けた数が多くても少なくても関係なく共通している数字の特徴として，
「それぞれの位の数字の合計が３の倍数である数は必ず３で割り切れる」
というものがあります。
小さい数字であれば，実際に３で割ってみればわかりますが，本当に大きい数字でも成り立つかわかりません。
ここでは、特定の数字だけではなく，文字式として一般化した形の証明を紹介します。
それぞれの位の数字の合計が３の倍数である数は必ず３で割り切れる？
ある４ケタの整数を０から９までの整数を使って「 \(abcd\) 」と書くとき，
これを式に表すと、
１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ・・・ （１）
となります。
例）１２３４の場合：１０００ ✕ １＋１００ ✕ ２＋１０ ✕ ３＋４
式 （１）を次の通り変形します。
１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝(９９９＋１) \(a\) ＋(９９＋１) \(b\) ＋(９＋１) \(c\) ＋ \(d\)
＝９９９ \(a\) ＋９９ \(b\) ＋９ \(c\) ＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )
＝３ ✕ (３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) ) ・・・ （２）
また，それぞれの位の数字の合計が３の倍数になることを整数ｎを使って式で表すと，
( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )＝３ \(n\) ・・・ （３）
となります。
次に，式（３）を式（２）に代入すると，
３ ✕ (３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )＝３✕(３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) )＋３ \(n\)
＝３✕(３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) ＋ \(n\) )
となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\) はそれぞれ整数なので、３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) ＋ \(n\) も整数になります。
よって，それぞれの位の数字の合計が３の倍数になる４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず３で割り切れるといえます。
ちなみに、けた数が増えても（ ）の中が３３３３ \(e\) ，３３３３３ \(f\)･･･と増えていくだけなので同じです。
それぞれの位の数字の合計が９の倍数である数は必ず９で割り切れる？
３の場合の式（２）,式（３） のところで，
９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) ) ・・・ （２Ａ）
\(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) ＝９ \(n\) ・・・ （３Ａ）
として，式（３Ａ）を式（２Ａ）に代入すると，
９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )＝９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) )＋９ \(n\)
＝９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(n\) )
となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\)はそれぞれ整数なので、１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(n\) も整数になり，それぞれの位の数字の合計が９の倍数である４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず９で割り切れるといえます。
ちなみに、けた数が増えても（ ）の中が １１１１ \(e\) ，１１１１１ \(f\) ･･･と増えていくだけなので同じです。
まとめ
このように，それぞれの位の数字の合計が３の倍数である数は必ず３で割り切れることと
それぞれの位の数字の合計が９の倍数である数は必ず９で割り切れることがいえました。
他にも２で割り切れる数や５で割り切れる数についての証明も紹介していますのでご覧ください。
