\( 8 \)

\( =11-3 \)
\( =8 \)

\( 12ab \)

\( =9a^2 \div 6a \times 8b \)
\( =\dfrac{9a^2 \times 8b}{6a} \)
\( =12ab \)

\( \dfrac{3x-13y}{10} \)

\( =\dfrac{5(x-y)}{10}-\dfrac{2(x+4y)}{10} \)
\( =\dfrac{5(x-y)-2(x+4y)}{10} \)
\( =\dfrac{5x-5y-2x-8y}{10} \)
\( =\dfrac{3x-13y}{10} \)

\( 9-7\sqrt{14} \)

\( =7+2\sqrt{14}+2-9\sqrt{14} \)
\( =9-7\sqrt{14} \)

\( 95 \)

\( 36a^2-b^2 \) を因数分解すると，
　\( 36a^2-b^2=(6a+b)(6a-b) \)
なので，\( a=8，b=47 \) を代入すると，
　\( (6 \times 8+47)(6 \times 8-47)=(48+47)(48-47) \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =95 \times 1 \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =95 \)

\( x=-2，10 \)

　 \( x^2-8x-20=0 \)
\( (x+2)(x-10)=0 \)
　　　　　　　 \( x=-2，10 \)

手順３と手順５の直線の交点が求める点 \( O \) になります。

【条件➀からわかること】
点と辺（線分・直線）の距離とは点から辺にひいた垂線の長さのことなので，
点 \( O \) が，２辺 \( BC，AC \) から等しい距離にあるとき，
点 \( O \) から２辺 \( BC，AC \) にひいた垂線の長さが等しくなります。

\( y=\dfrac{90}{x} \)

\( y \) を \( x \) の式で表すというのは，\( y=\boxed{　　} \) の形になるよう式で表すということです。

毎分 \( x \; L \) の割合で \( y \) 分間水を入れると満水（\( 90 \; L \)）になるので，
　\( xy=90 \)
　 \( y=\dfrac{90}{x} \)

\( \dfrac{7}{16} \)

最初に袋Ａから１の玉を取り出したとき，玉の個数が４個になった袋Ｂには，１，１，２，３の玉が入っています。
これらを２，３，４の玉を取り出したときについても考えると，玉の個数が４個になった袋Ｂに入っている玉は次のようになります。

これをもとに，袋Ａ，Ｂから取り出した玉の組み合わせを樹形図に書き出すと，
袋Ａから取り出した玉に書いてある数と，袋Ｂから取り出した玉に書いてある数が
同じである組み合わせは \( 7 \) 通り，すべての組み合わせは \( 16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{7}{16} \)

今年の１月の二酸化炭素の排出量 ･･･ \( 256 \; kg \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量 ･･･ \( 242 \; kg \)

昨年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，昨年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
0.8x+1.1y=498 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
0.2x-0.1y=42 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➀ \( \times 10 \) すると，
　\( 8x+11y=4980 \) ･･･ ➀’
➁ \( \times 40 \) すると，
　\( 8x-4y=1680 \) ･･･ ➁’
➁’\( – \) ➀’すると，
　\( 15y=3300 \)
　　\( y=220 \)
➁’に代入すると，
　\( 8x-4 \times 220=1680 \)
　　　　　　 \( 8x=2560 \)
　　　　　　　\( x=320 \)
となり，昨年の１月の二酸化炭素の排出量は \( 320 \; kg \)，
昨年の２月の二酸化炭素の排出量は \( 220 \; kg \)
なので，今年の１月の二酸化炭素の排出量は
　\( 0.8 \times 320=256 \; (kg) \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は
　\( 1.1 \times 220=242 \; (kg) \)

通常の連立方程式の問題の考え方では，
今年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，今年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) としますが，
今回は昨年の排出量の表し方がややこしくなり，間違えやすくなってしまうので，
昨年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，昨年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) とするのが
おすすめです。

今年の１月の二酸化炭素の排出量は，昨年の１月より \( 20\% \) 減少しているので，
昨年から今年の１月の二酸化炭素の排出量の減少分は，\( 0.2x \)
今年の１月の二酸化炭素の排出量は，\( 0.8x \)

今年の２月の二酸化炭素の排出量は，昨年の２月より \( 10\% \) 増加しているので，
昨年から今年の２月の二酸化炭素の排出量の増加分は，\( 0.1y \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は，\( 1.1y \)
と表すことができます。

