２つのさいころをさいころＡ，さいころＢとして，
出る目の組み合わせとその和を表に書き出すと，
右のようになります。

２つのさいころの出る目の和は，\( 2～12 \) のどれか
であり，この中で素数は \( 2，3，5，7，11 \) です。

よって，
和が素数になる組み合わせは \( 15 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12} \)

\( P \) の \( x \) 座標が正の場合
\( △AOP \) の底辺を \( OP \) とし，点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，\( OP \) の長さは \( t \) になります。

点 \( A \) の \( y \) 座標が \( 3 \) であることから，
高さは \( 3 \) なので，
　\( t \times 3 \times \dfrac{1}{2}=6 \)
　　　　　\( 3t=12 \)
　　　　　 \( t=4 \)

よって，\( P \) の座標は，\( (4，0) \)

\( P \) の \( x \) 座標が負の場合
\( △AOP \) の底辺を \( OP \) とし，点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると， \( t<0 \) なので，
\( OP \) の長さは \( -t \) になります。

点 \( A \) の \( y \) 座標が \( 3 \) であることから，
高さは \( 3 \) なので，
　\( -t \times 3 \times \dfrac{1}{2}=6 \)
　　　　\( -3t=12 \)
　　　　　 \( t=-4 \)

よって，\( P \) の座標は，\( (-4，0) \)

直線 \( AO \) は，原点と \( A(3，3) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{3-0}{3-0}=1 \)
になっています。

また，\( AO//BC \) なので，
直線 \( BC \) の傾きも \( 1 \) になっています。

点 \( B \) は \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 3 \)
なので，\( y \) 座標は，
　\( y=a \times 3^2=9a \)
点 \( C \) は \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -4 \)
なので，\( y \) 座標は，
　\( y=a \times (-4)^2=16a \)
と表すことができます。

\( x \) 座標が \( 0 \) の場合
➀，➁のグラフはどちらも原点を通っているので，
あてはまる座標は，原点 \( (0，0) \) の１個。

\( x \) 座標が \( 1 \) の場合
➀のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 1^2=\dfrac{1}{3} \)
➁のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=-\dfrac{1}{4} \times 1^2=-\dfrac{1}{4} \)
なので，斜線の部分が含まれる \( y \) 座標の範囲は，
　\( -\dfrac{1}{4}≦y≦\dfrac{1}{3} \)
この中で整数は，\( 0 \) だけなので，
\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点は，
\( (1，0) \) の１個。

 \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
　\( ∠ACB=∠ADB=40° \)
\( △ABC \) において，
　\( ∠ABC=180°-(40°+60°)=80° \)

 \( ∠BAD \) と \( ∠BCD \) は直径 \( BD \) に対する
円周角なので，
　\( ∠BAD=∠BCD=90° \)
\( △BCD \) において，三平方の定理より，
　\( BD^2=BC^2+CD^2 \)
　　　　\( =3^2+4^2 \)
　　　　\( =25 \)
　 \( BD=5 \; (cm) \)（\( BD>0 \) より）

\( △ABD \) において，三平方の定理より，
　\( AD^2=BD^2-AB^2 \)
　　　　\( =5^2+2^2 \)
　　　　\( =21 \)
　 \( AD=\sqrt{21} \; (cm) \)（\( AD>0 \) より）

\( △GCF \) と \( △CAF \) において，
\( △OBC \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠GCF=∠CBO \) ･･･ ➀
\( \stackrel{\huge\frown}{ CD } \) に対する円周角なので，
　\( ∠CAF=∠CBO \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠GCF=∠CAF \) ･･･ ➂

共通な角なので，
　\( ∠GFC=∠CFA \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △GCF \) ∽ \( △CAF \)

\( AB=BO \) より，\( AB \) は円 \( O \) の半径と等しく，
　\( AB=BO=CO=DO \)
ここから，\( BD=2AB \) であり，\( ∠BAD=90° \) でもあるので，\( △ABD \) は \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形になっています。

また，\( BC=CD \) より，\( ∠BCD=90° \) でも
あることから，\( △BCD \) は直角二等辺三角形に
なっています。
さらに，点 \( O \) が線分 \( BD \) の中点であることから，\( CO⊥BD \) であり，\( △OBC，△ODC \) も
直角二等辺三角形になっています。

