつ３回続けて取り出し，取り出した順に左から並べる。
ただし，取り出した玉は袋にもどさない。
➁ はじめの数を１つ決める。
➂ はじめの数に対して，左の玉にかかれた計算を行う。
➃ ➂で求めた数に対して，真ん中の玉にかかれた計算を行う。
➄ ➃で求めた数に対して，右の玉にかかれた計算を行う。
図は，例えば，玉が \( A，B，C \) の順に並んだ場合，はじめの数が \( 1 \) のとき，計算結果は \( 4 \) になることを表している。
下の会話文は，明さんと光さんが，手順によって，計算結果を求め，はじめの数，玉の並び方，計算結果の関係について話し合った内容の一部である。
明さん：玉が \( A，B，C \) の順に並んだ場合，はじめの数が \( 5 \) のとき，計算結果は Ｐ になるよ。
光さん：そうだね。はじめの数は \( 5 \) のままで，玉が \( B，A，C \) の順に並んだ場合，計算結果は \( 64 \) に
なるので，はじめの数は変えずに，玉の並び方が変わると，計算結果は変わりそうだね。
明さん：他にも，玉は \( B，A，C \) の順に並んだままで，はじめの数を \( 3 \) に変えると，計算結果は \( 16 \) に
なるよ。このことから,玉の並び方が変わらずに，はじめの数を変えると，計算結果は変わりそうだね。
光さん：でも，調べてみたら，はじめの数をどんな数に変えても，計算結果が常に同じ数になる玉の
並び方があるかもしれないよ。
明さん：どんな並び方かな。文字式を使って調べてみようよ。
次の（１）～（４）に答えよ。
（１） 手順➀において，玉の並び方は全部で何通りあるか求めなさい。
（２） Ｐ にあてはまる数を求めなさい。また，玉が \( A，B，D \) の順に並んだ場合，計算結果が \( 10 \) になるときの，はじめの数を求めなさい。
【はじめの数】
はじめの数を \( n \) とすると，\( A \) の計算（\( 2 \) をひく）をした結果は \( n-2 \) と表すことができます。
続いて \( B，D \) の計算もした結果は，
\( B \) の計算（\( 2 \) 倍する）をした結果 ･･･ \( (n-2) \times 2=2(n-2) \)
\( D \) の計算（はじめの数をひく）をした結果 ･･･ \( 2(n-2)-n=n-4 \)
と表すことができるので，計算結果が \( 10 \) になるとき，
\( n-4=10 \)
\( n=14 \)
（３） 明さんと光さんが，下線部について調べた結果，玉の並び方にはいずれも \( D \) がふくまれていることがわかった。その並び方のうち，真ん中の玉が \( D \) のときの玉の並び方と計算結果について，次のようにまとめた。
真ん中の玉が \( D \) のとき，はじめの数をどんな数に変えても計算結果が常に同じ数になる玉の並び方と，そのときの計算結果の組み合わせは，次の２通りである。
\( \phantom{} \)
Ⅰ 玉が ア ，\( D \)， イ の順に並んだ場合，計算結果は常に Ｑ になる。
Ⅱ 玉が ウ ，\( D \)， エ の順に並んだ場合，計算結果は常に Ｒ になる。
ア ～ エ にあてはまる記号を，それぞれ \( A，B，C \) から選んでかきなさい。
また， Ｑ ， Ｒ にあてはまる数を求めなさい。
はじめの数を \( n \) として左・中・右の３つの計算をした結果が \( n \) を含まないことになります。
真ん中の玉が \( D \) のとき，３つの玉の並び方は全部で６通りになります。
それぞれの場合について，左・中・右の３つの計算をした結果は，
左の玉が \( A \) の場合，
左の玉が \( B \) の場合，
左の玉が \( C \) の場合，
となるので，はじめの数をどんな数に変えても計算結果が常に同じ数になのは，
３つの玉が \( A，D，B \) の順に並ぶときと \( A，D，C \) の順に並ぶときの２通りになります。
（４） 玉が \( A，C，B \) の順に並んだ場合と，玉が \( B，C，A \) の順に並んだ場合について，はじめの数が同じ数で，それぞれの計算結果が等しくなるときの，はじめの数を全て求めなさい。
\( A，C，B \) の順に並んだ場合の計算結果は，\( 2(n-2)^2 \)
\( B，C，A \) の順に並んだ場合の計算結果は，\( 4n^2-2 \)
と表すことができるので，これらの計算結果が等しくなるのは，
\( 2(n-2)^2=4n^2-2 \)
\( (n-2)^2=2n^2-1 \)
\( n^2-4n+4=2n^2-1 \)
\( n^2+4n-5=0 \)
\( (n-1)(n+5)=0 \)
\( n=1，-5 \)
大問４
Ａ駅，Ｂ駅，Ｃ駅がこの順に一直線の線路上にあり，Ａ駅からＢ駅までは \( 4800 \; m \)，Ａ駅からＣ駅までは \( 7200 \; m \) 離れている。電車Ｐは，午前 \( 8 \) 時にＡ駅を出発し，Ｂ駅に向かって一定の速さで \( 12 \) 分間進み，Ｂ駅に到着した。Ｂ駅で \( 3 \) 分間停車した後，Ｂ駅からＣ駅まで分速 \( 480 \; m \) で進み，午前 \( 8 \) 時 \( 20 \) 分にＣ駅に到着した。
