大問１
(1) 次の➀～➃を計算しなさい。
➀ \( -5+1-(-12) \)
➁ \( \dfrac{3x+y}{2}-\dfrac{x+y}{3} \)
➂ \( -ab^2 \div \dfrac{2}{3}a^2b \times (-4b) \)
➃ \( \dfrac{8}{\sqrt{12}}+\sqrt{50} \div \sqrt{6} \)
(2) ある中学校の生徒３０人の通学時間を調べたところ，自転車で通学する２３人の通学時間の平均値は \( a \) 分，徒歩で通学する７人の通学時間の平均値は \( b \) 分，生徒全員の通学時間の平均値は \( 14 \) 分であった。このとき，\( b \) を \( a \) の式で表しなさい。
(3) 次の四角形のうち，必ず平行四辺形になる四角形はどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。
ア ４つの角がすべて直角である四角形
イ １組の対辺が平行であり，もう１組の対辺の長さが等しい四角形
ウ 対角線が垂直に交わる四角形
エ 対角線がそれぞれの中点で交わる四角形
長方形の対辺は平行で長さが等しいので，必ず平行四辺形になります。
イ 等脚台形は平行四辺形にはなりません。
ウ 下の図のような図形は平行四辺形にはなりません。
エ 対角線がそれぞれの中点で交わるとき，四角形の中にできる向かい合う三角形は，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，合同になります。
合同な三角形において，対応する辺と角は等しいので，
この四角形は１組の対辺が平行で長さが等しくなり，必ず平行四辺形になります。
(4) \( 8a^2b-18b \) を因数分解しなさい。
(5) ２つの方程式 \( 3x+2y+16=0，2x-y+6=0 \) のグラフの交点が，方程式 \( ax+y+10=0 \) のグラフ上にある。このときの \( a \) の値を求めなさい。
(6) 右の図は，三角柱 \( ABC-DEF \) である。辺 \( AB \) とねじれの位置にある辺をすべて書きなさい。
(7) 次の表は，Ａ中学校とＢ中学校の野球部の最近１０試合の得点のデータをまとめたものである。この表をもとに，Ａ中学校の得点のデータを箱ひげ図で表した。Ａ中学校の箱ひげ図にならって，Ｂ中学校の得点のデータの箱ひげ図をかき入れなさい。
(8) 右の図のように，半直線 \( OA，OB \) があり，半直線 \( OA \) 上に点 \( C \) をとる。半直線 \( OB \) 上に \( ∠OCP=45° \) となる点 \( P \) を，定規とコンパスを使い，作図によって求めなさい。ただし，定規は直線をひくときに使い，長さを測ったり角度を利用したりしないこととする。なお，作図に使った線は消さずに残しておくこと。
半直線 \( OB \) の交点が求める点 \( P \) になります。
手順１ 点 \( C \) を中心に円弧を描く
（半直線 \( OA \) との交点を点 \( D，E \) とします）
手順２ 点 \( D，E \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( F \) とします）
手順３ 半直線 \( CF \) を描く
（弧 \( DE \) との交点を点 \( G \) とします）
手順４ 点 \( D，G \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( H \) とします）
手順５ 半直線 \( CH \) を描く
手順５と半直線 \( OB \) との交点が求める点 \( P \) になります。
大問２
ゆうさんたちの学級では，数学の授業で次の〔問題〕に取り組んだ。下の【ゆうさんのノート】と【りくさんのノート】は，ゆうさんとりくさんがこの問題を正しく解いたノートの一部である。このことについて，下の (1)～(3) の問いに答えなさい。
〔問題〕
縦が \( 14 \; m \)，横が \( 18 \; m \) の長方形の土地に，右の図のように，同じ幅の道を縦と横につくり，残りの土地を畑にすることにした。畑の面積が \( 192 \; m^2 \) となるようにするには，道幅を何 \( m \) にすればよいか。
【ゆうさんのノート】
〔解答〕
下の図のように，道を動かしても，畑の面積は
変わらない。
道幅を \( x \; m \) とすると，道を動かした畑の，
縦の長さと横の長さは，
( ア ) \( m \)，( イ ) \( m \) と，
それぞれ \( x \) を使って表すことができる。
よって，方程式をつくると
( ア )( イ )\( =192 \)
\( ax^2+bx+c=0 \) の形にすると
Ｘ =0
Ｙ
【りくさんのノート】
〔解答〕
道幅を \( x \; m \) とすると，縦方向の道の面積と横方向の道の面積は， ウ \( m^2 \)，
