大問１
(1) \( -1+7 \)
(2) \( (-8) \times (-2)-(-4) \)
(3) \( (-3a-5)-(5-3a) \)
(4) \( 4a^2b \div \dfrac{3}{2}b \)
(5) \( (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-5) \)
(6) ある正の整数から \( 3 \) をひいて，これを２乗すると \( 64 \) になります。この正の整数を求めなさい。ただし，解答欄の書き出しに続けて，答えを求めるまでの過程も書きなさい。
(7) \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=-3 \) のとき \( y=1 \) です。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
(8) ことがらＡの起こる確率を \( p \) とするとき，ことがらＡの起こらない確率を \( p \) を使って表しなさい。
(9) 次のことがらが正しいかどうかを調べて，正しい場合には解答欄に「正しい」と書き，正しくない場合には反例を一つ書きなさい。
\( a \) が \( 3 \) の倍数ならば，\( a \) は\( 6 \) の倍数である。
(10) 図のように，線分 \( AB \) を直径とする半円 \( O \) の弧 \( AB \) 上に点 \( C \) があります。３点 \( A，B，C \) を結んでできる \( △ABC \) について，\( AB=8 \; cm，∠ABC=30° \) のとき，弧 \( BC \) と線分 \( BC \) で囲まれた色のついた部分の面積を求めなさい。
補助線 \( OC \) をひくと，色がついた部分の面積は，
おうぎ形 \( OBC-△OBC \)
で求めることができます。
【\( △OBC \) の面積】
\( △ABC \) において，直径に対する円周角なので，\( ∠ACB=90° \)
ここから，\( ∠BAC=180°-30°-90°=60° \)
\( △OAC \) において，どちらも半径なので，\( OA=OC \) であり，
１つの角が \( 60° \) の二等辺三角形なので，正三角形になっています。
点 \( C \) から線分 \( AB \) に垂線をひき，交点を点 \( D \) とすると，
\( △OBC \) は，底辺 \( OB \)，高さ \( CD \) であると考えられます。
\( △OCD \) は，\( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( CD=OC \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \; (cm) \)
よって，
\( △OBC=4 \times 2\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2}=4\sqrt{3} \; (cm^2) \)
おうぎ形 \( OBC \) の面積は，
半円 \( O=\pi{} \times 4 \times 4 \times \dfrac{120°}{360°}=\dfrac{16}{3}\pi{} \; (cm^2) \)
なので，
色がついた部分の面積 \( =\dfrac{16}{3}\pi{}-4\sqrt{3} \; (cm^2) \)
大問２
太郎さんと花子さんは，中学生の体力について調べています。<会話>を読んで，(1)〜(3) に答えなさい。
<会話>
太郎：私たちの中学校で実施している２年生の体力テストの結果を，５年ごとに比較してみよう。
花子：(あ)２０１０年，２０１５年，２０２０年の５０ｍ走のデータをもとに，箱ひげ図を作ってみたよ。
太郎：箱ひげ図の箱で示された区間には，すべてのデータのうち，真ん中に集まる約 (い) % のデータが
含まれていたよね。 箱ひげ図は，複数のデータの分布を比較しやすいね。
花子：(う)２０１０年，２０１５年，２０２０年の５０ｍ走のデータをもとに，ヒストグラムも作ってみたよ。
太郎：箱ひげ図とヒストグラムを並べると，データの分布をより詳しく比較できるね。
次は，反復横とびのデータを比較してみようよ。
(1) 下線部 (あ) について，花子さんが作った箱ひげ図から読み取れることとして，次の ➀，➁ のことがらは，それぞれ正しいといえますか。【選択肢】の ア〜ウ の中から最も適当なものをそれぞれ一つ答えなさい。
➀ ２０１５年の第３四分位数は，２０１０年の第３四分位数よりも小さい。
➁ ２０２０年の平均値は８．０秒である。
【選択肢】
ア 正しい イ 正しくない ウ 花子さんが作った箱ひげ図からはわからない
(2) (い) に当てはまる数として最も適当なのは，ア～エ のうちではどれですか。一つ答えなさい。
ア \( 25 \) イ \( 50 \) ウ \( 75 \) エ \( 100 \)
よって，箱の部分全体では約 \( 50 \)％のデータが含まれることになります。
(3) 下線部 (う) について,次の３つのヒストグラムは，花子さんが作った箱ひげ図の２０１０年，２０１５年，２０２０年のいずれかに対応しています。各年の箱ひげ図に対応するヒストグラムを，ア〜ウ の中からそれぞれ一つ答えなさい。
大問３
太郎さんは,ある洋菓子店で \( 1500 \) 円分の洋菓子を買おうと考えています。
(1)，(2) に答えなさい。 ただし，消費税は考えないものとします。
