奈良県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

\( 102° \) のところの外角は \( 78° \) なので，
　\( ∠x=360°-(85°+65°+78°+62°)=70° \)

手順１　２点 \( B，B’ \) を中心に円弧をかく。
　　　　（交点を \( P，Q \) とします。）
手順２　２点 \( P，Q \) を通る直線を書く。
手順３　２点 \( A，A’ \) を中心に円弧をかく。
　　　　（交点を \( R，S \) とします。）
手順４　２点 \( R，S \) を通る直線を書く。

\( △A’B’C’ \) は，\( △ABC \) を回転移動した
ものなので，点 \( A \) と \( A’ \)，点 \( B \) と \( B’ \)，
点 \( C \) と \( C’ \)は，それぞれ同じ円周上の
点になっています。

　あ　
\( △ABC，△ADC \) は，どちらも \( \sqrt{3} \; cm \)，
\( \sqrt{3} \; cm，2 \; cm \) の二等辺三角形であり，
点 \( M \) は辺 \( AC \) の中点であることから
\( BM⊥AC，DM⊥AC \) になります。

また，\( AM=\dfrac{1}{2}AC=1 \; cm \) なので，
\( △ABM \) において，三平方の定理より，
　\( BM^2=AB^2－AM^2=2 \)
　 \( BM=\sqrt{2} \; (cm) \)（\( BM>0 \) より）
\( △ADM \) においても同様に三平方の定理より，
　 \( DM=\sqrt{2} \; (cm) \)

　い　
\( △MBD \) は
\( \sqrt{2} \; cm，\sqrt{2} \; cm，2 \; cm \) の二等辺三角形なので，３辺の長さの比は，
　\( MB：MD：BD=\sqrt{2}：\sqrt{2}：2 \)
　　　　　　　　　　\( =1：1：\sqrt{2} \)
よって，\( △MBD \) は \( ∠BMD=90° \) の
直角二等辺三角形になっています。

三角すい \( ABCD \) の底面を面 \( ABC \) と考えると，
右の図のようになり，\( ∠BMD=90° \) より，
\( DM \; (=\sqrt{2} \; cm) \) が高さになります。

よって，三角すい \( ABCD \) の体積は，
　\( \left( \sqrt{2} \times 2 \times \dfrac{1}{2} \right) \times \sqrt{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} \; (cm^3) \)

この問題では，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) で
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは
\( x=3 \) のときで，このとき \( y \) の値（最大値）は，
　\( y=3^2=9 \)

よって，求める \( y \) の変域は，
\( 0≦y≦9 \) になります。

点 \( D \) は \( y=x^2 \) 上の点で \( x \) 座標が \( 3 \) なので，
\( y \) 座標は，
　\( y=3^2=9 \)
であり，点 \( D \) の座標は \( D(3，9) \) です。

点 \( C \) は \( y=x^2 \) 上の点で \( x \) 座標が \( 2 \) なので，
\( y \) 座標は，
　\( y=2^2=4 \)
になっています。

２点 \( B，C \) は \( y \) 座標が等しいので，
点 \( B \) の \( x \) 座標は，点 \( C \) の \( x \) 座標の符号を
入れ替えたもの，つまり，\( -2 \) になり，
点 \( B \) の座標は \( B(-2，4) \) です。

ア
点 \( Q \) は直線 \( AD \) 上を動く点であり，
点 \( P \) の \( x \) 座標が大きくなると，
点 \( Q \) の \( x \) 座標も大きくなります。

点 \( B \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と直線 \( AD \) の交点を \( E \) とすると，点 \( Q \) が点 \( E \) と重なるとき線分 \( BQ \) の長さはもっとも短くなり，
点 \( Q \) が点 \( E \) から離れていくほど線分 \( BQ \) の長さは長くなっていきます。

点 \( E \) の \( x \) 座標が負の値であることから，
点 \( Q \) の \( x \) 座標が正の値の範囲で大きくなるとき，
点 \( Q \) は点 \( E \) から離れていくので，
線分 \( BQ \) の長さは長くなっていきます。

イ
直線 \( AD \) と \( y \) 軸の交点を \( F \) とすると，
　\( ∠AOP=∠AOF+∠FOP \)
と表すことができます。

点 \( P \) は \( x \) 座標が正の範囲で動くので，
点 \( P \) がどこにあっても \( ∠AOF \) の大きさは
変化しません。

点 \( P \) の \( x \) 座標が大きくなるとき，
\( ∠FOP \) の大きさは小さくなっていくので，
\( ∠AOP \) の大きさも小さくなっていきます。

ウ
点 \( P \) の \( x \) 座標が点 \( C \) より小さいときは，
直線 \( BP \) の傾きは負，
点 \( P \) の \( x \) 座標が点 \( C \) と等しいときは，
直線 \( BP \) の傾きは \( 0 \)，
点 \( P \) の \( x \) 座標が点 \( C \) より大きいときは，
直線 \( BP \) の傾きは正
であり，傾きの値は大きくなっていきます。

エ
点 \( Q \) は直線 \( AD \) 上を動く点であり，
\( AD//BC \) より，等積変形になるので，
点 \( Q \) がどの位置にあっても
\( △BCQ \) の面積は一定になります。

