大問１
（１） \( x，y \) についての連立方程式 Ａ，Ｂ がある。連立方程式 Ａ，Ｂ の解が同じであるとき，\( a，b \) の値を求めなさい。
Ａ \( \left\{ \begin{array}{}
-x-5y=7 \\
ax+by =9 \\
\end{array} \right. \) Ｂ \( \left\{ \begin{array}{}
2bx+ay=8 \\
3x+2y=5 \\
\end{array} \right. \)
大問２
右の表は，あるクラスの生徒２０人が受けた小テストの得点のデータを，度数分布表に整理したものである。
このデータを箱ひげ図で表したときに，度数分布表と矛盾するものを，次の ア～エ のうちからすべて選び，符号で答えなさい。
大問３
右の図の \( △ABC \) は，\( AB=3 \; cm, BC=4 \; cm \)，
\( ∠ABC=90° \) の直角三角形である。\( △DBE \) は，\( △ABC \) を，点 \( B \) を中心として, 矢印の方向に回転させたものであり，\( △DBE \) の辺 \( DE \) 上に，\( △ABC \) の頂点 \( A \) がある。 また，辺 \( CA \) と辺 \( BE \) の交点を \( F \) とする。
このとき，次の ①，② の問いに答えなさい。
① 線分 \( AE \) の長さを求めなさい。
点 \( B \) から線分 \( DE \) に垂線をひき，交点を 点 \( G \) とすると，\( △ABC \) ∽ \( △BGA \) なので，
\( AB：AC=BG：BE \)
\( 3：5=BG：4 \)
\( BG=\dfrac{12}{5} \; (cm) \)
\( △BDG \) において，三平方の定理より，
\( DG^2=BD^2-BG^2 \)
\( =9-\dfrac{144}{25}=\dfrac{81}{25} \)
\( DG=\dfrac{9}{5} \; (cm) \)
\( DE=5 \; cm，DG=AG \) より，
\( AE=DE-2DG \)
\( =5-2 \times \dfrac{9}{5} \)
\( =\dfrac{7}{5} \; (cm) \)
② \( △ABF \) の面積を求めなさい。
\( △ABD+△AEF+△ABF=△DBE \)，
\( △BCF+△ABF=△ABC，△DBE=△ABC \) なので，
\( △ABD+△AEF+△ABF=△BCF+△ABF \)
\( △ABD+△AEF=△BCF \)
となっています。
また，
\( ∠AEF=∠BCF，∠AFE=∠BFC \) より，
\( △AEF \) ∽ \( △BCF \) であり，
相似比は，
\( AE：BC=\dfrac{7}{5}：4=7：20 \)
となっています。
ここから，\( △AEF \) と \( △BCF \) の面積比は，
\( 7^2：20^2=49：400 \)
となるので，\( △AEF \) の面積を \( 49S \) とすると，
\( △BCF \) の面積は \( 400S \) と表すことができます。
\( △ABD+△AEF=△BCF \) より，
\( \left( \dfrac{18}{5} \times \dfrac{12}{5} \times \dfrac{1}{2} \right)+49S=400S \)
\( 351S=\dfrac{18 \times 6}{25} \)
\( S=\dfrac{4}{13 \times 25} \)
\( △BCF+△ABF=△ABC \) より，
\( 400S+△ABF=3 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \)
\( 400 \times \dfrac{4}{13 \times 25}+△ABF=6 \)
\( \dfrac{64}{13}+△ABF=6 \)
\( △ABF=\dfrac{14}{13} \; (cm^2) \)
大問４
右の図のように，関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフと，傾きが \( -\dfrac{1}{2} \) の２つの平行な直線 \( l，m \) がある。
関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフと直線 \( l \) の交点を \( A，B \) とし，関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフと直線 \( m \) の交点を \( C，D \) とする。
２点 \( A，B \) の \( x \) 座標は，それぞれ \( -4，2 \) であり，点 \( C \) の \( x \) 座標は，\( -4 \) より大きく \( 0 \) より小さい。また，直線 \( m \) と \( x \) 軸との交点を \( E \) とする。
このとき，次の ①，② の問いに答えなさい。
ただし, 原点 \( O \) から点 \( (1，0) \) までの距離及び原点 \( O \) から点 \( (0，1) \) までの距離をそれぞれ \( 1 \; cm \) とする。
① \( △ADB \) の面積が \( \dfrac{3}{7} \; cm^2 \) のとき，直線 \( m \) の式を求めなさい。
【方針】
直線 \( l \) と \( y \) 軸の交点を点 \( F \)，
直線 \( m \) と \( y \) 軸の交点を点 \( G \) とし，
さらに，点 \( F \) から直線 \( m \) に垂線をひき，
交点を点 \( H \) とします。
赤の三角形と緑の三角形は相似であり，
線分 \( FH \) は \( △ADB \) の高さと等しいので，
\( △ADB \) の高さを求めると，
辺の比を用いて \( FG \) を求めることができます。
ここから，\( FG \) の長さを使って，点 \( G \) の \( y \) 座標を求めることで，直線 \( m \) の式を求めることができます。
【解答】
点 \( A \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( -4 \) なので，
\( y=\dfrac{1}{4} \times (-4)^2=4 \)
点 \( B \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 2 \) なので，
\( y=\dfrac{1}{4} \times 2^2=1 \)
よって，
\( AB^2=6^2+3^2=45 \)
\( AB=3\sqrt{5} \; (cm) \)
\( △ADB \) の高さを \( h \) とすると，
\( △ADB=AB \times h \times \dfrac{1}{2} \)
\( \dfrac{3}{7}=3\sqrt{5} \times h \times \dfrac{1}{2} \)
\( h=\dfrac{2}{7\sqrt{5}} \; (cm) \)
右の図において，
\( FH：FG=2：\sqrt{5} \)
\( \dfrac{2}{7\sqrt{5}}：FG=2：\sqrt{5} \)
\( FG=\dfrac{1}{7} \; (cm) \)
直線 \( l \) の式を \( y=-\dfrac{1}{2}x+b \) とし，
\( x=2，y=1 \) を代入すると，
\( 1=-\dfrac{1}{2} \times 2+b \)
\( b=2 \)
なので，直線 \( l \) の式は， \( y=-\dfrac{1}{2}x+2 \)
ここから，点 \( F \) の座標は，\( F(0，2) \)
よって，点 \( G \) の座標は，\( G \left( 0，2-\dfrac{1}{7}=\dfrac{13}{7} \right) \) となるので，
直線 \( m \) の式は， \( y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{13}{7} \)
② 四角形 \( ACEB \) が平行四辺形になるとき, 直線 \( m \) の切片を求めなさい。
平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
右の図で赤と青の三角形は合同になっています。
ここで，点 \( C \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点なので，
\( x \) 座標を \( t \) とすると，
\( y \) 座標は，\( \dfrac{1}{4}t^2 \) と表すことができます。
点 \( C \) の \( y \) 座標は \( 3 \) なので，
\( \dfrac{1}{4}t^2=3 \)
\( t=-2\sqrt{3} \) ( \( t<0 \) より)
直線 \( m \) の式を \( y=-\dfrac{1}{2}x+b \) とし，
\( x=-2\sqrt{3}，y=3 \) を代入すると，
\( 3=-\dfrac{1}{2} \times (-2\sqrt{3})+b \)
\( b=3-\sqrt{3} \)
よって，直線 \( m \) の切片は \( 3-\sqrt{3} \)