線分 \( BE \) の長さを求める
\( △AED \) と \( △BEC \) は，
　\( ∠ADE=∠BCE，∠AED=∠BEC \)
より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △AED \) ∽ \( △BEC \)

\( △ABD \) は \( 30°,60°,90° \) の直角三角形なので，
　\( AB：AO=1：\sqrt{3} \) ･･･ ➀
\( △OBC \) は直角二等辺三角形なので，
　\( AB：BC=BO：BC=1：\sqrt{2} \) ･･･ ➁

➀➁より，\( △AED \) と \( △BEC \) の相似比は，
　\( AO：BC=\sqrt{3}：\sqrt{2} \)
対応する辺の比は等しいので，
\( AE=3\sqrt{2} \; cm \) より，
　\( AE：BE=\sqrt{3}：\sqrt{2} \)
　\( 3\sqrt{2}：BE=\sqrt{3}：\sqrt{2} \)
　　 \( \sqrt{3}BE=6 \)
　　　　\( BE=2\sqrt{3} \; (cm) \)

線分 \( DO \) の長さを求める
同様に，\( △AEB \) ∽ \( △DEC \) にもなっていて，
相似比は，
　\( AB：DC=AB：BC=1：\sqrt{2} \)
なので，
　\( AE：DE=1：\sqrt{2} \)
　\( 3\sqrt{2}：DE=1：\sqrt{2} \)
　　　　\( DE=6 \; (cm) \)

\( BE=2\sqrt{3} \; cm，DE=6 \; cm \) より，
直径 \( BD \) の長さは
　\( BE+DE=2\sqrt{3}+6 \; (cm) \)
なので，半径 \( DO \) の長さは，
　\( DO=\dfrac{BD}{2} \)
　　　\( =\dfrac{6+2\sqrt{3}}{2} \)
　　　\( =3+\sqrt{3} \; (cm) \)

線分 \( OF \) の長さを求める

３点 \( C，O，F \) は一直線上の点であることから，
\( CO⊥BD \) より，\( FO⊥BD \) でもあるので，
　\( ∠DOF=90° \)
になっています。

ここから，\( △OFD \) は \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形なので，
　\( OF=\dfrac{OD}{\sqrt{3}} \)
　　　\( =\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
　　　\( =\dfrac{(3+\sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \)
　　　\( =\dfrac{3\sqrt{3}+3}{3} \)
　　　\( =1+\sqrt{3} \; (cm) \)

\( x^2+4x+4=13 \)
\( x^2+4x-9=0 \)
解の公式より
\( x=\dfrac{-4±\sqrt{4^2-4 \times 1 \times (-9)}}{2 \times 1} \)
　\( =\dfrac{-4±\sqrt{52}}{2} \)
　\( =-2±\sqrt{13} \)

\( ∠ACB \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角，
\( ∠AOB \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する中心角なので，
　\( ∠AOB=2∠ACB=2x \)
\( OA//CB \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠DBC=∠AOB=2x \)
\( △CBD \) において，
　\( x+2x+114°=180° \)
　　　　　　　\( 3x=66° \)
　　　　　　　 \( x=22° \)

【\( AB \) 間を動くとき】
辺 \( AD \) を底辺と考えると，
\( AP \) が高さになるので，
　\( y=5 \times x \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}x \; (cm^2) \)
\( 0≦x \) なので，
グラフは右上がりの直線になります。

【\( BC \) 間を動くとき】
辺 \( AD \) を底辺と考えると，
点 \( P \) は辺 \( AD \) と平行に動くので，
等積変形になり，
　\( y=5 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=10 \; (cm^2) \)
なので，
グラフは \( x \) 軸と平行な直線になります。

箱Ａ，箱Ｂから取り出すカードの組み合わせと
それぞれにおける計算結果を表に書き出し，
奇数になるところに ○ をつけてみます。
奇数になる組み合わせは \( 6 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 15 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5} \)

並んでいる数字を横または縦に順番に見ていくと，
どちらの場合も
　偶数 → 奇数 → 偶数 → 奇数 → ･･･
と順番に並んでいます。

右上の数が偶数のとき，
残りの２つの数は奇数になるので，
３つの数の和は，
　奇数 \( + \) 偶数 \( + \) 奇数 \( = \) 偶数

右上の数が奇数のとき，
残りの２つの数は偶数になるので，
３つの数の和は，
　偶数 \( + \) 奇数 \( + \) 偶数 \( = \) 奇数

となります。

\( x \) の変域が \( -2≦x≦1 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \)