点 \( P \) が線分 \( BC \) の下側にある場合
（ \( 0<t<2 \) の場合）
\( △PBC \) の底辺を \( BC \) とすると，
高さは \( 4-t^2 \) と表すことができるので，
面積は，
　\( △PBC=4 \times (4-t^2) \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =2(4-t^2) \)
で表すことができます。

\( △ABQ \) の底辺を \( AQ \) とすると，
底辺の長さは \( t-(-3)=t+3 \) と表すことが
できるので，面積は，
　\( △ABQ=(t+3) \times 5 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}(t+3) \)
　　　　　\( =\dfrac{5}{2}(t+3) \)
で表すことができます。

点 \( P \) が線分 \( BC \) の上側にある場合
（ \( 2<t \) の場合）
\( △PBC \) の底辺を \( BC \) とすると，
高さは \( t^2-4 \) と表すことができるので，
面積は，
　\( △PBC=4 \times (t^2-4) \times \dfrac{1}{2}=2(t^2-4) \)
で表すことができます。

\( △PBC \) の面積が \( △ABQ \) の面積の \( \dfrac{4}{5} \) となるとき，
　　\( △PBC=\dfrac{4}{5}△ABQ \)
　 \( 2(t^2-4)=\dfrac{4}{5} \times \dfrac{5}{2}(t+3) \)
　 \( 2(t^2-4)=2(t+3) \)
　　　\( t^2-4=t+3 \)
　\( t^2-t-7=0 \)
　　　　　　\( t=\dfrac{1±\sqrt{(-1)^2-4 \times 1 \times (-7)}}{2 \times 1} \)
　　　　　　 \( =\dfrac{1±\sqrt{29}}{2} \)
\( t \) の値の範囲は \( 2<t \) なので，
あてはまる解は \( t=\dfrac{1+\sqrt{29}}{2} \)

 \( △BCF \) と \( △ECD \) において，
仮定より
　\( ∠BFC=90° \) ･･･ ➀
直径 \( CE \) に対する円周角なので，
　\( ∠EDC=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠BFC=∠EDC \) ･･･ ➂
\( \stackrel{\huge\frown}{ CD } \) に対する円周角なので，
　\( ∠CBF=∠CED \) ･･･ ➃
➂➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △BCF \) ∽ \( △ECD \)

\( ∠BAC \) と \( ∠BEC \) は，どちらも \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角なので，\( ∠BEC=∠BAC \) であり，
\( ∠BAC \; (∠BAF) \) の大きさを \( a \) を用いて表すことにします。

仮定より，
\( △ABF \) は \( ∠AFB=90° \) の直角三角形なので，
　\( ∠BAF=180°-(∠AFB+∠ABF) \)
　　　　　\( =180°-(90°+a°) \)
　　　　　\( =90°-a° \)

\( BC=6 \; cm，CE=10 \; cm  \) より，
\( △ECB \) に注目すると，
直径に対する円周角なので
　\( ∠CBE=90° \) ･･･ ➀
また，\( BC：CE=6：10=3：5  \) なので，
\( △ECB \) は３辺の比が
　\( BC：BE：CE=3：4：5 \)
の直角三角形になっています。

次に，\( △ABF \) に注目すると，
仮定より \( ∠AFB=90° \) ･･･ ➁
\( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角なので
　\( ∠BAF=∠CEB \) ･･･ ➂
➁➂より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ECB \) ∽ \( △ABF \)

相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
\( △ABF \) の３辺の比は
　\( BF：AF：BA=3：4：5 \)
になっていることがわかります。

\( △ECD \) に注目すると，
\( ∠EDC=90°，∠DCE=45° \) より，
\( △ECD \) は直角二等辺三角形になっています。

（１）より，\( △BCF \) ∽ \( △ECD \) であることから，\( △BCF \) も直角二等辺三角形であり，
\( BC=6 \; cm \) より，
　\( BF=\dfrac{1}{\sqrt{2}}BC=3\sqrt{2} \; (cm) \)

よって，\( BF：AF=3：4 \) より，
　\( 3\sqrt{2}：AF=3：4 \)
　　　 \( 3AF=12\sqrt{2} \)
　　　　\( AF=4\sqrt{2} \; (cm) \)

「点 \( O \) と線分 \( BD \) との距離を求める」
というのは，
「点 \( O \) から線分 \( BD \) にひいた垂線の長さを求める」というのと同じことです。
つまり，点 \( O \) から線分 \( BD \) に垂線をひいた
交点を \( H \) とすると，
線分 \( OH \) の長さを求めればいいことになります。

線分 \( OB \) の長さを求める
線分 \( OB \) は円 \( O \) の半径であり，
線分 \( CE \; (=10 \; cm)  \) は円 \( O \) の直径なので，
　\( OB=\dfrac{1}{2}CE=5 \; (cm) \)

線分 \( BH \) の長さを求める
線分 \( OH \) は中心 \( O \) から弦 \( BD \) にひいた垂線なので，点 \( H \) は線分 \( BD \) の中点であり，線分 \( BD \) の長さがわかれば，線分 \( BH \) の長さを求められます。

\( △ABF \) と \( △DCF \) に注目すると，
\( △ABF≡△DCF \) になっているので，
　\( AF=DF \)
（３）１より，\( AF=DF=4\sqrt{2} \; cm \) なので，
　\( BD=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2} \; (cm) \)

点 \( H \) は線分 \( BD \) の中点なので，
　\( BH=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{7}{2}\sqrt{2} \; (cm) \)