エ \( m^2 \) と，それぞれ \( x \) を使って表すことができる。
また，縦方向の道と横方向の道が重なる部分の面積は \( x^2 \; m^2 \) となるので，道の面積の合計は，( ウ \( + \) エ \( -x^2) \; m^2 \) となる。
よって，方程式をつくると
\( 14×18-(\) ウ \( + \) エ \( -x^2)=192 \)
\( ax^2+bx+c=0 \) の形にすると
Ｘ =0
Ｙ
(1) 【ゆうさんのノート】の ア ， イ に当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。
(2) 【りくさんのノート】の ウ ， エ に当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。
(3) 【ゆうさんのノート】と【りくさんのノート】の Ｘ には同じ文字式が入り， Ｙ には言葉と式を使って書いた解答の続きが入る。 Ｘ に当てはまる文字式と， Ｙ に入る内容を書き，解答を完成させなさい。
大問３
次の図のように，玉が６個入った箱Ａと，玉が５個入った箱Ｂがある。１個のさいころを２回投げて，１回目に出た目の数だけ玉を箱Ａから箱Ｂに移し，２回目に出た目の数だけ玉を箱Ｂから箱Ａに移す。このとき，下の (1)・(2) の問いに答えなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。
(1) 箱Ａに入っている玉の個数が，５個になる確率を求めなさい。
よって，出た目の組み合わせを樹形図に表すと，
あてはあまるのは５通り，すべての場合の数は３６通りなので，求める確率は，\( \dfrac{5}{36} \)
(2) 箱Ａに入っている玉の個数が，箱Ｂに入っている玉の個数より多くなる確率を求めなさい。
「１回目に移す玉の数」\( > \)「２回目に移す玉の数」のとき，「箱Ａ」\( < \)「箱Ｂ」
「１回目に移す玉の数」\( = \)「２回目に移す玉の数」のとき，「箱Ａ」\( > \)「箱Ｂ」
「１回目に移す玉の数」\( < \)「２回目に移す玉の数」のとき，「箱Ａ」\( > \)「箱Ｂ」
なので，「１回目に移す玉の数」が「２回目に移す玉の数」と同じまたは少なくなる確率を求めます。
「１回目に移す玉の数」が「２回目に移す玉の数」と同じまたは少なくなるのは２１通り，
すべての場合の数は３６通りなので，求める確率は \( \dfrac{21}{36}=\dfrac{7}{12} \)
大問４
次の図のように，底面が１辺 \( 20 \; cm \) の正方形で高さが \( 25 \; cm \) である直方体の形をした水槽に，高さ \( 15 \; cm \) の長方形の仕切りが底面に対して垂直に取り付けられている。仕切りは底面積を２等分するように取り付けられており，２等分された底面をそれぞれ面 \( P \)，面 \( Q \) とする。また，水槽の上には蛇口 \( p \)，蛇口 \( q \) があり，蛇口 \( p \) を開くと面 \( P \) 側に水が入り，蛇口 \( q \) を開くと面 \( Q \) 側に水が入る。水面が仕切りの高さまで上昇すると，水があふれ出て仕切りの隣側に入る。水を入れ始めてから \( x \) 秒後の，面 \( P \) 側の水面の高さを \( y \; cm \) とするとき，下の (1)・(2)の問いに答えなさい。
ただし，水槽は水平な床の上に置かれており，水槽の壁や仕切りの厚さは考えないものとする。
(1) 蛇口 \( p \) を開くと面 \( P \) 側に毎秒 \( 100 \; cm^3 \) ずつ水が入る。このとき，\( x \) と \( y \) との関係を表したグラフとして適切なものを，次のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。
➀
面 \( P \) 側の底面積は \( 200 \; cm^2 \) なので，毎秒 \( 100 \; cm^3 \) ずつ水を入れるとき，毎秒 \( \dfrac{100}{200}=\dfrac{1}{2} \; (cm) \) ずつ水面の位置が高くなります。
仕切りの高さは \( 15 \; cm \) なので，\( x=15 \div \dfrac{1}{2}=30 \) 秒後に面 \( P \) 側が満タンになります。
➁
その後は，面 \( P \) 側からあふれる水が面 \( Q \) 側に入っていきます。
面 \( P \) 側と面 \( Q \) 側の容積は等しいので，面 \( Q \) 側が満タンになるまで \( 30 \) 秒かかります。
この \( x=30 \) から \( x=60 \) の間，面 \( P \) 側の水面の高さは \( 15 \; cm \) のままです。
➂
\( P \) 側も\( Q \) 側も仕切りの高さまで水が入った後は，水そう全体に水面の高さが高くなっていきます。
