大問１
（１） 次の ➀～➂ の計算をしなさい。
➀ \( 6 \div (-2)-4 \)
➁ \( a+b+\dfrac{1}{4}(a-8b) \)
➂ \( (x-2)^2+3(x-1) \)
（２） 次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
➀ \( 5x^2-5y^2 \) を因数分解しなさい。
➁ \( x=\sqrt{3}+2，y=\sqrt{3}-2 \) のとき，\( 5x^2-5y^2 \) の値を求めなさい。
（３） 下の資料は，ある中学校の生徒 \( 240 \) 人のスポーツテストにおけるシャトルランの結果を表した度数分布表と箱ひげ図である。
このとき，次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
➀ \( 90 \) 回以上 \( 110 \) 回未満の階級の相対度数を求めなさい。
ただし，小数第 \( 3 \) 位を四捨五入して，小数第 \( 2 \) 位まで求めること。
➁ 資料から読みとれることとして正しいものを，次の ア～エ のうちから１つ選び，符号で答えなさい。
ア 範囲は \( 100 \) 回である。
イ \( 70 \) 回以上 \( 90 \) 回未満の階級の累積度数は \( 102 \) 人である。
ウ 度数が最も少ない階級の階級値は \( 120 \) 回である。
エ 第 \( 3 \) 四分位数は \( 50 \) 回である。
（４） 右の図のように，点 \( A，B，C，D，E，F \) を頂点とする１辺の長さが \( 1 \; cm \) の正八面体がある。
このとき，次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
➀ 線分 \( BD \) の長さを求めなさい。
➁ 正八面体の体積を求めなさい。
四角すい \( A-BCDE \) において，面 \( ABD \) に注目すると，
\( AB：AD：BD=1：1：\sqrt{2} \) より，
\( △ABD \) は直角二等辺三角形，\( ∠ABD=45° \) になっています。
点 \( A \) から線分 \( BD \) に垂線をひき，交点を点 \( O \) とすると，
\( △ABO \) は \( BO=AO \) の直角二等辺三角形になります。
点 \( O \) は線分 \( BD \) の中点になるので，
\( BO=AO=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \; cm \) になります。
以上より，四角すい \( A-BCDE \) は，
底面が１辺 \( 1 \; cm \) の正方形，高さ \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \; cm \) なので，
四角すい \( A-BCDE=1 \times 1 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{1}{3} \)
\( =\dfrac{\sqrt{2}}{6} \; (cm^3) \)
正八面体の体積は，この四角すい２つ分なので，
正八面体 \( =2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{6}=\dfrac{\sqrt{2}}{3} \; (cm^3) \)
（５） 下の図のように，\( 1，3，4，6，8，9 \) の数字が１つずつ書かれた６枚のカードがある。この６枚のカードをよくきって，同時に２枚ひく。
このとき，次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
ただし，どのカードをひくことも同様に確からしいものとする。
➀ ひいた２枚のカードに書かれた数が，どちらも３の倍数である場合は何通りあるか求めなさい。
➁ ひいた２枚のカードに書かれた数の積が，３の倍数である確率を求めなさい。
積が，３の倍数になる組み合わせは１２通り，すべての組み合わせは１５通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5} \)
（６） 下の図のように，関数 \( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) のグラフ上に点 \( A \) があり，点 \( A \) の \( x \) 座標は \( -3 \) である。
このとき，次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
➀ 点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。
➁ 関数 \( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -3≦x≦a \) のとき，\( y \) の変域が \( 0≦y≦3 \) となるような整数 \( a \) の値をすべて求めなさい。
（７） 下の図のように，円 \( O \) の円周上に点 \( A \) があり，円 \( O \) の外部に点 \( B \) がある。点 \( A \) を接点とする円 \( O \) の接線と，点 \( B \) から円 \( O \) にひいた２本の接線との交点 \( P，Q \) を作図によって求めなさい。なお，\( AP>AQ \) であるとし，点 \( P \) と点 \( Q \) の位置を示す文字 \( P \) と \( Q \) も書きなさい。