図は，午前 \( 8 \) 時から \( x \) 分後に電車ＰがＡ駅から \( y \; m \) 離れているとするとき，午前 \( 8 \) 時から午前 \( 8 \) 時 \( 20 \) 分までの \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。
次の（１）～（４）に答えなさい。
（１） 電車ＰがＡ駅から \( 3000 \; m \) 離れているのは，電車ＰがＡ駅を出発してから何分何秒後か求めなさい。
下のグラフの赤の部分の直線は \( 0≦y≦4800 \) の範囲を表していることから，
\( y=3000 \) となる点は，この赤の部分の直線上の点になります。
赤の部分の直線は，原点と \( (12，4800) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{4800-0}{12-0}=400 \)
であり，この直線の式は \( y=400x \) になります。
ここに \( y=3000 \) を代入すると，
\( 3000=400x \)
\( x=\dfrac{15}{2} \)
なので，\( \dfrac{15}{2} \) 分後になります。
\( \dfrac{15}{2} \) 分後を \( \dfrac{15}{2}=7+\dfrac{1}{2} \) 分後と考えると，
\( \dfrac{1}{2} \) 分は，\( 1 \) 分（\( =60 \) 秒）の半分なので \( 30 \) 秒。
つまり，\( 7 \) 分 \( 30 \) 秒後になります。
（２） 次のア～エの表のうち，電車Ｐの午前 \( 8 \) 時 \( 16 \) 分から午前 \( 8 \) 時 \( 18 \) 分までの \( x \) と \( y \) の関係を正しく表したものが１つある。それを選び，記号をかきなさい。
Ｂ駅では \( 3 \) 分間停車したので，緑の部分の右端の \( x \) 座標は，\( 12+3=15 \) になります。
ここから，\( x=16，17，18 \) の点は，青の部分の直線上の点であることがわかります。
Ｂ駅からＣ駅まで分速 \( 480 \; m \) で進んだので，青の直線の傾きは \( 480 \) です。
青の直線は，\( x=15，y=4800 \) を通っていて，ここから \( x \) の値が \( 1 \) 増えるごとに
\( y \) の値は \( 480 \) ずつ増えていくので，
となり，正しい表は エ になります。
（３） 電車Ｑは，午前 \( 8 \) 時 \( 4 \) 分にＡ駅を出発し，Ａ駅からＣ駅まで一定の速さで進む。電車Ｑは，電車ＰがＢ駅に到着した後にＢ駅を通過し，電車Ｐより早くＣ駅に到着した。
このときの電車Ｑの速さについて，次のようにまとめた。
電車Ｑの速さは，分速 ア \( m \) より速く，分速 イ \( m \) より遅い。ただし， ア は，あてはまる数のうち最も小さい数， イ は，あてはまる数のうち最も大きい数である。
ア ， イ にあてはまる数を求めなさい。
電車Ｑは，午前 \( 8 \) 時 \( 4 \) 分にＡ駅を出発したので，\( (x，y)=(4，0) \) を通ります。
電車Ｑは，電車ＰがＢ駅に到着した後にＢ駅を通過したので，\( (x，y)=(12，4800) \) より右側を通ります。
\( (x，y)=(12，4800) \)を通るときの電車Ｑのグラフを赤の線で示しています。
さらに，電車Ｑは，電車Ｐより早くＣ駅に到着したので，\( (x，y)=(20，7200) \) より左側を通ります。
\( (x，y)=(20，7200) \)を通るときの電車Ｑのグラフを青の線で示しています。
これらをまとめると，電車Ｑのグラフは，赤の線と青の線の間のどこかにあることになります。
このグラフでは，電車Ｑの速さは，直線の傾きと等しくなるので，
赤の線の場合の速さ（傾き） \( =\dfrac{4800-0}{12-4}=600 \)
碧の線の場合の速さ（傾き） \( =\dfrac{7200-0}{20-4}=450 \)
よって，「電車Ｑの速さは，分速 \( 450 \; m \) より速く，分速 \( 600 \; m \) より遅い」ことになります。
（４） 電車Ｒは，午前 \( 8 \) 時 \( 14 \) 分にＣ駅を出発し，Ａ駅に向かって一定の速さで進み，Ｂ駅とＣ駅の間で電車Ｐとすれちがい，午前 \( 8 \) 時 \( 24 \) 分にＡ駅とＢ駅の間で，Ａ駅から \( 4000 \; m \) 離れている地点を通過する。
このとき，電車Ｒが電車Ｐとすれちがったのは，午前 \( 8 \) 時何分何秒か求めなさい。
電車Ｒのグラフは，\( (14，7200) \) を通ります。
また，午前 \( 8 \) 時 \( 24 \) 分にＡ駅とＢ駅の間で，