ここから，
今年の１月と２月の，二酸化炭素の排出量の合計は \( 0.8x+1.1y \) と表すことができ，
これが \( 498 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.8x+1.1y=498 \) ･･･ ➀

次に，昨年から今年で１月と２月の二酸化炭素の排出量の合計は \( 42 \; kg \) 減少していたので，
昨年から今年の二酸化炭素の排出量の合計の減少分は \( 0.2x-0.1y \) と表すことができ，
これが \( 42 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.2x-0.1y=42 \) ･･･ ➁

となります。

１つの面を下じきと考え，２つの面（２枚の下じき）が垂直になるとき，
交わっている２つの面（２枚の下じき）が直線に見える（青の直線が点に見える）向きから見ると，
２本の直線が垂直に交わるように見えます。

四角形 \( ADEG \) を，辺 \( BE \) を軸として１回転させてできる立体は，
下の図のような円柱から円すいを取り除いた形になります。

線分 \( MN \) は斜めになっていて計算しにくそうなので，
線分 \( MN \) を通る平面上で計算しやすい形をつくることを考えます。

点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( P \)，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( Q \)
とし，この三角柱を面 \( ADLK \)，点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面 で切断すると，
下の図のような三角柱が残り，この三角柱の中に直角三角形 \( NPM \) ができます。

ここから，線分 \( MP \) と \( NP \) の長さを求めることができれば，
三平方の定理を使って線分 \( MN \) の長さを求められます。

以上より，\( △NPM \) において，三平方の定理より，
　\( MN^2=MP2+PN^2 \)
　　　　\( =2^2+(\sqrt{13})^2 \)
　　　　\( =17 \)
　 \( MN=\sqrt{17} \; (cm) \)（\( MN>0 \) より）

\( 25 \) 人

\( 120 \) 人の記録を集計しているので，中央値は，
記録の少ない方から \( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の記録の平均値になります。

図６に累積度数を書き込んでいくと下のようになり，
\( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の記録は，\( 24 \) 回以上 \( 28 \) 回未満の階級に含まれているので，
この階級の度数は，\( 25 \) 人になります。

イ，エ

ア ･･･ 図６のヒストグラムは，\( 120 \) 人の記録を集計しているので，
　　　 第１四分位数は，記録の少ない方から \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録の平均値になります。
　　　 \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録は，\( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれていることから，
　　　 第１四分位数も \( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれるので，正しくありません。

イ ･･･ 各組の人数は \( 30 \) 人なので，中央値は，記録の少ない方から \( 15 \) 番目と \( 16 \) 番目の記録の
　　　 平均値になっています。

　　　 図７の箱ひげ図から，１組の中央値は \( 25 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

　　　 同様に，３組の中央値は \( 24 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 24 \) 回または \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

ウ ･･･ 四分位範囲の大きさは，箱ひげ図の箱の長さで比較することができ，
　　　 箱の長さが長い方が四分位範囲が大きくなります。

　　　 図７より，２組の方が４組より箱の長さが長いので，
　　　 四分位範囲は，２組の方が４組より大きく，正しくありません。

エ ･･･ 図６より，記録が \( 36 \) 回以上 \( 40 \) 回未満の生徒の人数は，\( 3 \) 人であることがわかります。
　　　 図７より，２組，３組，４組の最大値は \( 36 \) 回未満なので，
　　　 記録が \( 36 \) 回以上の生徒は１組にしかいないことがわかります。
　　　 また，１組の最大値が \( 36 \) 回であることから，\( 37 \) 回，\( 38 \) 回，\( 39 \) 回の生徒はいません。

　　　 以上より，１組で上体起こしの記録が \( 36 \) 回の生徒の人数は，\( 3 \) 人であると判断できます。

\( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \)

二次関数 \( y=mx^2 \)（\( m>0，m \) は定数）のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) のとき，
\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 3^2=\dfrac{9}{4} \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \) になります。

\( 2a \)

点 \( A \) は，直線 \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 2 \) なので，
\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができます。

点 \( F \) は，直線 \( OB \) 上の点です。
直線 \( OA \) は原点と \( A(2，4a) \) を通るので，
傾きは \( \dfrac{4a-0}{2-0}=2a \) と表すことができます。

平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，\( AE=BG \) であり，
点 \( A，B，G \) の \( x \) 座標は，それぞれ \( 2，4，1 \) であることから，
点 \( E \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
　\( 2-t=4-1 \)
　　　\( t=-1 \)