\( x \) の絶対値がもっとも大きくなるのは
\( x=-2 \) のときなので，\( y \) の最大値は，
　\( y=2 \times (-2)^2=8 \)

よって，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦8 \)

点 \( C \) の座標は，\( C(2，0) \) なので，
直線 \( BC \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　傾き \( m=\dfrac{0-2}{2-(-1)}=-\dfrac{2}{3} \)
\( x=2，y=0 \) を代入すると，
　\( 0=-\dfrac{2}{3} \times 2+n \)
　\( n=\dfrac{4}{3} \)
よって，直線 \( BC \) の式は，\( y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3} \)

直線 \( AB \) は，\( A(2，8)，B(−1，2) \) を通るので，
直線 \( AB \) の式は，\( y=2x+4 \)

点 \( D \) は，直線 \( AB \) の点で，
\( y \) 座標は \( 0 \) なので，
\( x \) 座標の値は，
　\( 0=2x+4 \)
　\( x=-2 \)

点 \( B \) から \( x \) 軸に垂線をひき，
交点を \( F \) とすると，
\( △BDF \) ∽ \( △ADC \) なので，
　\( AB：BD=CF：FD=3：1 \)

【\( △OAB \) の面積】
直線 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( H \) とすると，
問３より，直線 \( AB \) の式は \( y=2x+4 \)なので，
\( OH=4 \)
\( △OAB=△OBH+△OAH \)
　　　　\( =4 \times 1 \times \dfrac{1}{2}+4 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　\( =6 \)

【\( △OPE \) の面積】
点 \( P \) から \( y \) 軸に垂線をひき，交点を \( I \) とすると，
\( OE=4 \) なので，
\( △OPE=4 \times PI \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　\( =2PI \)

ここから，
\( △OPE \) の面積が \( △OAB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) 倍となるとき，
　\( 2PI=6 \times \dfrac{1}{2} \)
　 \( PI=\dfrac{3}{2} \)

\( CG=GH=2 \; cm \) なので，
\( △BGH \) において，三平方の定理より，
　\( BH^2=BG^2+GH^2=(3+2)^2+2^2=29 \)
　 \( BH= \sqrt{29} \; (cm) \)

正方形 \( EFGH \) を \( 70° \) 回転させたので，
　\( ∠DCG=90°-70°=20° \)
このとき，
　\( ∠ECD=∠ECG-∠DCG=70° \)
四角形の内角の和は \( 360° \) なので，
　\( ∠x=360°-(∠HEC+∠ADC+∠ECD) \)
　　　\( =360°-(90°+90°+70°) \)
　　　\( =110° \)

 \( △DCG \) において，\( CD=5 \; cm\)，
\( CG=3 \; cm， ∠CGH=90° \) より，
３辺の長さが \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，
\( DG=4 \; cm \)
\( GH=3 \; cm \) なので，\( DH=4-3=1 \; (cm) \)

\( △DIH \) ∽ \( △DCG \) で，
相似比は \( DH：DG-1：4 \) なので，
　\( IH：CG=1：4 \)
　　 \( IH：3=1：4 \)
　　　　\( IH=\dfrac{3}{4} \; (cm) \)

\( △BCE \) と \( △DCG \) において，
正方形の４辺は等しいので，
　\( BC=DC \) ･･･ ➀
　\( CE=CG \) ･･･ ➁
正方形の内角は \( 90° \) なので，
　\( ∠BCE=90°-∠ECD \) ･･･ ➂
　\( ∠DCG=90°-∠ECD \) ･･･ ➃
➂➃より，\( ∠BCE=∠DCG \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △BCE≡△DCG \)
対応する角は等しいので，
　\( ∠BEC=∠DGC=90° \)
\( ∠HEC=90° \) でもあるので，
　\( ∠BEC+∠HEC=180° \)
よって，３点 \( B，E，H \) は一直線上に並ぶ

例として，図の７枚並べた場合を考えると，
一番右の１枚だけ \( 7 \; cm \) すべてが見えています。
残りの６枚は，左端の \( 2 \; cm \) だけが見えるので，
合計の長さは，\( 2 \times 6+7 \; (cm) \) となります。