直方体の向かい合う辺の長さは等しいので，
　\( EF=AB=4 \; cm，FG=AD=2 \; cm \)
であり，
\( △EFG \) において，三平方の定理より，
　\( EG^2=4^2+2^2=20 \)
\( △AEG \) において，三平方の定理より，
　\( AG^2=AE^2+EG^2 \)
　　　 \( =3^2+20=29 \)
　 \( AG=\sqrt{29} \; (cm) \)

 \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角なので，
　\( ∠BAC=∠BDC=75° \)

線分 \( AC \) と線分 \( BD \) の交点を
\( E \) とすると，
\( ∠BEC \) は \( △ABE \) の外角なので，
　\( ∠x=∠BEC-∠BAC=35° \)

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( C，D \)とします。)
手順２　２点 \( C，D \) を通る直線を描く。

直線 \( ℓ \) と手順２の直線の交点が
求める点 \( P \) になります。

\( △ABD \) と \( △EAD \) において，
仮定より，\( ∠BAD=90°，∠AED=90° \)
なので，
　\( ∠BAD=∠AED \) ･･･ ➀
共通な角なので，
　\( ∠ADB=∠EDA \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABD \) ∽ \( △EAD \)

（１）より，　\( ∠ABD=∠EAD=a^\circ \)
\( △ABC \) は直角二等辺三角形なので，
\( ∠ABC=45^\circ \)
よって，
\( ∠DBC=∠ABC-∠ABD=45^\circ-a^\circ \)

\( AD=x \) とすると，\( AB=AC=2x \)
\( △ABD \) において，三平方の定理より，
　\( BD^2=x^2+(2x)^2=5x^2 \)
　 \( BD=\sqrt{5}x \)

（１）より，\( △ABD \) ∽ \( △EAD \) なので，
　\( AD：ED=BD：AD \)
　　 \( x：ED=\sqrt{5}x：x \)
　　　　\( ED=\dfrac{x}{\sqrt{5}} \)

　\( AB：EA=BD：AD \)
　　\( 2x：EA=\sqrt{5}x：x \)
　　　　\( EA=\dfrac{2}{\sqrt{5}}x \)

直線 \( ℓ \) と \( x \) 軸の交点を \( D \) とすると，
点 \( D \) の \( x \) 座標は，
　\( 0=-\dfrac{1}{2}x+3 \)
　\( x=6 \)
なので，
\( x \) 座標，\( y \) 座標がともに正の整数になり得るのは
\( 0<x≦6 \) の範囲です。

この中で，\( y \) 座標が正の整数になり得るのは，
\( x \) の値が偶数（２の倍数）になるときです。
ただし，\( x=6 \) のときは，
　\( y=-\dfrac{1}{2} \times 6+3=0 \)
となり，正の整数ではありません。

求める直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
　傾き \( a=\dfrac{4-3}{-2-(-4)}=\dfrac{1}{2} \)
なので，\( y=\dfrac{1}{2}x+b \) に \( x=-2，y=4 \) を
代入すると，
　\( 4=\dfrac{1}{2} \times (-2)+b \)
　\( b=5 \)

よって，この直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+5 \)

【点 \( P \) はどんな位置にあればいい？】
四角形 \( OABC \) と \( △BCP \) は，
\( △OBC \) の部分が共通なので，
\( △OAB \) と \( △OPB \) の面積が等しいとき，
四角形 \( OABC \) と \( △BCP \) の面積は等しく
なります。

\( △OAB \) と \( △OPB \) は辺 \( OB \) が共通なので，
等積変形の考え方から，\( AP//OB \) となるとき，
\( △OAB \) と \( △OPB \) の面積は等しくなります。

【点 \( P \) の座標を求める】
\( OB \) は，原点と \( B(-2，4) \) を通るので，
傾きは \( -2 \) であり，
直線 \( AP \) の傾きも \( -2 \) になります。
また，点 \( A \) は，
直線 ℓ：\( y=-\dfrac{1}{2}x+3 \) の切片になので，
点 \( A \) の座標は，\( A(0，3) \)
ここから，直線 \( AP \) の式は \( y=-2x+3 \)

直線 \( OC \) は，原点と \( C(-4，3) \) を通るので，
直線 \( OC \) の式は \( y=-\dfrac{3}{4}x \)

Ａのさいころの出る目とＢのさいころの出る目の
組み合わせを表に書き出し，
Ａのさいころの出る目の数の方が大きくなるところに
○ をつけてみます。

Ａの出る目の数の方が大きくなる組み合わせは
\( 15 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12} \)

\( △ABC \) は二等辺三角形であることから，
\( AM⊥BC \) であり，
　\( AB=5 \; cm，BM=\dfrac{1}{2}BC=3 \; cm \)
であることから，\( △ABM \) は
３辺の長さが \( 3：4：5 \) の直角三角形
であり，\( AM=4 \; cm \)

