大問１
（１） 次の ➀～➂ の計算をしなさい。
➀ \( 2-(-4) \)
➁ \( 6a^2 \times \dfrac{1}{3}a \)
➂ \( -2(3x-y)+2x \)
（２） 次の ➀，➁ の方程式を解きなさい。
➀ \( 6x-1=4x-9 \)
➁ \( x^2+5x+3=0 \)
（３） 次の ア～エ のうち，絶対値が最も小さい数を選び, 記号で答えなさい。
ア \( 3 \) イ \( -5 \) ウ \( -\dfrac{5}{2} \) エ \( 2.1 \)
（４） 関数 \( y=ax^2 \) のグラフが点 \( (-2, -12) \) を通るとき，\( a \) の値を求めなさい。
（５） 右の図において，\( l//m \) のとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
右の図のように直線 \( l，m \) と平行な直線 \( n \) をひくと，
\( l//n \) より，同位角は等しいので，
問題の \( 72° \) の角は，\( 38° \) と \( 34° \) の２つの角にわかれます。
また，，\( m//n \) より，錯角は等しいので，
\( ∠x \) と隣接する角は \( 34° \) になります。
よって，\( ∠x=180°-34°=146° \)
（６） \( a=2+\sqrt{5} \) のとき，\( a^2-4a+4 \) の値を求めなさい。
ただし，解答用紙の(解)には，答えを求める過程を書くこと。
（７） \( 1，2，3，4 \) の数が１枚ずつ書かれた４枚のカードを袋の中に入れる。この袋の中をよく混ぜてからカードを１枚引いて，これを戻さずにもう１枚引き，引いた順に左からカードを並べて２けたの整数をつくる。このとき，２けたの整数が \( 32 \) 以上になる確率を求めなさい。
２けたの整数が \( 32 \) 以上になるところに ○ をつけてみます。
\( 32 \) 以上になる組み合わせは５通り，すべての組み合わせは１２通りなので，
求める確率は \( \dfrac{5}{12} \)
（８） 右の図は，立方体の展開図である。この展開図を組み立てて立方体をつくるとき，面イの一辺である辺 \( AB \) と垂直になる面を，面ア～カからすべて選び，記号で答えなさい。
辺 \( AB \) と垂直になる面はアとカになります。
（９） 次の図は，ある部活動の生徒 \( 15 \) 人が行った「 \( 20 \; m \) シャトルラン」の回数のデータを，箱ひげ図にまとめたものである。後のア～オのうち，図から読み取れることとして必ず正しいといえるものをすべて選び，記号で答えなさい。
ア \( 35 \) 回だった生徒は１人である。
イ \( 15 \) 人の最高記録は \( 95 \) 回である。
ウ \( 15 \) 人の回数の平均は \( 57 \) 回である。
エ \( 60 \) 回以下だった生徒は少なくとも９人いる。
オ \( 60 \) 回以上だった生徒は４人以上いる。
大問２
\( y \) が \( x \) の関数である４つの式 \( y=ax，y=\dfrac{a}{x}，y=ax+b，y=ax^2 \) について，\( a \) と \( b \) が \( 0 \) でない定数のとき，右の例のように，ある特徴に当てはまるか当てはまらないかを考え，グループ分けする。次の （１），（２）の問いに答えなさい。
（１） 図Ⅰのように，特徴を「変化の割合は一定である」とするとき，次の ①，➁ の式は，どちらにグループ分けできるか。当てはまるグループの場合は ○ を，当てはまらないグループの場合は ✕ を書きなさい。
① \( y=ax+b \) ➁ \( y=ax^2 \)
\( y=ax，y=\dfrac{a}{x}，y=ax+b，y=ax^2 \) の
グラフは，それぞれ右の図のようになります。
\( y=ax+b \) は直線なので，変化の割合は一定です。
\( y=ax^2 \) は曲線なので，変化の割合は \( x \) の変域によって異なります。
（２） 次の ア～エ のうち，図Ⅱの特徴であるＡとして適切なものをすべて選び，記号で答えなさい。
ア グラフは \( y \) 軸について対称である
イ グラフは \( y \) 軸と交点をもつ
ウ \( x=1 \) のとき，\( y=a \) である
エ \( a>0 \) で \( x>0 \) のとき，\( x \) が増加すると \( y \) も増加する
ア グラフは \( y \) 軸について対称である
あてはまる ･･･ \( y=ax^2 \)
あてはまらない ･･･ \( y=ax，y=\dfrac{a}{x}，y=ax+b \)
イ グラフは \( y \) 軸と交点をもつ