仕切りがなくなって，底面積は \( 400 \; cm^2 \) なので，毎秒 \( 100 \; cm^3 \) ずつ水を入れるとき，
毎秒 \( \dfrac{100}{400}=\dfrac{1}{4} \; cm \) ずつ水面の位置が高くなります。
仕切りがない部分の高さ \( 10 \; cm \) 水面が高くなるのにかかる時間は \( 10 \div \dfrac{1}{4}=40 \) 秒なので，水そうが満タンになるのは \( x=100 \) のときです。
以上を表しているグラフは イ になります。
(2) 蛇口 \( p \) と蛇口 \( q \) の両方を同時に開けると，蛇口 \( p \) から面 \( P \) 側に毎秒 \( 100 \; cm^3 \) ずつ水が入り，蛇口 \( q \) から面 \( Q \) 側に毎秒 \( 300 \; cm^3 \) ずつ水が入る。このとき，次の➀・➁の問いに答えなさい。
➀ \( x=12 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。
面 \( Q \) 側には毎秒 \( 300 \; cm^3 \) ずつ水が入るので，
毎秒 \( \dfrac{300}{200}=\dfrac{3}{2} \; (cm) \) ずつ水面の位置が高くなります。
仕切りの高さは \( 15 \; cm \) なので，
\( x=15 \div \dfrac{3}{2}=10 \) 秒後に面 \( Q \) 側が満タンになります。
\( x=10 \) から \( x=12 \) までの \( 2 \) 秒間は，
蛇口 \( p \) からの毎秒 \( 100 \; cm^3 \) に加えて，
面 \( Q \) 側からあふれた毎秒 \( 300 \; cm^3 \) の合計で
毎秒 \( 400 \; cm^3 \) が面 \( P \) 側に入ります。
このとき，
毎秒 \( \dfrac{400}{200}=2 \; (cm) \) ずつ水面の位置が高くなります。
よって，
\( x=0 \) から \( x=10 \) までは，毎秒 \( \dfrac{1}{2} \; cm \) ずつ，
\( x=10 \) から \( x=12 \) までは，毎秒 \( 2 \; cm \) ずつ
面 \( P \) 側の水面の位置が高くなるので，\( x=12 \) のときの水面の位置は，
\( \dfrac{1}{2} \times 10+2 \times 2=9 \; (cm) \)
➁ \( x \) の値が \( 0 \) から \( 10 \) まで増加するときの変化の割合を \( a \)，\( 10 \) から \( 15 \) まで増加するときの変化の割合を \( b \)，\( 15 \) から \( 25 \) まで増加するときの変化の割合を \( c \) とするとき，\( a，b，c \) の大小を，不等号を使って表しなさい。
大問５
右の図において，➀は関数 \( y=x^2 \) のグラフ，➁は \( y=-\dfrac{1}{3}x^2 \) のグラフである。点 \( A \) は➀のグラフ上にあり，\( x \) 座標は \( 3 \) である。点 \( A \) と \( y \) 軸について対称な点を \( B \) とし，点 \( A \) と \( x \) 座標が等しい➁のグラフ上の点を \( C \) とする。このとき，次の (1)～(3) の問いに答えなさい。
(1) 点 \( C \) の座標を求めなさい。
(2) 直線 \( BC \) と傾きが等しく，点 \( A \) を通る直線と，\( y \) 軸との交点を \( P \) とする。このとき，三角形 \( PBC \) の面積を求めなさい。
点 \( A，B，C \) の座標は \( A(3，9)，B(-3，9)，C(3，-3) \) なので，
直線 \( BC \) の傾きは，\( \dfrac{-3-9}{3-(-3)}=-2 \)
直線 \( BC \) の式を \( y=-2x+b \) とすると，\( (3，-3) \) を通るので，
\( -3=-2 \times 3+b \)
\( b=3 \)
よって，直線 \( BC \) の式は \( y=-2x+3 \)
直線 \( AP \) の式を \( y=-2x+c \) とすると，\( (3，9) \) を通るので，
\( 9=-2 \times 3+c \)
\( c=15 \)
よって，点 \( P \) の座標は \( P(0，15) \)
直線 \( BC \) と\( y \) 軸との交点を \( Q \) とすると，
\( △PBC=△PBQ+△PCQ \) と考えることができます。
\( △PBQ，△PCQ \) の辺 \( PQ \) を底辺とすると，
どちらの三角形も底辺 \( PQ=12 \)，高さは \( 3 \) なので，
