大問１
(1) \( 2 \times (-3)+3 \) を計算しなさい。
(2) \( 2ab \div \dfrac{b}{2} \) を計算しなさい。
(3) \( (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \) を計算しなさい。
(4) ２個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が６の倍数にならない確率を求めなさい。
２個のさいころの出る目の数の組み合わせと和を表に表し，６の倍数のところに ○ をつけてみます。
この中で，和が６または１２になるのは６通り，すべての場合の数は３６通りなので，
和が６の倍数になる確率は，\( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)
よって，和が６の倍数にならない確率は，\( 1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6} \)
(5) 関数 \( y=-2x^2 \) について述べた文として正しいものを，ア～エから全て選び，符号で書きなさい。
ア \( x \) の値が \( 1 \) ずつ増加すると，\( y \) の値は \( 2 \) ずつ減少する。
イ \( x \) の変域が \( -2≦x≦4 \) のときと \( -1≦x≦4 \) のときの，\( y \) の変域は同じである。
ウ グラフは \( x \) 軸について対称である。
エ グラフは下に開いている。
ア 二次関数では，\( x \) の変域によって，同じ \( 1 \) ずつ増加しても，
\( y \) の増加量は異なります。
（例）
\( x \) の値が \( -2 \) から \( -1 \) まで増加するとき，\( y \) は \( 6 \) 増加する
\( x \) の値が \( -1 \) から \( 0 \) まで増加するとき，\( y \) は \( 2 \) 増加する
イ どちらの場合も \( y \) の変域は \( -32≦y≦0 \) になります。
ウ この二次関数のグラフは \( y \) 軸について対称になっています。
エ 関数 \( y=ax^2 \) において，\( a<0 \) のとき，グラフは下に開きます。
(6) 線分 \( AB \) の垂直二等分線を，定規とコンパスを使って作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しなさい。
（交点を点 \( C，D \) とします）
手順２ 点 \( C，D \) を通る直線を描く。
手順２の直線が線分 \( AB \) の垂直二等分線になります。
大問２
右の図のように，水平に置かれた直方体状の容器 \( A，B \) がある。\( A \) の底面は，周の長さが \( 20 \; cm \) の正方形で，\( B \) の底面は，周の長さが \( 20 \; cm \) の長方形である。また，\( A \) と \( B \) の高さは，ともに \( 40 \; cm \) である。
次の (1)～(3) の問いに答えなさい。
(1) \( A \) の底面の面積を求めなさい。
(2) \( B \) の底面の長方形の１辺の長さを \( x \; cm \) としたとき，\( B \) の底面の面積を \( x \) を使った式で表しなさい。
\( B \) の底面は，周の長さが \( 20 \; cm \) の長方形ということは，
縦の辺と横の辺の長さの和は \( 10 \; cm \) になるので，
１辺の長さを \( x \; cm \) としたとき，もう１辺の長さは \( 10-x \; cm \) と表すことができます。
よって，面積は，\( x(10-x) \; cm^2 \) と表すことができます。
(3) \( B \) に水をいっぱいになるまで入れ，その水を全て空の \( A \) に移したところ，水面の高さが \( 30 \; cm \) になった。\( B \) の底面の長方形において，短いほうの辺の長さを求めなさい。
大問３
下の図は，ある中学校の３年Ａ組の生徒３５人と３年Ｂ組の生徒３５人が１学期に読んだ本の冊数について，クラスごとのデータの分布の様子を箱ひげ図に表したものである。
次の (1)～(3) の問いに答えなさい。
(1) ３年Ａ組の第１四分位数を求めなさい。
(2) ３年Ａ組の四分位範囲を求めなさい。
\( 9-5=4 \) （冊）
(3) 図から読み取れることとして正しいものを，ア～エから全て選び，符号で書きなさい。
ア ３年Ａ組と３年Ｂ組は，生徒が１学期に読んだ本の冊数のデータの範囲が同じである。
イ ３年Ａ組は，３年Ｂ組より，生徒が１学期に読んだ本の冊数のデータの中央値が小さい。
ウ ３年Ａ組は，３年Ｂ組より，１学期に読んだ本が９冊以下である生徒が多い。
エ ３年Ａ組と３年Ｂ組の両方に，１学期に読んだ本が１０冊である生徒が必ずいる。