(1) 洋菓子店では，\( 1500 \) 円すべてを使い切ると，\( 1 \) 個 \( 180 \) 円のプリンと \( 1 \) 個 \( 120 \) 円のシュークリームを合わせて \( 9 \) 個買うことができます。➀，➁ に答えなさい。
➀ 次の数量の間の関係を等式で表しなさい。
➁ プリンとシュークリームをそれぞれ何個買うことができるかを求めなさい。
(2) 太郎さんが洋菓子店に行くと，プリンが売り切れていたので，代わりに \( 1 \) 個 \( 120 \) 円のシュークリームと \( 1 \) 個 \( 90 \) 円のドーナツを，\( 1500 \) 円すべてを使い切って買うことにしました。➀，➁ に答えなさい。
➀ 太郎さんは，シュークリームとドーナツをそれぞれ何個か買い，代金の合計が \( 1500 \) 円になる買い方について，次のように考えました。 には同じ数が入ります。 に適当な数を書きなさい。
<太郎さんの考え>
まず，次の数量の間の関係を等式で表します。
次に，この等式を満たす \( a，b \) がどちらも \( 0 \) 以上の整数である場合を考えます。そのような \( a，b \) の組は，全部で 組あります。
よって，シュークリームとドーナツをそれぞれ何個か買い，代金の合計が \( 1500 \) 円になるような買い方は，全部で 通りあります。
➁ シュークリームとドーナツがどちらも \( 8 \) 個ずつ残っているとき，それぞれ何個買うことができるかを求めなさい。
大問４
太郎さんは，パラボラアンテナに放物線の性質が利用されていることを知り，放物線について考えています。
<太郎さんが興味を持った性質>
パラボラアンテナの形は，放物線を，その軸を回転の軸として回転させてできる曲面です。この曲面には，図１の断面図のように軸に平行に入ってきた光や電波を，ある１点に集めるという性質があります。
この点のことを 焦点 といいます。
また，光や電波がこの曲面で反射するとき，
入射角 \( = \) 反射角
となります。
このとき，図２のように，点 \( P \) や点 \( Q \) を同時に通過した光や電波は、曲面上の点 \( A \) や点 \( B \) で反射し，同時に焦点 \( F \) に到達します。光や電波の進む速さは一定なので，
\( PA+AF=QB+BF \)
が成り立ちます。このことは，光や電波が，図２の破線上のどの位置を通過しても成り立ちます。
図３は，<太郎さんが興味を持った性質> を座標平面上に表したものです。 図３と【図３の説明】をもとに，(1)～(3) に答えなさい。
【図３の説明】
・２点 \( A，B \) は関数 \( y=ax^2 \) (\( a \) は定数) の
グラフ上の点
・点 \( A \) の座標は \( (4，4) \)
・点 \( B \) の \( x \) 座標は \( -2 \)
・点 \( F \) の座標は \( (0，1) \)
・点 \( P \) の座標は \( (4，8) \)
・点 \( Q \) の座標は \( (-2，8) \)
・直線 \( m \) は \( ∠PAF \) の二等分線
・直線 \( l \) は点 \( A \) を通り、直線 \( m \) と垂直に
交わる直線
・点 \( O \) は原点
(1) 関数 \( y=ax^2 \) について，➀，➁ に答えなさい。
➀ \( a \) の値を求めなさい。
➁ \( x \) の変域が \( -2≦x≦4 \) のとき，\( y \) の変域を求めなさい。
\( x \) の変域が \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の変域の最小値は \( 0 \)
\( x \) の変域の中で絶対値が最も大きくなるのは \( x=4 \) のときなので，
\( y \) の値は，\( y=\dfrac{1}{4} \times 4^2=4 \)
以上より，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦4 \)
(2) 次の には \( 8 \) より小さい同じ数が入ります。 に適当な数を書きなさい。
\( QB+BF \) の値は，点 \( Q \) と点 \( (-2， \) \( ) \) の間の距離と等しい。
【\( PA+AF \) の値】
点 \( F \) から直線 \( PA \) に垂線をひき，
交点を点 \( G \) とすると，
\( AG=3，FG=4 \) なので，三平方の定理より，
\( AF^2=3^2+4^2=25 \)
\( AF=5 \) （\( AF>0 \) より）
求める点は点 \( A(4，4) \) から \( y \) 方向に \( -5 \) だけ
進んだ点なので，\( (4，-1) \) になります。
【\( QB+BF \) の値】
点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x=-2 \) なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=\dfrac{1}{4} \times (-2)^2=1 \)
ここから， \( B(-2，1)，F(0，1) \) なので，\( BF=2 \)
求める点は点 \( B(-2，1) \) から \( y \) 方向に \( -2 \) だけ
進んだ点なので，\( (-2，-1) \) になります。
(3) 直線 \( l \) の方程式を求めなさい。
