大問１
(1) 次の計算をしなさい。
ア \( -8+27 \div (-9) \)
イ \( (-6a)^2 \times 9b \div 12ab \)
ウ \( \dfrac{2x+y}{3}-\dfrac{x+5y}{7} \)
エ \( \sqrt{45}+\dfrac{10}{\sqrt{5}} \)
(2) \( a=41，b=8 \) のとき， \( a^2-25b^2 \) の式の値を求めなさい。
(3) 次の２次方程式を解きなさい。
\( x^2+7x=2x+24 \)
大問２
(1) 図１において，点 \( A \) は辺 \( OX \) 上の点である。点 \( A \) から辺 \( OY \) に引いた垂線上にあり，２辺 \( OX，OY \) から等しい距離にある点 \( P \) を作図しなさい。ただし，作図には定規とコンパスを使用し，作図に用いた線は残しておくこと。
手順１ 点 \( A \) を中心に円弧を描く
（辺 \( OY \) との交点を点 \( B，C \) とします。）
手順２ 点 \( B，C \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( D \) とします。）
手順３ ２点 \( A，D \) を通る直線を描く
手順４ 点 \( O \) を中心に円弧を描く
（辺 \( OY，OX \) との交点を点 \( E，F \) とします。）
手順５ 点 \( E，F \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( G \) とします。）
手順６ ２点 \( O，G \) を通る直線を描く
手順３と手順６の直線の交点が求める点 \( P \) になります。
(2) 次の の中に示したことがらの逆を書きなさい。
(3) ２つの袋Ⅰ，Ⅱがあり，袋Ⅰには \( 2，3，4，5 \) の数字を１つずつ書いた４枚のカードが，袋Ⅱには \( 6，7，8，9，10 \) の数字を１つずつ書いた５枚のカードが入っている。図２は，袋Ⅰと袋Ⅱに入っているカードを示したものである。
２つの袋Ⅰ，Ⅱからそれぞれ１枚のカードを取り出すとき，袋Ⅱから取り出したカードに書いてある数が，袋Ⅰから取り出したカードに書いてある数の倍数である確率を求めなさい。ただし，袋Ⅰからカードを取り出すとき，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。また，袋Ⅱについても同じように考えるものとする。
書いてある数が，袋Ⅰから取り出したカードに書いてある数の倍数であるところに ○ をつけます。
あてはまるのは，７通り，すべての組み合わせは２０通りなので，確率は，\( \dfrac{7}{20} \)
大問３
あるクラスの１０人の生徒Ａ～Ｊが，ハンドボール投げを行った。表１は，その記録を表したものである。図３は，表１の記録を箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の (1)，(2) の問いに答えなさい。
(1) 図３の ( あ ) に適切な値を補いなさい。また，１０人の生徒Ａ～Ｊの記録の四分位範囲を求めなさい。
( あ ) は中央値になります。
１０人の記録をまとめたものなので，
中央値は距離の短い方から５番目と６番目の人の値の平均値になります。
距離の短い順に並べ替えると次のようになるので，
中央値は，\( \dfrac{23+25}{2}=24 \; (m) \) 。
四分位範囲は，第三四分位数 \( – \) 第一四分位数 で求めることができるので，
四分位範囲は，\( 29-12=17 \; (m) \) になります。
(2) 後日，生徒Ｋもハンドボール投げを行ったところ，Ｋの記録は \( a \; m \) だった。図４は，１１人の生徒Ａ～Ｋの記録を箱ひげ図に表したものである。
このとき，\( a \) がとりうる値をすべて求めなさい。ただし，\( a \) は整数とする。
第一四分位数は３番目，中央値は６番目，第三四分位数は９番目の人の値になります。
まず，Ａ～Ｊの記録を距離の短い順に並べ替え，箱ひげ図からわかる第一四分位数 \( 12 \; m \) ，
中央値 \( 25 \; m \) ，第三四分位数 \( 32 \; m \) のところに印をつけると，次のようになります。
ここで，第一四分位数が３番目，中央値が６番目，第三四分位数が９番目の人の値になるのは，
\( 32 \) と \( 34 \) の間にＫの記録があるときなので，あてはまる \( a \) の値は，\( 32，33，34 \) 。