Ａ組の範囲は \( 12-1=11 \) （冊），Ｂ組の範囲は \( 11-2=9 \) （冊）
イ
ウ Ａ組，Ｂ組の生徒数は３５人なので，第３四分位数は少ない方から２７番目の人の値になります。
Ａ組の第３四分位数は９冊，Ａ組の第３四分位数は１０冊であることから，
読んだ本の冊数が９冊以下の人はＡ組では２７人以上，Ｂ組では２６人以下になります。
エ Ａ組では冊数の少ない方から２７番目の人が９冊，最も多かった人が１２冊であることはわかりますが，
２８～３４番目の人の冊数は箱ひげ図だけではわかりません。
大問４
ある遊園地に，図１のような，Ａ駅からＢ駅までの道
のりが \( 4800 \; m \) のモノレールの線路がある。モノレールは，右の表の時刻に従ってＡ駅とＢ駅の間を往復し，走行中の速さは一定である。
モノレールが \( 13 \) 時にＡ駅を出発してから \( x \) 分後の，Ｂ駅からモノレールのいる地点までの道のりを \( y \; m \) とする。\( 13 \) 時から \( 13 \) 時 \( 56 \) 分までの \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表すと，図２のようになる。
次の (1)～(3) の問いに答えなさい。ただし，モノレールや駅の大きさは考えないものとする。
(1) モノレールがＡ駅とＢ駅の間を走行するときの速さは，分速何 \( m \) であるかを求めなさい。
(2) \( x \) の変域を次の (ア) ，(イ) とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
(ア) \( 0≦x≦8 \) のとき
(イ) \( 16≦x≦24 \) のとき
（ア）
この直線は，\( (0，4800)，(8，0) \) を通るので，
傾き\( =\dfrac{0-4800}{8-0}=-600 \)
この直線の式を \( y=-600x+b \) とすると，\( (8，0) \) を通るので，
\( 0=-600 \times 8+b \)
\( b=4800 \)
よって，この直線の式は，\( y=-600x+4800 \)
（イ）
この直線は，\( (16，0)，(24，4800) \) を通るので，
傾き\( =\dfrac{4800-0}{24-16}=600 \)
この直線の式を \( y=600x+b \) とすると，\( (16，0) \) を通るので，
\( 0=600 \times 16+b \)
\( b=-9600 \)
よって，この直線の式は，\( y=600x-9600 \)
(3) 花子さんは \( 13 \) 時にＢ駅を出発し，モノレールの線路沿いにある歩道をＡ駅に向かって一定の速さで歩いた。花子さんはＢ駅を出発してから \( 56 \) 分後に，モノレールと同時にＡ駅に到着した。
(ア) 花子さんが初めてモノレールとすれ違ったのは，モノレールが \( 13 \) 時にＡ駅を出発してから，何分後であったかを求めなさい。
直線の交点がモノレールとすれ違った場所と時間または追い越された場所と時間を表しています。
花子さんの直線の式は，\( y=\dfrac{600}{7}x \) なので，
\( y=\dfrac{600}{7}x \) と \( y=-600x+4800 \) を連立方程式として解くと，
\( \dfrac{600}{7}x=-600x+4800 \)
\( 600x=-4200x+33600 \)
\( 4800x=33600 \)
\( x=7 \)
よって，\( 7 \) 分後
(イ) 花子さんは，初めてモノレールとすれ違った後，Ａ駅に向かう途中で，Ｂ駅から戻ってくるモノレールに追い越された。花子さんが初めてモノレールとすれ違ってから途中で追い越されるまでに，歩いた道のりは何 \( m \) であったかを求めなさい。
(2) より，Ｂ駅から戻ってくるモノレールの走行状況を表す直線の式は \( y=600x-9600 \) なので，
\( y=\dfrac{600}{7}x \) と \( y=600x-9600 \) を連立方程式として解くと，
\( \dfrac{600}{7}x=600x-9600 \)
\( 600x=4200x-67200 \)
\( 3600x=67200 \)
\( x=\dfrac{56}{3} \)
\( y=\dfrac{600}{7}x \) に代入すると，\( y=1600 \)
よって，花子さんがモノレールに追い越されるのは，\( 1600 \; m \) 歩いたとき。
また，（ア）の連立方程式から，\( y=\dfrac{600}{7}x \) に \( x=7 \) を代入すると，\( y=600 \) なので，
花子さんがモノレールとすれ違ったのは，\( 600 \; m \) 歩いたとき。
以上より，すれ違ってから途中で追い越されるまでに，歩いた道のりは，\( 1600-600=1000 \; (m) \)
大問５