Ａ駅から \( 4000 \; m \) 離れている地点を通過するので，
電車Ｒのグラフは，\( (24，4000) \) を通ります。
このとき，電車Ｒのグラフの式を \( y=ax+b \) とすると，
\( a=\dfrac{4000-7200}{24-14}=-320 \)
\( y=-320x+b \) に \( x=24，y=4000 \) を代入すると，
\( 4000=-320 \times 24+b \)
\( 4000=-7680+b \)
\( b=11680 \)
となり，電車Ｒのグラフの式は \( y=-320x+11680 \) になります。
電車Ｐの青の直線の傾きは \( 480 \) なので，
青の直線の式を \( y=480x+c \) として，\( x=15，y=4800 \) を代入すると，
\( 4800=480 \times 15+c \)
\( 4800=7200+c \)
\( c=2400 \)
となり，青の直線の式は \( y=480x+2400 \) になります。
電車Ｒが電車Ｐとすれちがった時間と場所は，これら２つの式を連立方程式とした解になるので，
\( \left\{ \begin{array}{}
y=-320x+11680 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
y=480x+2400 \;\; ･･･ \;\; ② \\
\end{array} \right. \)
②を➀に代入すると，
\( 480x+2400=-320x+11680 \)
\( 800x=14080 \)
\( x=\dfrac{88}{5} \)
であり，電車ＰがＡ駅を出発した午前 \( 8 \) 時から \( \dfrac{88}{5} \) 分後になります。
\( \dfrac{88}{5} \) 分を \( \dfrac{88}{5}=\left( 17+\dfrac{3}{5} \right) \) 分と考えると，
\( \dfrac{3}{5} \) 分は \( 60 \times \dfrac{3}{5}=36 \) 秒なので，
\( \dfrac{88}{5} \) 分は \( 17 \) 分 \( 36 \) 秒と表すことができます。
よって，電車Ｒが電車Ｐとすれちがった時間は，午前 \( 8 \) 時 \( 17 \) 分 \( 36 \) 秒になります。
大問５
円 \( O \) の円周上に５点 \( A，B，C，D，E \) をとり，五角形 \( ABCDE \) をつくる。
図１は，五角形 \( ABCDE \) において，点 \( B \) と点 \( E \) を結び，\( BE//CD \) となる場合を表している。
次の（１）～（３）に答えなさい。
（１） 図２は，図１において，五角形 \( ABCDE \) が，正五角形となる場合を表しており，点 \( A \) と点 \( C \) を結び，線分 \( AC \) と線分 \( BE \) との交点を \( G \) としたものである。
このとき，\( ∠AGE \) の大きさを求めなさい。
正五角形の１つの内角は \( 108° \) なので，
\( ∠BCD=108° \) であり，\( ∠BCA \) の大きさが
わかれば，\( ∠ACD \) の大きさを求めることが
できます。
\( △ABC \) に注目すると，\( BA=BC，∠ABC=108° \) の二等辺三角形
なので，
\( ∠BCA=\dfrac{180°-∠ABC}{2} \)
\( =\dfrac{180°-108°}{2} \)
\( =36° \)
よって，
\( ∠AGE=∠ACD=∠BCD-∠BCA \)
\( =108°-36° \)
\( =72° \)
（２） 図３は，図１において，点 \( A \) と点 \( C \)，点 \( A \) と点 \( D \) ，点 \( C \) と点 \( E \) を結び，線分 \( BE \) と線分 \( AC \)，線分 \( AD \) との交点をそれぞれ \( P，Q \) とし，線分 \( AD \) と線分 \( CE \) との交点を \( R \) としたものである。
図３において，\( △ABP \) ∽ \( △ADE \) であることを証明しなさい。
\( △ABP \) と \( △ADE \) において，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AE } \) に対する円周角なので，
\( ∠ABP=∠ADE \) ･･･ ➀
\( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角なので，
\( ∠BAP=∠BEC \) ･･･ ②
\( BE//CD \) より，錯角は等しいので，
\( ∠BEC=∠DCE \) ･･･ ➂
\( \stackrel{\huge\frown}{ DE } \) に対する円周角なので，