（最大値が \( 34 \; m \) なので，\( 35 \; m \) 以上にはなりません。）
大問４
ある中学校の生徒会が，ボランティア活動で鉛筆とボールペンを集め，２つの団体Ｓ，Ｔへ送ることにした。
団体Ｓは鉛筆のみを，団体Ｔは鉛筆とボールペンの両方を受け付けていた。
この活動で，鉛筆はボールペンの２倍の本数を集めることができた。鉛筆については，集めた本数の８０％を
団体Ｓへ，残りを団体Ｔへ送った。また，ボールペンについては，集めた本数の４％はインクが出なかったため，それらを除いた残りを団体Ｔへ送った。団体Ｔへ送った鉛筆とボールペンの本数の合計は，団体Ｓへ送った鉛筆の本数よりも１８本少なかった。
このとき，集めた鉛筆の本数とボールペンの本数は，それぞれ何本であったか。方程式をつくり，計算の過程を書き，答えを求めなさい。
大問５
図５の立体は，円 \( O \) を底面とする円すいである。この円すいにおいて，底面の半径は \( 3 \; cm \)，母線 \( AB \) の長さは \( 6 \; cm \) である。また，線分 \( OA \) と底面は垂直である。
このとき，次の (1)～(3) の問いに答えなさい。
(1) 次のア～オの５つの投影図のうち，１つは円すいの投影図である。円すいの投影図を，ア～オの中から１つ選び，記号で答えなさい。
(2) この円すいにおいて，図６のように，円 \( O \) の円周上に \( ∠BOC=110° \) となる点 \( C \) をとる。小さい方の弧 \( BC \) の長さを求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
(3) この円すいにおいて，図７のように，\( AB \) の中点を \( D \) とし，点 \( D \) から底面に引いた垂線と底面との交点を \( E \) とする。また，円 \( O \) の円周上に \( ∠OEF=90° \) となる点 \( F \) をとる。\( △ODF \) の面積を求めなさい。
この円すいを正面から見ると，\( △AOB \) は，\( AB：OB=6：3=2：1 \) の直角三角形なので，
\( OA：OB=\sqrt{3}：1 \)
\( OA：3=\sqrt{3}：1 \)
\( OA=3\sqrt{3} \; (cm) \)
また，\( △AOB \) ∽ \( △DEB \) で，\( D \) は \( AB \) の中点なので，
相似比は \( 1：2 \) であり，
\( OE=\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{3}{2} \; (cm)，ED=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)，
この円すいの底面に注目すると，\( △OEF \) は，\( OE：OF=3：\dfrac{3}{2}=2：1 \) の直角三角形なので，
\( EF：OE=\sqrt{3}：1 \)
\( EF：\dfrac{3}{2}=\sqrt{3}：1 \)
\( EF=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)
次に，三角すい \( D-FOE \) に注目すると，
\( △DEF \) は，\( ED=EF \) の直角二等辺三角形なので，
\( DF= \sqrt{2}EF=\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \; cm \)
\( △ODE \) は，\( OE：ED=\dfrac{3}{2}：\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=1：\sqrt{3} \) の
直角三角形なので，
\( OD=2OE=3 \; (cm) \)
次に，\( △ODF \) に注目すると，
\( OD=OF \) の二等辺三角形なので，
\( O \) から \( DF \) に垂線をひき，交点を \( G \) とすると，
\( △OFG \) は直角三角形になります。
三平方の定理より，
\( OG^2=OF^2-FG^2 \)
\( =3^2-\left( \dfrac{3\sqrt{6}}{4} \right)^2 \)
\( =9-\dfrac{54}{16} \)
\( =\dfrac{90}{16} \)
\( OG=\dfrac{3\sqrt{10}}{4} \; (cm) \)
よって，