以上より，１回転させた立体は，
底面の半径が \( 4 \; cm \)，高さが \( 3 \; cm \) の円すいを
２つくっつけたものになっています。

手順１　点\( B \) を中心に円弧を描く。
(辺 \( AB，BC \) との交点を \( D，E \) とします。)
手順２　２点\( D，E \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( F \) とします。)
手順３　２点\( B，F \) を通る直線を描く。
手順４　点\( C \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( BF \) との交点を \( G，H \) とします。)
手順５　２点\( G，H \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( I \) とします。)
手順６　２点\( C，I \) を通る直線を描く。

　あ　
右の図のように３つの円の中心 \( A，B，C \) をとり，円 \( B \) と円 \( C \) の接点を \( P \) とすると，
\( △ABC \) の３辺はすべて半径２つ分なので，
\( 2 \; cm \) であり，正三角形になっています。
ここから，\( △ABP \) は \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形なので，\( AP=\sqrt{3}BP=\sqrt{3} \; (cm) \)

　い　
点 \( C \) を通り，\( AP \) と平行な直線をひき，
円 \( C \) の交点を \( Q \)，
\( AP \) を延長したときの円 \( A \) との交点を
\( R \) とすると，
\( CQ，AR \) はどちらも半径になるので，
\( CQ=AR=1 \; cm \)
よって，
長さ \( b=CQ+AP+AR=2+\sqrt{3} \; (cm) \)

上から \( 6 \) 列並べるときの円の上端から下端までの長さは
　\( 2+5\sqrt{3}=2+5 \times 1.73=10.65 \; (cm) \)
で，\( 10 \; cm \) より長いので，
【太郎さんの考え】は正しくない。

\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( -4≦x≦6 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \)
また，絶対値が最も大きくなるのは
\( x=6 \) のときなので，
\( y \) の最大値は
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 6^2=9 \)

よって，\( y \) の変域は \( 0≦y≦9 \)

求める 点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とし，
線分 \( BC \) を \( △BCP \) の底辺とすると，
高さは \( 6-t \) と表すことができるので，
　　　　　\( △BCP=21 \)
　\( 9 \times (6-t) \times \dfrac{1}{2}=21 \)
　　　　　\( 9(6-t)=42 \)
　　　　　\( 3(6-t)=14 \)
　　　　　　　　\( 3t=4 \)
　　　　　　　　 \( t=\dfrac{4}{3} \)

\( AB//DE \) より，\( △ODE \) ∽ \( △OAB \) であり，
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しいので，
\( △ODE：△OAB=1：16=1^2：4^2 \) のとき，
相似比は \( 1：4 \) になっています。

ここから，\( OD：OA=1：4 \)

直線 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( F \)，
直線 \( DE \) と \( y \) 軸の交点を \( G \)，
とすると，
\( AB//DE \) より，\( △ODG \) ∽ \( △OAF \) であり，
\( OG：OF=OD：OA=1：4 \)

直線 \( AB \) は \( A(-4，4)，B(6，9) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{9-4}{6-(-4)}=\dfrac{1}{2} \)
直線 \( AB \) の式を \( y=\dfrac{1}{2}x+b \) とすると，
\( B(6，9) \) を通るので，
　\( 9=\dfrac{1}{2} \times 6+b \)
　\( b=6 \)
ここから，\( OF=6 \) であり，
　\( OG：OF=1：4 \)
　　\( OG：6=1：4 \)
　　　　\( OG=\dfrac{3}{2} \)

\( △ABF \) と \( △ACD \) において，
仮定より，
　\( AB=AC \) ･･･ ➀
　\( BF=CD \) ･･･ ➁
\( \stackrel{\huge\frown}{ AD } \)に対する円周角なので，
　\( ∠ABF=∠ACD \) ･･･ ③
➀➁③より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABF≡△ACD \)

（１）より，\( △ABF≡△ACD \) なので，
\( AF=AD \) であり，\( △AFD \) は二等辺三角形に
なっています。

点 \( A \) から線分 \( BD \) に垂線をひき，
交点を \( G \) とすると，
\( △AFD \) が二等辺三角形であることから，
点 \( G \) は線分 \( FD \) の中点になっています。

\( BD = 6 \; cm，BF=CD=2 \; cm \) より，
\( FD=4 \; cm \) なので， \( FG=2 \; cm \)

\( △ABG \) に注目すると，
\( AB=5 \; cm，BG=4 \; cm，∠AGB=90° \)
より，
３辺の長さの比が \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，
\( AG=3 \; cm \)

\( △ADG \) において，三平方の定理より，
　\( AD^2=3^2+2^2=13 \)
　 \( AD=\sqrt{13} \; (cm) \) ( \( AD>0 \) より)

\( △ABE \) と \( △DCE \) は
\( ∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE \) なので，
\( △ABE \) ∽ \( △DCE \) であり，
相似比は，\( AB：DC=5：2 \) になっています。

\( DE=x \; cm \) とすると，
\( BD=6 \; cm \) より，\( BE=6-x \; cm \) なので，
\( AE=\dfrac{5}{2}x \; cm，CE=\dfrac{2}{5}(6-x) \; cm \)
と表すことができます。