点 \( D \) は，直線 \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができる。
点 \( E \) は線分 \( DO \) の中点にあたるので，
点 \( E \) の \( y \) 座標は \( 2a \) ･･･ （あ）

点 \( C \) は，直線 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 1 \) である。
直線 \( CA \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{4a-1}{2-(-2)}=\dfrac{4a-1}{4} \)
\( y=\dfrac{4a-1}{4}x+n \) に \( x=2，y=4a \) を代入すると，
　\( 4a=\dfrac{4a-1}{4} \times 2+n \)
　 \( n=\dfrac{4a+1}{2} \)
なので，直線 \( CA \) の式は \( y=\dfrac{4a-1}{4}x+\dfrac{4a+1}{2} \)
この直線において，\( x=-1 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{4a-1}{4} \times (-1)+\dfrac{4a+1}{2} \)
　　\( =\dfrac{4a+3}{4} \) ･･･ （い）

（あ）と（い）の値は等しくなるので，
　\( 2a=\dfrac{4a+3}{4} \)
　 \( a=\dfrac{3}{4} \)

ここから，点 \( A \) の \( x \) 座標から点 \( E \) の \( x \) 座標を引いた値と
点 \( B \) の \( x \) 座標から点 \( G \) の \( x \) 座標を引いた値は等しくなります。

円 \( O \) の半径がわかっていることから，中心角の大きさがわかれば，弧の長さを求めることができるので，
\( \stackrel{\huge\frown}{ DP } \) に対する中心角 \( ∠DOP \) を求めることを考えていきます。

弧の長さは中心角の大きさに比例するので，
　\( \stackrel{\huge\frown}{ DP }=2 \pi{} \times 9 \times \dfrac{92°}{360°} \)
　　　\( =18 \pi{} \times \dfrac{23}{90} \)
　　　\( =\dfrac{23}{5}\pi{} \; (cm) \)

\( -9 \)

\( =9-18 \)
\( =-9 \)

\( 3a-7b \)

\( =\dfrac{21ab}{7b}-\dfrac{49b^2}{7b} \)
\( =3a-7b \)

\( \dfrac{2x-11y}{15} \)

\( =\dfrac{5(x-y)-3(x+2y)}{15} \)
\( =\dfrac{5x-5y-3x-6y}{15} \)
\( =\dfrac{2x-11y}{15} \)

\( 8\sqrt{6}+9\sqrt{7} \)

\( =\sqrt{6}(8+\sqrt{6} \times \sqrt{7})+3\sqrt{7} \)
\( =8\sqrt{6}+6\sqrt{7}+3\sqrt{7} \)
\( =8\sqrt{6}+9\sqrt{7} \)

\( 12 \)

与式 \( =4a^2-12a+9-4a^2+20a \)
　　 \( =8a+9 \)
\( a=\dfrac{3}{8} \) を代入すると，
　\( 8a+9=8 \times \dfrac{3}{8}+9 \)
　　　　 \( =3+9 \)
　　　　 \( =12 \)

\( x=3，7 \)

\( (x-8)(x-1)=x-13 \)
　 \( x^2-9x+8=x-13 \)
\( x^2-10x+21=0 \)
\( (x-3)(x-7)=0 \)
　 　　　　　 \( x=3，7 \)

・ 円 \( O \) の接線の作図
　 円 \( O \) の半径と接線は接点において垂直に交わります。

まず，上から \( 4 \) 番目の数の並びに注目すると，\( 8 \) の倍数が並んでいます。
このとき，
左から１番目 ･･･ \( 8=8 \times 1 \)
左から２番目 ･･･ \( 16=8 \times 2 \)
左から３番目 ･･･ \( 24=8 \times 3 \)
左から４番目 ･･･ \( 32=8 \times 4 \)
・・・
左から \( n \) 番目 ･･･ \( 8n=8 \times n \)
となっています。

それぞれの数の１つ上に並んでいる数はその数よりも \( 2 \) 小さい数なので，
求める数は \( 8n-2 \) になります。

\( \dfrac{11}{18} \)

袋詰めされたきゅうりを \( x \) 袋，なすを \( y \) 袋とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
6x+3y=360 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
200x+140(y-5)+140 \times \dfrac{60}{100} \times 5=13000 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➀を整理すると
　\( 2x+y=120 \)
　　　　\( y=120-2x \) ･･･ ➀’
➁を整理すると
　\( 200x+140y-700+420=13000 \)
　　　　　　　　　 \( 10x+7y=664 \) ･･･ ➁’
➁’に➀’を代入すると，
　\( 10x+7(120-2x)=664 \)
　　\( 10x+840-14x=664 \)
　　　　　　　　 \( -4x=-176 \)
　　　　　　　　　　\( x=44 \)
➀’に代入すると，
　\( y=120-2 \times 44=32 \)
よって，用意されていた
きゅうりの本数は，\( 44 \times 6=264 \)（本）
なすの本数は，\( 32 \times 3=96 \)（本）