\( △ODF=DF \times OG \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \times \dfrac{3\sqrt{10}}{4} \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{9\sqrt{15}}{8} \; (cm^2) \)
大問６
次の の中の文は，授業でＴ先生が示した資料である。
このとき，次の (1)～(3) の問いに答えなさい。
➁ は関数 \( y=bx^2 \;\; (b<0) \) のグラフである。 ２点 \( A，B \) は，放物線 ① 上の点であり，その \( x \) 座標は，それぞれ \( -3，2 \) である。点 \( C \) は，放物線 ➁ 上の点であり，その座標は \( (4，-4) \) である。点 \( C \) を通り \( x \) 軸に平行な直線と放物線 ➁ との交点を \( D \) とし，直線 \( CD \) と \( y \) 軸との交点を \( E \) とする。点 \( C \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と放物線 ① との交点を \( F \) とする。また，点 \( G \) は直線 \( AB \) 上の点であり，その \( x \) 座標は \( 1 \) である。
ＲさんとＳさんは，タブレット型端末を使いながら，
図８のグラフについて話している。
Ｒさん：関数 \( y=bx^2 \) の比例定数 \( b \) の値は求められるね。
Ｓさん：➁ は点 \( C \) を通るから \( b \) の値は ( あ ) だよ。
Ｒさん：関数 \( y=ax^2 \) の \( a \) の値は決まらないね。
Ｓさん：タブレット型端末を使うと，（ア）\( a \) の値を変化させたときのグラフや図形の変化する
ようすが分かるよ。
Ｒさん：そうだね。（イ）３点 \( D，G，F \) が一直線上にある場合もあるよ。
Ｓさん：本当だね。計算で確認してみよう。
(1) ( あ ) に適切な値を補いなさい。
(2) （ア） のときの，グラフや図形の変化するようすについて述べたものとして正しいものを，次の ア～オ の中からすべて選び，記号で答えなさい。
ア \( a \) の値を大きくすると，① のグラフの開き方は小さくなる。
イ \( a \) の値を小さくすると，点 \( A \) の \( y \) 座標から点Ｂの \( y \) 座標をひいた値は大きくなる。
ウ \( a \) の値を大きくすると，\( △OBE \) の面積は大きくなる。
エ \( a \) の値を小さくすると，直線 \( OB \) の傾きは小さくなる。
オ \( a \) の値を大きくすると，線分 \( CF \) の長さは短くなる。
(3) （イ） のときの \( a \) の値を求めなさい。求める過程も書きなさい。
２直線の式を使って，点 \( G \) の \( y \) 座標の値を \( a \) を使って２パターン表します。
このとき，２パターンで表した \( y \) 座標の値は等しくなるのでそれを利用して \( a \) の値を求めます。
【直線 \( DF \) 上の点として表す】
\( D(-4，-4)，F(4，16a) \) なので，
直線 \( DF \) の傾きは，\( \dfrac{16a-(-4)}{4-(-4)}=\dfrac{4a+1}{2} \)
直線 \( DF \) の式を \( y=\dfrac{4a+1}{2}x+b \) とすると，\( (-4，-4) \)を通るので，
\( -4=\dfrac{4a+1}{2} \times (-4)+b \)
\( -4=-8a-2+b \)
\( b=8a-2 \)
よって，
直線 \( DF \) の式は \( y=\dfrac{4a+1}{2}x+8a-2 \)
点 \( G \) は，直線 \( DF \) 上の点で，\( x \) 座標の値は \( 1 \) なので，
点 \( G \) の \( y \) 座標の値は
\( y=\dfrac{4a+1}{2} \times 1+8a-2=\dfrac{20a-3}{2} \) ･･･ ①
【直線 \( AB \) 上の点として表す】
\( A(-3，9a)，B(2，4a) \) と表せるので，
直線 \( AB \) の傾きは，\( \dfrac{4a-9a}{2-(-3)}=-a \)
直線 \( AB \) の式を \( y=-ax+c \) とすると，
\( (2，4a) \)を通るので，