あてはまる ･･･ \( y=ax，y=ax+b，y=ax^2 \)
あてはまらない ･･･ \( y=\dfrac{a}{x} \)
エ \( a>0 \) で \( x>0 \) のとき，\( x \) が増加すると \( y \) も増加する
あてはまる ･･･ \( y=ax，y=ax+b，y=ax^2 \)
あてはまらない ･･･ \( y=\dfrac{a}{x} \)
注：このグラフは \( a>0 \) の場合を表しています。
ウ \( x=1 \) のとき，\( y=a \) である
あてはまる ･･･ \( y=ax，y=\dfrac{a}{x}，y=ax^2 \)
あてはまらない ･･･ \( y=ax+b \) (\( x=1 \) のとき，\( y=a+b \) )
大問３
ある整数 \( a，b \) と \( 5 \) が，次のように \( a \) を \( 1 \) 番目として左から規則的に並んでいる。このとき，後の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） \( 20 \) 番目の整数は，\( a，b，5 \) のうちのどれか，答えなさい。
つまり，３の倍数の順番のときに \( b \) が並ぶことになります。
よって，\( 18 \) 番目が \( b \) になるので，\( 20 \) 番目はその２つ後で，\( 5 \) になります。
（２） \( 1 \) 番目から \( 7 \) 番目までの整数の和が \( 18 \)，\( 1 \) 番目から \( 50 \) 番目までの整数の和が \( 121 \) であるとき，\( a \) と \( b \) の値をそれぞれ求めなさい。
ただし，解答用紙の(解)には，答えを求める過程を書くこと。
大問４
南さんは，平行四辺形の学習を振り返り，次のように図形の性質に関わる【ことがら】をまとめた。
後の(1) ，(2)の問いに答えなさい。
四角形 \( ABCD \) が平行四辺形ならば，
四角形 \( ABCD \) の対角線 \( BD \) によって
つくられる２つの三角形は合同である。
（１） 南さんがまとめた【ことがら】が成り立つことを示したい。図Ⅰにおいて，四角形 \( ABCD \) が平行
四辺形のとき，三角形 \( ABD \) と三角形 \( CDB \) が合同になることを証明しなさい。
平行四辺形の向かい合う辺はそれぞれ平行なので，
\( AD//BC \) より，錯角は等しく，
\( ∠ADB=∠CBD \) ･･･ ➀
\( AB//DC \) より，錯角は等しく，
\( ∠ABD=∠CDB \) ･･･ ➁
また，線分 \( BD \) は共通 ･･･ ➂
➀➁➂より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABD≡△CDB \)
（２） 南さんは自分がまとめた【ことがらの逆】は成り立たないことに気がついた。
四角形 \( ABCD \) の対角線 \( BD \) によってつくられる２つの三角形が合同ならば， 四角形 \( ABCD \) は平行四辺形である。
ただし，作図に用いた線は消さないこと。
手順１ 点 \( B \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする
円弧を描く。
手順２ 点 \( D \) を中心に線分 \( AD \) を半径とする
円弧を描く。
手順１と２の円弧の交点が点 \( C \) になります。
\( △ABD≡△CBD \) で，辺 \( BD \) が共通なので，
作図する \( △CBD \) は，
\( △ABD \) を辺 \( BD \) を軸として対称移動させた図形
と考えることができます。
このとき， \( AB=BC，AD=CD \) となるので，
「点 \( B \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧」と
「点 \( D \) を中心に線分 \( AD \) を半径とする円弧」
の交点が点 \( C \) になります。
大問５
図Ⅰのように，地点Ｐに止まっていた電車が，東西にまっすぐな線路を走り始めた。電車が出発してから \( x \) 秒後までに地点Ｐから東に進んだ距離を \( y \; m \) とすると，\( 20 \) 秒後までは，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) の関係がある。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
ただし，電車の位置は，その先端を基準に考えるものとする。
（１） 電車は出発してから \( 6 \) 秒後までに東の方向へ何 \( m \) 進んだか，求めなさい。