ただし，三角定規の角を利用して直線をひくことはしないものとし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
手順１ ２点 \( O，A \) を通る直線を描く。
手順２ 点 \( A \) を中心に円弧を描く。
（直線 \( OA \) との交点を点 \( C，D \) とします）
手順３ 点 \( C，D \) を中心に円弧を描く。
（交点を点 \( E \) とします）
手順４ ２点 \( A，E \) を通る直線を描く。
手順５ ２点 \( B，O \) を結ぶ線分を描く。
手順６ 点 \( B，O \) を中心に円弧を描く。
（交点を点 \( F，G \) とします）
手順７ ２点 \( F，G \) を通る直線を描く。
（線分 \( BO \) との交点を点 \( H \) とします）
手順８ 点 \( H \) を中心に点 \( O \) を通る円弧を描く。
（円 \( O \) との交点を点 \( I，J \) とします）
手順９ ２点 \( B，I \) を通る直線を描く。
手順１０ ２点 \( B，J \) を通る直線を描く。
手順４の直線と手順９の直線の交点が点 \( P \)，手順４の直線と手順１０の直線の交点が点 \( Q \) になります。
点 \( A \) を通り，直線 \( OA \) と垂直な直線を描けばいいです。
\( B \) から円 \( O \) にひいた２本の接線と円 \( O \) の交点，つまり接点は，
線分 \( BO \) の中点を中心に，点 \( O \) を通る円弧を書いたときの円 \( O \) との交点になります。
線分 \( BO \) の中点を点 \( H \) とし，点 \( H \) を中心，
線分 \( OH \) を半径とする円を円 \( H \) とします。
\( BH=OH \) より，線分 \( BO \) は円 \( H \) の直径になるので，
円 \( H \) と円 \( O \) との交点を \( X，Y \) とすると，
\( ∠BXO，∠BYO \) は直径 \( BO \) の円周角で，
\( ∠BXO=∠BYO=90° \) になります。
よって，直線 \( BX，BY \) は，点 \( X，Y \) を接点とする円 \( O \) の接線になります。
大問２
下の図のように，直線 \( y=4x \) 上の点 \( A \) と直線 \( y=\dfrac{1}{2}x \) 上の点 \( C \) を頂点にもつ正方形 \( ABCD \) がある。点 \( A \) と点 \( C \) の \( x \) 座標は正で，辺 \( AB \) が \( y \) 軸と平行であるとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） 点 \( A \) の \( y \) 座標が \( 8 \) であるとき，次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
➀ 点 \( A \) の \( x \) 座標を求めなさい。
➁ ２点 \( A，C \) を通る直線の式を求めなさい。
(2) 正方形 \( ABCD \) の対角線 \( AC \) と対角線 \( BD \) の交点を \( E \) とする。点 \( E \) の \( x \) 座標が \( 13 \) であるとき，点 \( D \) の座標を求めなさい。
正方形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，
点 \( A \) の \( x \) 座標を \( 13-t \)，
点 \( C \) の \( x \) 座標を \( 13+t \) とすると，
点 \( A \) は \( y=4x \) 上の点なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=4(13-t) \)
点 \( C \) は \( y=\dfrac{1}{2}x \) 上の点なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=\dfrac{1}{2}(13+t) \)
と表すことができます。
ここで，\( AB=BC \) より，
\( AB=BC \)
\( \{ 4(13-t)-\dfrac{1}{2}(13+t) \}=\{ (13+t)-(13-t) \} \)
\( 8(13-t)-(13+t)=4t \)
\( -9t+91=4t \)
\( 13t=91 \)
\( t=7 \)
よって，
点 \( A \) の \( x \) 座標は \( 13-t=13-7=6 \)，\( y \) 座標は \( y=4x=4 \times 6=24 \)
点 \( C \) の \( x \) 座標は \( 13+t=13+7=20 \)
点 \( D \) の \( x \) 座標は点 \( C \) の \( x \) 座標と等しく，\( y \) 座標は点 \( A \) の \( y \) 座標と等しいので，
点 \( D \) の座標は，\( D(20，24) \)
大問３
