和歌山県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

\( ∠BDC \) は弧 \( BC \) に対する円周角，
\( ∠BOC \) は弧 \( BC \) に対する中心角なので，
　\( ∠BOC=2∠BDC=78° \)

中心角の大きさは弧の長さに比例するので，
　\(∠AOB：∠BOC=AB：BC\)
　　　\(∠AOB：78°=1：3\)
　　　　　　\(∠AOB=26°\)

よって，\( ∠x=∠AOB+∠BOC=104° \)

立体 \( Q \) と \( R \) を組み立てた状態で正面から見ると右の図のようになります。
切り口の線分と線分 \( OB \) との交点を点 \( J \) とすると，
\( OJ：JB=1：2 \) となるので，
\( △OIJ \) ∽ \( △OAB \) であり，相似比は \( 1：3 \) になります。
よって，\( AB=3IJ \) と表すことができます。

点 \( O \) から線分 \( AB \) に垂線をひき，切り口の線分との交点を点 \( K \)，線分 \( AB \) との交点を点 \( L \) とすると，
\( △OIK \) ∽ \( △OAL \) であり，相似比は \( 1：3 \) になります。
よって，\( OL=3OK \) と表すことができます。

直線 \( AP \) は，\( A(2, 4)，P(6, 0) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{0-4}{6-2}=-1 \)
この直線の式を \( y=-x+b \) とすると，\( P(6, 0) \) を通るので，
　\( 0=-6+b \)
　\( b=6 \)

よって，直線 \( AP \) の式は，\( y=-x+6 \)

点 \( A \) から \( x \) 軸に垂線をひき，交点を点 \( C \) とすると，
\( △ACP \) は，\( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
　\( AC：CP=1：\sqrt{3} \)

\( A(2, 4) \) より，\( AC=4 \) なので，
　\( AC：CP=1：\sqrt{3} \)
　　 \( 4：CP=1：\sqrt{3} \)
　　　　\( CP=4\sqrt{3} \)

\( A(2, 4) \) より，\( OC=2 \) なので，
\( P \) の \( x \) 座標は，\( 2+4\sqrt{3} \)

点 \( P \) を通り，➀ と平行な直線について考えると，
平行な直線の傾きは等しいので，傾きは \( \dfrac{1}{2} \) です。
この直線の式を \(y=\dfrac{1}{2}x+b \) とすると，\( P(4, 0) \) を通るので，
　\( 0=\dfrac{1}{2} \times 4+b \)
　\( b=-2 \)
となり，この直線の式は，\(y=\dfrac{1}{2}x-2 \)

点 \( Q \) はこの直線と，\( y \) 軸との交点なので，\( Q(0，-2) \)

点 \( Q \) は，➀ の上側にもとることができます。
上側に作った青の\( △ABQ \) も，赤の\( △ABQ \) と高さが共通なので，
面積が等しいとき，底辺の長さも等しくなります。
\( B(0，3)，Q(0，-2) \) より，\( BQ=5 \) なので，
上側の点 \( Q \) の座標は，\( Q(0，8) \) になります。

平行四辺形のとなりあう角の和は \( 180° \) になるので，
　\( ∠ABE=180°-118°=62° \)
\( △ABE \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠BAE=180°-2∠ABE=56° \)

平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，
\( AD//BC \) より，錯角は等しく，
\( ∠EAD=∠AEB=90° \)
また，\( AD=BC=5 \; cm \)

よって，\( △ADE \) において，三平方の定理より，
　\( DE^2=AD^2+AE^2 \)
　　　　\( =5^2+3^2 \)
　　　　\( =34 \)
　 \( DE=\sqrt{34} \; (cm) \) (\( DE>0 \) より)

\( △BOE \) と \( △DOF \) において，
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，
　\( BO=DO \) ･･･ ➀
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，錯角は等しく，
　\( ∠OBE=∠ODF \) ･･･ ➁
対頂角は等しいので，
　\( ∠BOE=∠DOF \) ･･･ ➂
➀➁➂より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △BOE≡△DOF \)
対応する辺の長さは等しいので，
　\( OE=OF \) ･･･ ➃
➀➃より，対角線がそれぞれの中点で交わっているので，
四角形 \( BEDF \) は平行四辺形である。

\( △GAH \) と \( △GBE \) において，
\( ∠GAH=∠GBE，∠G \) は共通
なので，２組の角が等しく，\( △GAH \) ∽ \( △GBE \)

対応する辺の比は等しいので，
　 \( GA：GB=AH：BE \)
　\( 2：(2+4)=AH：3 \)
　　　　\( 6AH=6 \)
　　　　　\( AH=1 \; (cm) \)

平行四辺形の向かい合う辺は長さが等しいので，
\( BE=3 \; cm，EC=2 \; cm，AH=1 \; cm \) より，\( HD=4 \; cm \)

補助線 \( AE，CH \) をひくと，
\( △ABE，△AEH，△CEH，△CDH \) は，
高さが等しいので，底辺の長さの比が面積比となります。
よって，\( △AEH \) の面積を \( 1 \) とすると，
\( △ABE=3，△CEH=2，△CDH=4 \) となります。