右の図において，
直線 \( m \) は \( ∠PAF \) の二等分線なので，○ \( = \) ○
\( m⊥l \) なので，
○ \( + \) ✕ \( =90° \) ，○ \( + \) ✕ \( =90° \)
となり，✕ \( = \) ✕ になっています。
また，対頂角なので，✕ \( = \) ✕ でもあり，
✕ \( = \) ✕ になっています。
(2) で求めた点 \( (4，-1) \) を \( H \) とすると，
\( △AFH \) は \( AF=AH \) の二等辺三角形になっています。
また，直線 \( l \) は \( ∠FAH \) の二等分線であることから，線分 \( FH \) の中点を通ります。
線分 \( FH \) の中点を \( J \) とすると，
\( F(0，1)，H(4，-1) \) より，点 \( J \) の座標は，
\( \left( \dfrac{0+4}{2}，\dfrac{1+(-1)}{2} \right)=(2，0) \)
直線 \( l \) は，２点 \( A(4，4)，J(2，0) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{4-0}{4-2}=2 \)
直線 \( l \) の式を \( y=2x+b \) とし，
\( x=2，y=0 \) を代入すると，
\( 0=2 \times 2+b \)
\( b=-4 \)
よって，直線 \( l \) の式は \( y=2x-4 \)
大問５
太郎さんは，正五角柱の形をしたケーキを４等分したいと考えています。＜太郎さんの考え＞ を読み，(1)〜(3) に答えなさい。
＜太郎さんの考え＞
図１の正五角形 \( ABCDE \) は，ケーキを真上から見たときの模式図です。
ケーキを４等分するために，正五角形 \( ABCDE \) の面積を４等分する線分を考えます。
はじめに，点 \( A \) から辺 \( CD \) に垂線 \( AF \) をひくと，線分 \( AF \) は正五角形 \( ABCDE \) の面積を２等分します。
次に，点 \( B \) を通り，四角形 \( ABCF \) の面積を２等分する直線を考えます。点 \( C \) を通り，直線 \( BF \) に平行な直線と，直線 \( AF \) との交点を \( P \) とします。 このとき，\( △BCF \) の面積と (あ) の面積が等しいから，四角形 \( ABCF \) の面積は (い) の面積と等しくなります。
したがって， (う) を点 \( Q \) とすると，線分 \( BQ \) は四角形 \( ABCF \) の面積を２等分します。
同じように考えて，線分 \( EQ \) は四角形 \( AEDF \) の面積を２等分します。
以上のことから，線分 \( AF \)，線分 \( BQ \)，線分 \( EQ \) により，正五角形 \( ABCDE \) の面積は４等分されます。
(1) (あ) ， (い) に当てはまるものとして最も適当なのは，ア～カ のうちではどれですか。それぞれ一つ答えなさい。
ア \( △CPF \) イ \( △BPF \) ウ \( △BCP\)
エ \( △ACP \) オ \( △ABP \) カ 四角形 \( BCPF \)
(あ)
線分 \( BF \) を固定して考えると，\( BF//CP \) より，等積変形の考え方から，\( △BCF \) と \( △BPF \) の面積は等しくなります。
(い)
四角形 \( ABCF \) の面積を \( △ABF+△BCF \) と考えると，\( △BCF=△BPF \) より，
\( △ABF+△BPF=△ABP \)
(2) (う) に当てはまるものとして最も適当なのは，ア～エ のうちではどれですか。一つ答えなさい。
ア 直線 \( BE \) と直線 \( AF \) との交点 イ 線分 \( AF \) の中点
ウ 線分 \( AP \) の中点 エ 直線 \( BD \) と直線 \( AF \) との交点
(1) より，四角形 \( ABCF=△ABP \) なので，
点 \( Q \) が線分 \( AP \) の中点であるとき，
\( △BAQ \) と \( △BPQ \) は底辺の長さが等しく，
高さが共通な三角形になるので，面積が等しくなります。
(3) 太郎さんは，下線部について，点 \( C \) を通り，直線 \( BF \) に平行な直線を<作図の手順>に従って作図し，作図した直線と直線 \( BF \) は平行であることを次のように説明しました。①，➁ に答えなさい。
手順１) 点 \( C \) を中心として，線分 \( BF \) の長さと等しい半径の円 \( M \) をかく。
手順２) 点 \( F \) を中心として，線分 \( BC \) の長さと等しい半径の円 \( N \) をかく。
手順３) 図２のように，２つの円の交点の１つを \( G \) とし，直線 \( CG \) をひく。
<作図した直線と直線 \( BF \) は平行であることの説明>
図２において,
\( △BCF ≡ △GFC \)
となり，
対応する角は等しいから,
\( ∠BFC=∠GCF \)
よって， (え) が等しいので，
\( BF//CG \)
となります。
① \( △BCF≡△GFC \) を証明しなさい。
➁ (え) に当てはまるものとして最も適当なのは，ア～エ のうちではどれですか。 一つ答えなさい。
ア 対頂角 イ 同位角 ウ 錯角 エ 円周角