（２） 図Ⅱのように，和也さんは線路と平行に走る道を東に向かって毎秒 \( \dfrac{10}{3} \; m \) の速さで走っている。電車が地点Ｐを出発したときに，和也さんが地点Ｐより西にある地点Ｑを通過し，その \( 10 \) 秒後に電車と和也さんが同じ地点を走っていた。
図Ⅲが，電車が出発してから \( x \) 秒後までに地点Ｐから東に進んだ距離を \( y \; m \) として，電車と和也さんが地点Ｐより東を走るときの \( x \) と \( y \) の関係を表したグラフであるとき，次の ➀～③ の問いに答えなさい。
➀ 図Ⅲのグラフ上にある点 ア～ウ のうち，和也さんが電車より前を走っていることを表す点を１つ選び，記号で答えなさい。
ア を通り \( y \) 軸と平行な直線，イ を通り \( y \) 軸と平行な直線，ウ を通り \( y \) 軸と平行な直線をひき，
電車が走っている状態を表す曲線との交点をとり，どちらの点が上側にあるかを確認すると，
下の図のとおり，イ の点だけが上側にあるとわかります。
➁ 地点Ｑから地点Ｐまでの距離を求めなさい。
地点Ｐから東に\( 25 \; m \) に進んだところになります。
和也さんは毎秒 \( \dfrac{10}{3} \; m \) の速さで走っているので，
\( 10 \) 秒間に進む距離は。\( \dfrac{10}{3} \times 10=\dfrac{100}{3} \; (m) \) です。
よって，\( 25-\dfrac{100}{3}=-\dfrac{25}{3} \) より，
地点Ｑの場所は，地点Ｐから西に \( \dfrac{25}{3} \; m \) 離れた場所とわかります。
➂ 和也さんが地点Ｐを走っていたときの，和也さんと電車との距離を求めなさい。
速さ（傾き）が毎分 \( \dfrac{10}{3} \; m \) であることと ➁ の結果から，
\( y=\dfrac{10}{3}x-\dfrac{25}{3} \) になります。
地点Ｐを走っているときを表すのは \( y=0 \) のときなので，代入すると，
\( 0=\dfrac{10}{3}x-\dfrac{25}{3} \)
\( \dfrac{10}{3}x=\dfrac{25}{3} \)
\( x=\dfrac{5}{2} \)
となり，和也さんが地点Ｐを走っていたのは，電車が出発してから \( \dfrac{5}{2} \) 秒後になります。
よって，電車が出発してから \( \dfrac{5}{2} \) 秒後にいる場所は，
\( y=\dfrac{1}{4} \times \left(\dfrac{5}{2} \right)^2=\dfrac{25}{16} \; (m) \)
となり，地点Ｐから東に \( \dfrac{25}{16} \; m \) の場所になります。
大問６
右の図のように，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) と，線分 \( OA \) 上の点 \( C \) を中心として，線分 \( CO \) を半径とする円 \( C \) とが交わるとき，その交点を \( D，D’ \) とする。また，半直線 \( DO，DC \) と円 \( O \) との交点をそれぞれ \( E，F \) とする。次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） \( ∠AOD=\dfrac{1}{2}∠EOF \) となることを次のように説明した。 ア ， ウ には適する語を， イ には適する記号をそれぞれ入れなさい。
ただし，弧 \( EF \) は，円周上の２点 \( E，F \) をそれぞれ両端とする弧のうち長くない方を表すものとする。
說明
円 \( C \) の半径より，\( CO=CD \) だから，\( △COD \) は ア 三角形になるので，
\( ∠EDF=∠ \) イ ･･･ ➀
また，\( ∠EDF \) は弧 \( EF \) の円周角であり，円周角は ウ 角の \( \dfrac{1}{2} \) 倍になるので，
\( ∠EDF=\dfrac{1}{2}∠EOF \) ･･･ ➁
したがって，➀，➁より，
\( ∠AOD=\dfrac{1}{2}∠EOF \) になる。
（２）\( AB=12 \; cm，∠BOF=90° \) のとき，次の ➀～③ の問いに答えなさい。
➀ \( ∠EDF \) の大きさを求めなさい。
\( ∠EDF=x \) とすると，
（１）より，\( △COD \) は二等辺三角形なので，
\( ∠CDO=∠COD=x \)
対頂角は等しいので，\( ∠BOE=x \)
\( ∠EDF \) は弧 \( EF \) の円周角，