\( ∠DCE=∠DAE \) ･･･ ➃
②➂➃より，
\( ∠BAP=∠DAE \) ･･･ ➄
➀➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABP \) ∽ \( △ADE \)
（３） 図４は，図３において，\( ∠EAD=30° \)，
\( AP：PC=3：2 \)，線分 \( AC \) が円 \( O \) の直径と
なる場合を表している。
図４において，\( AE=6 \; cm \) のとき，円 \( O \) の直径を求めなさい。
線分 \( AC \) が円 \( O \) の直径であることから，
直径に対する円周角が \( 90° \)になることと
（２）から \( 30° \) になる角が複数存在していることに注目して解いていきます。
直径 \( AC \) に対する円周角なので，
\( ∠ADC=90° \)
\( BE//CD \) より，同位角は等しいので，
\( ∠AQP=∠ADC=90° \)
このとき，\( △AEQ \) は \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形なので，\( AE=6 \; cm \) より，
\( EQ=\dfrac{1}{2}AE=3 \; (cm) \)
\( AQ=\sqrt{3}EQ=3\sqrt{3} \; (cm) \)
また，\( ∠AQP=∠ADC=90°，∠A \) 共通より，
\( △APQ \) ∽ \( △ACD \) であり，
\( AP：PC=3：2 \) より，
\( AQ：AD=AP：AC=3：5 \)
であり，対応する辺の比は等しいので，
\( AQ：AD=3：5 \)
\( 3\sqrt{3}：AD=3：5 \)
\( 3AD=5 \times 3\sqrt{3} \)
\( AD=5\sqrt{3} \; (cm) \)
ここから，
\( QD=AD-AQ \)
\( =5\sqrt{3}-3\sqrt{3} \)
\( =2\sqrt{3} \; (cm) \)
次に，\( △EQR \) と \( △CDR \) に注目すると，どちらも \( 30°，60°，90° \) の直角三角形になっています。
\( △EQR \) において，\( EQ=3 \; cm \) であることから，
\( QR=\dfrac{1}{\sqrt{3}}EQ=\sqrt{3} \; (cm) \)
このとき，\( QD=2\sqrt{3} \; cm \) であることから，
\( DR=QD-QR \)
\( =2\sqrt{3}-\sqrt{3} \)
\( =\sqrt{3} \; (cm) \)
であり，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △EQR≡△CDR \)
対応する辺は等しいので，
\( CD=EQ=3 \; cm \)
\( △ACD \) において，\( AD=5\sqrt{3} \; cm，CD=3 \; cm \) なので，
三平方の定理より，
\( AC^2=(5\sqrt{3})^2+3^2=84 \)
\( AC=2\sqrt{21} \; (cm) \)（\( AC>0 \) より）
大問６
図１は，底面 \( ABC \) が \( AB=4 \; cm， \)
\( BC=3 \; cm，
∠ABC=90° \) の直角三角形で，側面が全て長方形の三角柱 \( ABCDEF \) を表しており，\( AD=6 \; cm \) である。
次の（１）～（３）に答えなさい。
（１） 図１に示す三角柱の展開図が，次のア～エに１つある。それを選び，記号をかきなさい。
図１に示す三角柱は，
\( AB=DE=4 \; cm，BC=EF=3 \; cm， \)
\( ∠ABC=∠DEF=90° \)
になっています。
これをもとに，ア～エの展開図を見ていくと，
以下の理由により，ア，イ，エの展開図が正しくないと判断できます。
ア ･･･ \( △ABC \) が２つあるので正しくない
イ ･･･ \( ∠DFE=90° \) になっているので正しくない
エ ･･･ \( DE=3 \; cm，EF=4 \; cm \) になっているので正しくない
（２） 図１に示す三角柱において，辺 \( AB \) 上に点 \( P \) を，\( AP=1 \; cm \) となるようにとり，辺 \( CF \) 上に点 \( Q \) をとる。
\( PQ=5 \; cm \) のとき，三角錐 \( QABC \) の体積を求めなさい。
図１の三角柱 \( ABCDEF \) において，
辺 \( CF \) と面 \( ABC \) は垂直なので，
点 \( Q \) が辺 \( CF \) 上の点であることから，
線分 \( QC \) が三角錐 \( QABC \) の高さになります。
\( AB=4 \; cm，BC=3 \; cm，∠ABC=90° \) より，
三角錐 \( QABC \) の底面である \( △ABC \) の面積は