【別解】
用意されていたきゅうりの本数を \( x \) 本，なすの本数を \( y \) 本とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=360 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
\dfrac{x}{6} \times 200+ \left( \dfrac{y}{3}-5 \right) \times 140+5 \times \left( 140 \times \dfrac{60}{100} \right)=13000 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁を整理すると
　\( 200x+280y-4200+2520=78000 \)
　　　　　　　　　\( 200x+280y=79680 \)
　　　　　　　　　　　\( 5x+7y=1992 \) ･･･ ➁’
➀ \(  \times 5 \) すると，
　\( 5x+5y=1800 \) ･･･ ➀’
➁’ \( – \) ➀’
　\( 2y=192 \)
　 \( y=96 \)
➀に代入すると，
　\( x+96=360 \)
　　　 \( x=264 \)
よって，用意されていた
きゅうりの本数は，\( 264 \) 本
なすの本数は，\( 96 \) 本

辺 \( AE，EH \)

点 \( K \) から辺 \( EH \) に垂線をひき，交点を \( J \) とします。
面 \( KJGC \) に注目すると，線分 \( KL \) は面 \( KJGC \) 上にあるので，
線分 \( CK \) の長さがわかれば，三平方の定理により，線分 \( KL \) の長さを求めることができます。

直方体の向かい合う辺の長さは等しいので，\( CD=AB=4 \; cm \) なので，
\( △CDK \) において，三平方の定理より，
　\( CK^2=CD^2+DK^2=4^2+2^2=20 \)
　 \( CK=2\sqrt{5} \; (cm) \)

\( △CKL \) において，三平方の定理より，
　\( KL^2=CK^2+CL^2=(2\sqrt{5})^2+2^2=24 \)
　 \( KL=2\sqrt{6} \; (cm) \)

三角すい \( THRG \) の底面を \( △GHR \) とすると，高さがわかれば，体積を求めることができます。
\( T \) を通り，面 \( ABCD，EFGH \) に垂直な面に注目すると，高さにあたる線分はこの面上の線分になります。

以上より，三角すい \( THRG \) の体積は，
　\( \left( 4 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times \dfrac{24}{7} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{64}{7} \; (cm^3) \)

ア，イ

ア　各組の範囲は，
　　　１組 ･･･ \( 28-0=28 \)（時間）
　　　２組 ･･･ \( 25-1=24 \)（時間）
　　　３組 ･･･ \( 29-4=25 \)（時間）
　　なので，１組が最も大きい。

イ　各組 \( 35 \) 人分のデータを集計しているので，
　　第一四分位数になるのは時間の短い方から \( 9 \) 番目の値になります。
　　２組の第一四分位数は \( 8 \) 時間なので，\( 8 \) 時間以下の人は \( 9 \) 人以上います。
　　３組の第一四分位数は \( 9 \) 時間なので，\( 8 \) 時間以下の人は \( 8 \) 人以下になります。
　　よって，３組より２組の方が多いといえます。

ウ　各組 \( 35 \) 人分のデータを集計しているので，
　　第三四分位数になるのは時間の短い方から \( 27 \) 番目の値になります。
　　１組は，第三四分位数が \( 20 \) 時間なので，読書時間がちょうど \( 20 \) 時間の生徒がいるといえます。
　　２組と３組は，最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値の各値がどれも \( 20 \) 時間に
　　なっていないので，読書時間がちょうど \( 20 \) 時間の生徒がいるか判断ができません。

エ　箱ひげ図のデータだけでは，平均値を求めることはできないので，判断できません。

\( y=-\dfrac{18}{x} \)

反比例を表す式は，\( y=\dfrac{m}{x} \) と表すことができます。
曲線 ① は，\( A(-6，3) \) を通るので，
　 \( 3=\dfrac{m}{-6} \)
　\( m=-18 \)

よって，求める式は，\( y=-\dfrac{18}{x} \)

\( \dfrac{1}{12}≦a≦\dfrac{9}{4} \)