\( ∠EOF \) は弧 \( EF \) の中心角なので，
\( ∠EOF=2∠EDF=2x \)
\( ∠BOF=90° \) なので，
\( ∠BOF=∠BOE+∠EDF \)
\( 90°=x+2x \)
\( x=30° \)
➁ \( CO \) の長さを求めなさい。
\( △OCF \) は \( OD=OF=6 \; cm \) の二等辺三角形で，
問 ➀ より，\( ∠CFO=∠CDO=30° \) なので，
\( △OCF \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形になっています。
よって，
\( CO：OF=1：\sqrt{3} \)
\( CO：6=1：\sqrt{3} \)
\( \sqrt{3}CO=6 \)
\( CO=2\sqrt{3} \; (cm) \)
③ 図において色をつけて示した，円 \( C \) のうち円 \( O \) と重なっていない部分の面積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
色付きの部分の面積を \( S \)，
右の図で青の線で囲った部分を \( T \) とすると，
\( S= \) おうぎ形 \( CDD’ – T\) ･･･ \( \fbox{1} \)
で求めることができます。
また，
\( T= \) おうぎ形 \( ODD’ -(△OCD+△OCD’) \)
･･･ \( \fbox{2} \)
で求められます。
\( \fbox{1} \) に \( \fbox{2} \) を代入すると，
\( S= \) おうぎ形 \( CDD’ – \) \( \{ \) おうぎ形 \( ODD’ -(△OCD+△OCD’) \} \)
\( = \) おうぎ形 \( CDD’ – \) \( \{ \) おうぎ形 \( ODD’ -(△OCD+△OCD’) \} \)
\( = \) おうぎ形 \( CDD’ +△OCD+△OCD’ – \) おうぎ形 \( ODD’ \)
で求められます。
ここで，円 \( C \) に注目すると，
\( △ODD’ \) は \( OD=OD’ \) の二等辺三角形で，
線分 \( OA \) は中心 \( C \) を通っていることから，
\( ∠DOD’ \) の二等分線になります。
\( △OCD \) と \( △OCD’ \) は
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △OCD≡△OCD’ \)
【\( △OCD，△OCD’ \) の面積】
線分 \( OA \) と線分 \( DD’ \) の交点を点 \( G \) とすると，
\( △ODD’ \) は \( OD=OD’，∠DOD’=60° \) の二等辺三角形なので，
正三角形になっており， \( DG=\dfrac{1}{2}DD’=3 \; (cm) \) です。
また，問➁より，\( CO=2\sqrt{3} \; cm \) なので，
\( △OCD=CO \times DG \times \dfrac{1}{2} \)
\( =2\sqrt{3} \times 3 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =3\sqrt{3} \; (cm^2) \)
\( △OCD≡△OCD’ \) より，\( △OCD’=3\sqrt{3} \; (cm^2) \)
【おうぎ形 \( ODD’ \) の面積】
おうぎ形 \( ODD’ \) は，半径 \( 6 \; cm \)，中心角 \( 60° \) なので，
おうぎ形 \( ODD’=\pi{} \times 6^2 \times \dfrac{60°}{360°} \)
\( =6\pi{} \; (cm^2) \)
\( ∠DOD’ \) は弧 \( DD \) の円周角，\( ∠DCD’ \) は弧 \( DD \) の中心角で，
\( ∠DCD’=2∠DOD’=120° \)
よって，おうぎ形 \( CDD’ \) は，半径 \( 2\sqrt{3} \; cm \)，中心角 \( 120° \) なので，
おうぎ形 \( CDD’=\pi{} \times (2\sqrt{3})^2 \times \dfrac{120°}{360°} \)
\( =4\pi{} \; (cm^2) \)
以上より，
\( S= \) おうぎ形 \( CDD’ +△OCD+△OCD’ – \) おうぎ形 \( ODD’ \)
\( =4\pi{}+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-6\pi{} \)
\( =6\sqrt{3}-2\pi{} \; (cm^2) \)