求められるので，高さ（線分 \( QC \) の長さ）が
わかれば，三角錐 \( QABC \) の体積を求められます。
\( PQ=5 \; cm \) であることから，線分 \( PC \) をひくと，\( △PQC \) は直角三角形であり，
線分 \( PC \) の長さがわかれば，三平方の定理を使って線分 \( QC \) の長さを求められます。
次に，\( △PCB \) に注目すると，\( AB=4 \; cm，AP=1 \; cm \) より，
\( PB=AB-AP=3 \; (cm) \)
であり，\( △PCB \) は，
\( PB=BC=3 \; cm，∠PBC=90° \)
の直角二等辺三角形なので，
\( PC=\sqrt{2}PB=3\sqrt{2} \; (cm) \)
\( △PQC \) において，三平方の定理より，
\( QC^2=PQ^2-PC^2 \)
\( =5^2-(3\sqrt{2})^2 \)
\( =7 \)
\( QC=\sqrt{7} \; (cm) \)（\( QC>0 \) より）
よって，三角錐 \( QABC \) の体積は，
\( \left(4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} \right) \times \sqrt{7} \times \dfrac{1}{3}=2\sqrt{7} \; (cm^3) \)
（３） 図２は，図１に示す三角柱において，辺 \( DE \) の中点を \( M \) とし，点 \( M \) と点 \( A \)，点 \( M \) と点 \( C \) を結んだものである。線分 \( MC \) 上に点 \( K \) を，\( KC=AC \) となるようにとり，線分 \( MA \) 上に点 \( L \) を，\( LK//AC \) となるようにとる。
このとき，\( △LAK \) の面積は，\( △MAC \) の面積の何倍か求めなさい。
\( △MAC \) に注目すると，\( LK//AC \) より，
\( △MLK \) ∽ \( △MAC \) なので，相似比がわかれば，
\( △MLK \) と \( △MAC \) の面積比，
\( △MLK \) と \( △LAK \) の面積比
を求めることができるので，
\( △LAK \) と \( △MAC \) の面積比も求めることができます。
図２の三角柱において，\( △ABC \) に注目すると，
\( AB=4 \; cm，BC=3 \; cm，∠ABC=90° \) より，
\( 3 \; cm，4 \; cm，5 \; cm \) の直角三角形なので，
\( AC=5 \; cm \)
\( △MEF \) に注目すると，
点 \( M \) は辺 \( DE \) の中点なので，\( ME=2 \; cm \)，
また，\( EF=3 \; cm，∠MEF=90° \) なので，
三平方の定理より，
\( MF^2=ME^2+EF^2 \)
\( =2^2+3^2 \)
\( =13 \)
（\( MF^2 \) の値だけが必要なので，\( MF \) の長さは求めません）
\( △MCF \) に注目すると，
\( MF^2=13，CF=6 \; cm，∠CFM=90° \) なので，三平方の定理より，
\( MC^2=MF^2+CF^2 \)
\( =13+6^2 \)
\( =49 \)
\( MC=7 \; (cm) \)（\( MC>0 \) より）
\( △MAC \) において，\( KC=AC \) より，
\( KC=AC=5 \; cm \)
また，\( MC=7 \; cm \) なので，
\( MK=MC-KC=2 \; (cm) \)
であり，\( △MLK \) と \( △MAC \) の相似比は
\( MK：MC=2：7 \)
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と
等しいので，\( △MLK \) と \( △MAC \) の面積比は
\( △MLK：△MAC=2^2：7^2=4：49 \) ･･･ ➀
\( △MLK \) の底辺を \( ML \)，\( △LAK \) の底辺を \( LA \)
と考えると，
\( △MLK \) と \( △LAK \) は，高さが共通なので，
面積比は，底辺の長さの比 \( ML：LA \) と
等しくなります。
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
\( ML：LA=MK：KC=2：5 \)
であり，
\( △MLK：△LAK=2：5=4：10 \) ･･･ ➁
➀➁より，
\( △LAK：△MAC=10：49 \)
\( 49△LAK=10△MAC \)
\( △LAK=\dfrac{10}{49}△MAC \)
よって，\( △LAK \) の面積は，\( △MAC \) の面積の \( \dfrac{10}{49} \) 倍になります。