点 \( P \) が点 \( A \) と一致するとき，
放物線 \( y=ax^2 \; (a>0) \) は，\( A(-6，3) \) を通るので，
　　 \( 3=a \times (-6)^2 \)
　\( 36a=3 \)
　　 \( a=\dfrac{1}{12} \)

点 \( P \) が点 \( B \) と一致するとき，
放物線 \( y=ax^2 \; (a>0) \) は，\( B(-2，9) \) を通るので，
　　\( 9=a \times (-2)^2 \)
　\( 4a=9 \)
　　\( a=\dfrac{9}{4} \)

よって，\( a \) のとりうる値の範囲は，\( \dfrac{1}{12}≦a≦\dfrac{9}{4} \)

\( a=\dfrac{15}{16} \)

４点 \( O，A，B，D \) は座標が固定されているので，四角形 \( ADOB \) の面積は \( a \) の値にかかわらず一定で，\( △BOC \) の面積だけが変わります。
ここから，点 \( C \) の座標を \( a \) を使って表すことで，あてはまる \( a \) の値が求められます。

以上より，四角形 \( ADOB=△BOC \) のとき，
　\( 16a+18=33 \)
　　　 \( 16a=15 \)
　　　　 \( a=\dfrac{15}{16} \)

\( 76° \)

円周角の大きさは対応する弧の長さに比例します。
これを利用して，\( ∠ABE \) の大きさを２つの三角形から求めていきます。

➀➁より，
　\( 139°-9x=90°-2x \)
　　　　　\( 7x=49° \)
　　　　　 \( x=7° \)

➀に代入すると，
　\( ∠ABE=90°-2 \times 7°=76° \)

\( -11 \)

\( =-8-3 \)
\( =-11 \)

\( 27a \)

\( =\dfrac{36a^2 \times 9b}{12ab} \)
\( =27a \)

\( \dfrac{11x-8y}{21} \)

\( =\dfrac{7(2x+y)}{21}-\dfrac{3(x+5y)}{21} \)
\( =\dfrac{14x+7y-3x-15y}{21} \)
\( =\dfrac{11x-8y}{21} \)

\( 5\sqrt{5} \)

\( =3\sqrt{5}+\dfrac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} \)
\( =3\sqrt{5}+2\sqrt{5} \)
\( =5\sqrt{5} \)

\( 81 \)

与式\( =(a+5b)(a-5b) \)
\( a=41，b=8 \) を代入すると，
\( =(41+5 \times 8)(41-5 \times 8) \)
\( =81 \times 1 \)
\( =81 \)

\( x=3，-8 \)

　　　　 \( x^2+7x=2x+24 \)
　　\( x^2+5x-24=0 \)
　\( (x-3)(x+8)=0 \)
　　　　　　　　\( x=3，-8 \)

手順３と手順６の直線の交点が求める点 \( P \) になります。

逆 ･･･ \( a+b \) が正の数ならば，\( a \) も \( b \) も正の数である。
反例 ･･･ \( a=2，b=-1 \)

あることがら 「 \( A \) ならば \( B \) 」 の逆は「 \( B \) ならば \( A \) 」 になります。

\( \dfrac{7}{20} \)

袋Ⅰと袋Ⅱから取り出したカードの組み合わせを樹形図として書き，袋Ⅱから取り出したカードに
書いてある数が，袋Ⅰから取り出したカードに書いてある数の倍数であるところに ○ をつけます。
あてはまるのは，７通り，すべての組み合わせは２０通りなので，確率は，\( \dfrac{7}{20} \)

( あ ) ･･･ \( 24 \)
四分位範囲 ･･･ \( 17 \)

\( 32，33，34 \)

１１人の生徒の記録を箱ひげ図にすると，
第一四分位数は３番目，中央値は６番目，第三四分位数は９番目の人の値になります。
まず，Ａ～Ｊの記録を距離の短い順に並べ替え，箱ひげ図からわかる第一四分位数 \( 12 \; m \) ，
中央値 \( 25 \; m \) ，第三四分位数 \( 32 \; m \) のところに印をつけると，次のようになります。

ここで，第一四分位数が３番目，中央値が６番目，第三四分位数が９番目の人の値になるのは，
\( 32 \) と \( 34 \) の間にＫの記録があるときなので，あてはまる \( a \) の値は，\( 32，33，34 \) 。
（最大値が \( 34 \; m \) なので，\( 35 \; m \) 以上にはなりません。）