右の図で，\( △ABC \) の３つの頂点 \( A，B，C \) は円 \( O \) の周上にあり，点 \( D \) は \( ∠BAC \) の二等分線と円 \( O \) との交点である。また，線分 \( AD \) と辺 \( BC \) の交点を \( E \) とし， \( B \) を通り線分 \( DC \) に平行な直線と \( AD \)，辺 \( AC \) との交点をそれぞれ \( F，G \) とする。
次の (1)，(2) の問いに答えなさい。
(1) \( △AEC \) ∽ \( △BGC \) であることを証明しなさい。
\( △AEC \) と \( △BGC \) において，
\( BG//DC \) より，錯角は等しいので，
\( ∠GBC=∠BCD \) ･･･ ➀
弧 \( BD \) の円周角なので，
\( ∠BCD=∠BAD \) ･･･ ➁
線分 \( AD \) は \( ∠BAC \) の二等分線なので，
\( ∠BAD=∠EAC \) ･･･ ➂
➀➁➂より，\( ∠EAC=∠GBC \) ･･･ ➃
\( ∠C \) は共通 ･･･ ➄
➃➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △AEC \) ∽ \( △BGC \)
(2) \( AB=4 \; cm，BC=5 \; cm，CA=6 \; cm \) のとき,
(ア) \( CE \) の長さを求めなさい。
線分 \( AD \) は \( ∠BAC \) の二等分線なので，
\( BE：CE=AB；CA \) となります。
\( CE=x \; cm \) とすると，
\( AB：CA=BE：CE \)
\( AB：CA=(BC-CE)：CE \)
\( 4：6=(5-x)：x \)
\( 4x=6(5-x) \)
\( 10x=30 \)
\( x=3 \; (cm) \)
\( a：b=c：d\)
(イ) \( △BEF \) の面積は，\( △AFG \) の面積の何倍であるかを求めなさい。
ここまでの結果から，
\( CE：CG=AC：BC \)
\( 3：CG=6：5 \)
\( 6CG=15 \)
\( CG=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)
\( AC=6 \; cm，CG=\dfrac{5}{2} \; cm \) より，\( AG=\dfrac{7}{2} \; cm \)
\( BC=5 \; cm，CE=3 \; cm \) より，\( BE=2 \; cm \)
\( △BEF \) と \( △AFG \) において，
\( ∠EBF=∠GAF，∠BFE=∠AFG \) より，
\( △BEF \) ∽ \( △AFG \)
\( BE=2 \; cm，AG=\dfrac{7}{2} \; cm \) より，
相似比は \( 2：\dfrac{7}{2}=4：7 \)
相似な図形の面積比は相似比の２乗の比になるので，
\( △BEF：△AFG=4^2：7^2=16：49 \)
\( 49△BEF=16△AFG \)
\( △BEF=\dfrac{16}{49}△AFG \)
よって，\( △BEF \) の面積は，\( △AFG \) の面積の \( \dfrac{16}{49} \) 倍
大問６
\( 10 \) 以上の自然数について，次の作業を何回か行い，１けたの自然数になったときに作業を終了する。
例えば，\( 99 \) の場合は，<例> のように自然数が変化し，２回目の作業で終了する。
<例> \( 99 \) → \( 18 \) → \( 9 \)
次の (1)～(5) の問いに答えなさい。
(1) \( 1999 \) の場合は，作業を終了するまでに自然数がどのように変化するか。 <例>にならって書きなさい。
(2) \( 10 \) 以上 \( 30 \) 以下の自然数のうち，２回目の作業で終了するものを全て書きなさい。
(3) 次の文章は，３けたの自然数の場合に何回目の作業で終了するかについて，太郎さんが考えたことをまとめたものである。 ア には \( a，b，c \) を使った式を， イ ， ウ には数を，それぞれ当てはまるように書きなさい。
３けたの自然数の百の位の数を \( a \) ，十の位の数を \( b \) ，一の位の数を \( c \) とすると，１回目の作業
でできる自然数は， ア と表すことができる。 ア の最小値は \( 1 \) で，最大値は イ である。
➀ ア が１けたの自然数のとき
１回目の作業で終了する。
➁ ア が２けたの自然数のとき
１回目の作業では終了しない。 作業を終了するためには， ア が ウ のときはあと２回，
他のときはあと１回の作業を行う必要がある。
したがって，３けたの自然数のうち，３回目の作業で終了するものでは， ア \( = \) ウ が成り立つ。
(4) 百の位の数が \( 1 \) である３けたの自然数のうち，３回目の作業で終了するものを求めなさい。
(5) ３けたの自然数のうち，３回目の作業で終了するものは，全部で何個あるかを求めなさい。