\( △PBC=△PBQ+△PCQ \)
\( =12 \times 3 \times \dfrac{1}{2}+12 \times 3 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =36 \)
(3) 線分 \( AB \) と \( y \) 軸との交点を \( D \)，線分 \( BC \) と \( y \) 軸との交点を \( E \) とする。台形 \( DECA \) を線分 \( DA \) を軸として１回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi \) を用いること。
台形 \( DECA \) は，\( △BAC \) から \( △BDE \) を除いたものなので，
体積を求める立体は，
「頂点が \( B \) で底面が線分 \( AC \) を半径とする円である円すい」から
「頂点が \( B \) で底面が線分 \( DE \) を半径とする円である円すい」を取り除いたものになります。
つまり，
求める立体 \(=\) 「大きい円すい」 \(-\) 「小さい円すい」
になります。
点 \( A，C，D，E \) の座標は，\( A(3，9)，C(3，-3)，
D(0，9)，E(0，3) \) なので，
\( AC=12，DE=6 \)，
大きい円すいの高さは \( 6 \)，
小さい円すいの高さは \( 3 \)
になります。
大きい円すいの体積は，
\( \pi \times 12^2 \times 6 \times \dfrac{1}{3}=288\pi \)
小さい円すいの体積は，
\( \pi \times 6^2 \times 3 \times \dfrac{1}{3}=36\pi \)
よって，求める立体の体積は，
\( 288\pi-36\pi=252\pi \)
大問６
右の図のように，\( AB<BC \) であるような長方形 \( ABCD \) がある。まず，折り目が頂点 \( D \) を通り，頂点 \( A \) が辺 \( BC \) 上にくるように折り返す。このとき，頂点 \( A \) が移った点を \( E \) とし，折り目を線分 \( DF \) とする。次に，折り目が点 \( E \) を通り，頂点 \( C \) が線分 \( DE \) 上にくるように折り返す。このとき，頂点 \( C \) が移った点を \( G \) とし，折り目を線分 \( EH \) とする。次の (1)・(2) の問いに答えなさい。
(1) \( △DFE \) ∽ \( △EHG \) を証明しなさい。
\( △DFE \) と \( △EHG \) において
長方形のすべての内角は \( 90° \) なので，
\( ∠DEF=∠EGH \) ･･･ ➀
長方形の向かい合う辺は平行なので，
\( ∠ADE=∠CEG \) ･･･ ➁
折り返す前後の図形は合同なので，
\( △ADF≡△EDF，△CEH≡△GEH \)
合同な三角形の対応する角の大きさは等しいので，
\( ∠EDF=\dfrac{1}{2}∠ADE \) ･･･ ➂
\( ∠GEH=\dfrac{1}{2}∠CEG \) ･･･ ➃
➁➂➃より，\( ∠EDF=∠GEH \) ･･･ ➄
➀➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，\( △DFE \) ∽ \( △EHG \)
(2) \( AB=9 \; cm，BC=15 \; cm \) のとき，三角形 \( DFE \) の面積は，三角形 \( DHG \) の面積の何倍か。
\( △DEC \) において，
\( CD=AB=9 \; cm，DE=BC=15 \; cm \)より，
\( BC^2=DE^2-CD^2=15^2-9^2=144 \)
\( BC=12 \; (cm) \) (\(BC>0\) より)
\( DE=15 \; cm，EG=BC=12 \; cm \) より，
\( DG=DE-EG=3 \; cm \)
(1) より，\( △DFE \) ∽ \( △EHG \) なので，
\( EF：GH=DE：EG=15：12=5：4 \)
\( EF=\dfrac{5}{4}GH \)
\( DE=15 \; cm，DG=3 \; cm \) より，
\( DE=5DG \)
よって，
\( △DFE=DE \times EF \times \dfrac{1}{2} \)
\( =5DG \times \dfrac{5}{4}GH \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{25}{4}\left(DG \times GH \times \dfrac{1}{2}\right) \)
\( △DFE=DG \times GH \times \dfrac{1}{2} \) なので，
\( △DFE=\dfrac{25}{4}△DFE \)