\( 4a=-a \times 2+c \)
\( c=6a \)
よって，直線 \( AB \) の式は \( y=-ax+6a \)
点 \( G \) は，直線 \( AB \) 上の点で，\( x \) 座標の値は \( 1 \) なので，
点 \( G \) の \( y \) 座標の値は
\( y=-a \times 1+6a=5a \) ･･･ ➁
➀➁ は，同じ点 \( G \) の \( y \) 座標を表しているので，
\( \dfrac{20a-3}{2}=5a \)
\( 20a-3=10a \)
\( 10a=3 \)
\( a=\dfrac{3}{10} \)
大問７
図９において，４点 \( A，B，C，D \) は円 \( O \) の円周上の点であり，\( △ABC \) は \( BA=BC \) の二等辺三角形である。\( AC \) と \( BD \) との交点を \( E \) とし，点 \( E \) を通り \( AD \) に平行な直線と \( CD \) との交点を \( F \) とする。
また，\( BD \) 上に \( GC=GD \) となる点 \( G \) をとる。
このとき，次の (1)，(2) の問いに答えなさい。
(1) \( △BCG \) ∽ \( △ECF \) であることを証明しなさい。
\( △BCG \) と \( △ECF \) において，
\( △ABC \) は \( BA=BC \) の二等辺三角形なので，
\( ∠BCA=∠BAC \) ･･･ ➀
\( △DGC \) は \( GC=GD \) の二等辺三角形なので，
\( ∠GCD=∠GDC \) ･･･ ➁
弧 \( BC \) に対する円周角なので，
\( ∠BAC=∠GDC \) ･･･ ➂
➀➁➂より，\( ∠BCA=∠GCD \) ･･･ ➃
\( ∠BCA=∠BCG+∠GCE \) ･･･ ➄
\( ∠GCD=∠ECF+∠GCE \) ･･･ ➅
➃➄➅より，\( ∠BCG=∠ECF \) ･･･ ➆
弧 \( CD \) に対する円周角なので，
\( ∠CBG=∠CAD \) ･･･ ➇
\( AD//EF \) より，同位角は等しいので，
\( ∠CAD=∠CEF \) ･･･ ➈
➇➈より，\( ∠CBG=∠CEF \) ･･･ ➉
➆➉より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △BCG \) ∽ \( △ECF \)
(2) \( GC=4 \; cm，BD=6 \; cm，CF=2 \; cm \) のとき，\( GE \) の長さを求めなさい。
\( GC=GD=4 \; cm，BD=6 \; cm \) より，
\( BG=BD-GD=2 \; (cm) \)
(1) より，\( △BCG \) ∽ \( △ECF \) なので，
\( BG：EF=GC：FC \)
\( 2：EF=4：2 \)
\( EF=1 \; (cm) \)
\( △ABC \) と \( △DFE \) において，
弧 \( BC \) に対する円周角なので，
\( ∠BAC=∠EDF \) ･･･ ➀
弧 \( AB \) に対する円周角なので，
\( ∠BCA=∠BDA \) ･･･ ➁
\( AD//EF \) より，錯角は等しいので，
\( ∠BDA=∠FED \) ･･･ ➂
➁➂より，\( ∠BCA=∠FED \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABC \) ∽ \( △DFE \)
\( △ABC \) は二等辺三角形なので，\( △DFE \) も二等辺三角形であり，
\( DF=EF=1 \; cm \)
\( △DGC \) と \( △DFE \) において，
\( ∠D \) は共通 ･･･ ➀
\( △DGC \) は二等辺三角形なので，
\( ∠GCD=∠GDC \) ･･･ ➁
\( △DFE \) は二等辺三角形なので，
\( ∠FED=∠GDC \) ･･･ ➂
➁➂より，\( ∠GCD=∠FED \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △DGC \) ∽ \( △DFE \)
よって，
\( GC：FE=DC：DE \)
\( GC：FE=(DF+CF)：DE \)
\( 4：1=(1+2)：DE \)
\( 4DE=3 \)
\( DE=\dfrac{3}{4} \; (cm) \)
\( GE=GD-DE=4-\dfrac{3}{4}=\dfrac{13}{4} \; (cm) \)