集めた鉛筆の本数を \( x \) 本，ボールペンの本数を \( y \) 本とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
x=2y \;\; ･･･ \;\; ① \\
\dfrac{80}{100}x-18=\dfrac{20}{100}x+\dfrac{96}{100}y \;\; ･･･ \;\; ② \\
\end{array} \right.  \)
②\( \; \times 25 \) すると
　\( 15x-24y=450 \) ･･･ ②’
① を ②’に代入すると，
　\( 15 \times 2y-24y=450 \)
　　　　　　　\( 6y=450 \)
　　　　　　　 \( y=75 \)
➀に代入すると，
　\( x=2 \times 75 \)
　　\( =150 \)

よって，集めた鉛筆の本数は \( 150 \) 本，ボールペンの本数は \( 75 \) 本

ウ

よって，
　\( △ODF=DF \times OG \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \times \dfrac{3\sqrt{10}}{4} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{9\sqrt{15}}{8} \; (cm^2) \)

\( -\dfrac{1}{4} \)

\( y=bx^2 \) に \( x=4，y=-4 \) を代入すると，
　\( -4=b \times 4^2 \)
　\( 16b=-4 \)
　　\( b=-\dfrac{1}{4} \)

ア，エ

イ　\( y=ax^2 \) において，点 \( A \) の \( y \) 座標は \( 9a \)，点 \( B \) の \( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができるので，
　　点 \( A \) の \( y \) 座標から点 \( B \) の \( y \) 座標をひいた値は，\( 5a \) となります。
　　よって，\( a \) の値を小さくすると，小さくなります。

ウ　\( △OBE \) の底辺を \( OE \) とすると，点 \( B \) の \( x \) 座標の値が高さになります。
　　\( a \) の値を変えても，\( OE \) の長さと点 \( B \) の \( x \) 座標の値はどちらも変わらないので，
　　\( △OBE \) の面積も変わりません。

オ　\( y=ax^2 \) において，点 \( F \) の \( y \) 座標は \( 16a \) と表すことができるので，
　　線分 \( CF \) の長さは，\( 16a-(-4)=16a+4 \) と表すことができます。
　　よって，\( a \) の値を大きくすると，線分 \( CF \) の長さは長くなります。

\( a=\dfrac{3}{10} \)

点 \( G \) は，直線 \( DF \) と \( AB \) の交点で，\( x \) 座標の値は \( 1 \) とわかっているので，
２直線の式を使って，点 \( G \) の \( y \) 座標の値を \( a \) を使って２パターン表します。
このとき，２パターンで表した \( y \) 座標の値は等しくなるのでそれを利用して \( a \) の値を求めます。

点 \( G \) は，直線 \( DF \) 上の点で，\( x \) 座標の値は \( 1 \) なので，
点 \( G \) の \( y \) 座標の値は
　\( y=\dfrac{4a+1}{2} \times 1+8a-2=\dfrac{20a-3}{2} \) ･･･ ①

【直線 \( AB \) 上の点として表す】
\( A(-3，9a)，B(2，4a) \) と表せるので，
直線 \( AB \) の傾きは，\( \dfrac{4a-9a}{2-(-3)}=-a \)
直線 \( AB \) の式を \( y=-ax+c \) とすると，
\( (2，4a) \)を通るので，
　\( 4a=-a \times 2+c \)
　 \( c=6a \)
よって，直線 \( AB \) の式は \( y=-ax+6a \)

点 \( G \) は，直線 \( AB \) 上の点で，\( x \) 座標の値は \( 1 \) なので，
点 \( G \) の \( y \) 座標の値は
　\( y=-a \times 1+6a=5a \) ･･･ ➁

➀➁ は，同じ点 \( G \) の \( y \) 座標を表しているので，
　\( \dfrac{20a-3}{2}=5a \)
　 \( 20a-3=10a \)
　　　 \( 10a=3 \)
　　　　 \( a=\dfrac{3}{10} \)

 

 

\( \dfrac{13}{4} \; cm \)

\( △ABC \) は二等辺三角形なので，\( △DFE \) も二等辺三角形であり，
　\( DF=EF=1 \; cm \)

よって，
　\( GC：FE=DC：DE \)
　\( GC：FE=(DF+CF)：DE \)
　　　 \( 4：1=(1+2)：DE \)
　　　 \( 4DE=3 \)
　　　　\( DE=\dfrac{3}{4} \; (cm) \)

\( GE=GD-DE=4-\dfrac{3}{4}=\dfrac{13}{4} \; (cm) \)