下の図のように，点 \( O \) を中心とする円 \( O \) とその外部の点 \( A \) がある。直線 \( AO \) と円 \( O \) との交点のうち，点 \( A \) に近い方を点 \( B \)，もう一方を点 \( C \) とする。円 \( O \) の円周上に，２点 \( B，C \) と異なる点 \( D \) を，線分 \( AD \) と円 \( O \) が点 \( D \) 以外の点でも交わるようにとり，その交点を点 \( E \) とする。また，点 \( B \) と点 \( D \)，点 \( B \) と点 \( E \)，点 \( C \) と点 \( D \)，点 \( C \) と点 \( E \) をそれぞれ結ぶ。
このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） 次の (a) ， (b) に入る最も適当なものを選択肢の ア～エ のうちからそれぞれ１つずつ選び，符号で答えなさい。また， (c) に入る最も適当な数を書きなさい。
選択肢
ア \( ∠EBC \) イ \( ∠BEC \) ウ \( ∠DCB \) エ \( ∠BDC \)
（２） \( △ABE \) ∽ \( △ADC \) となることを証明しなさい。
ただし，（１）の のことがらについては，用いてもかまわないものとする。
\( △ABE \) と \( △ADC \) において，
\( △BEC \) の外角なので，
\( ∠ABE=∠BEC+∠BCE \)
\( =90°+∠BCE \) ･･･ ➀
また，
\( ∠ADC=∠BDC+∠EDB \)
\( =90°+∠EDB \) ･･･ ➁
弧 \( BE \) に対する円周角なので，
\( ∠BCE=∠EDB \) ･･･ ➂
➀➁➂より，\( ∠ABE=∠ADC \) ･･･ ➃
\( ∠A \) は共通 ･･･ ➄
➃➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABE \) ∽ \( △ADC \)
（３） 点 \( E \) を通る線分 \( AD \) の垂線と線分 \( AC \) との交点を点 \( F \) とし，線分 \( EF \) と線分 \( BD \) の交点を点 \( G \) とする。 \( EG=1 \; cm，GF=2 \; cm，∠A=30° \) であるとき，線分 \( AB \) の長さを求めなさい。
仮定より，\( ∠AEF=90° \) なので，
\( ∠BEF=∠AEF-∠AEB \)
\( =90°-∠AEB \) ･･･ ➀
\( △BDC \) において，\( ∠BDC=90° \) なので，
\( ∠GBF=180°-∠BDC-∠BCD \)
\( =90°-∠BCD \) ･･･ ➁
（２）より，\( △ABE \) ∽ \( △ADC \) なので，
\( ∠AEB=∠BCD \) ･･･ ➂
①➁➂より，\( ∠BEF=∠GBF \)
\( ∠BEF=∠GBF，∠BFE \) は共通 より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △BEF \) ∽ \( △FBG \)
対応する辺の比は等しいので，
\( EF：BF=BF：GF \)
\( (2+1)：BF=BF：2 \)
\( BF^2=6 \)
\( BF=\sqrt{6} \; (cm) \)
\( △AEF \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( AF=2EF=6 \; (cm) \)
よって，\( AB=AF-BF=6-\sqrt{6} \; (cm) \)
大問４
２人でじゃんけんをして，次のルールにしたがって点数を競うゲームがある。このゲームについて，下の会話文を読み，あとの（１），（２）の問いに答えなさい。
・じゃんけんを１回するごとに，勝った人は出した手に応じて加点され，負けた人は出した手に応じて
減点される。
・グーで勝つと \( 1 \) 点，チョキで勝つと \( 2 \) 点，パーで勝つと \( 5 \) 点が加点される。
・グーで負けると \( 1 \) 点，チョキで負けると \( 2 \) 点，パーで負けると \( 5 \) 点が減点される。
・あいこの場合は１回と数えない。
・最初の持ち点は，どちらも \( 0 \) 点とする。
会話文
生徒Ｘ：例えば，ＡさんとＢさんが１回じゃんけんをして，Ａさんがチョキ，Ｂさんがパーを出したとき，
それぞれの持ち点は，Ａさんが \( 2 \) 点，Ｂさんが \( -5 \) 点になるということでしょうか。
教師Ｔ：そうですね。では，ＡさんとＢさんが３回じゃんけんをして，次のような手を出した結果，Ａさんの
持ち点は何点になるでしょうか。
生徒Ｘ： (a) 点です。
教師Ｔ：そのとおりです。それでは，２人がどのような手を出したのかがわからない場合を考えてみましょう。
ＡさんとＢさんが３回じゃんけんをして，Ａさんが２回勝ち，Ｂさんが１回勝った結果，Ａさんの
持ち点が \( 9 \) 点だったとき，Ｂさんの持ち点を求めてみましょう。
生徒Ｘ：まず，Ａさんが勝った２回の加点の合計を考えます。例えば，２回ともグーで勝った場合は加点の
合計が \( 2 \) 点となり，グーとチョキで勝った場合は加点の合計が \( 3 \) 点となります。このように
考えていくと，勝った２回の加点の合計は全部で (b) 通り考えることができます。
このうち，Ａさんが負けた１回の減点を考えた上で，３回じゃんけんをした結果，Ａさんの持ち点が
9点となりうる場合は１通りのみです。このことから，３回じゃんけんをした結果，Ｂさんの
持ち点が (c) 点となることがわかります。
教師Ｔ：そうですね。じゃんけんの回数が少なけれ
ば，１つずつ考えることができますね。
では，回数が多くなった場合について考えて
みましょう。
右の表は，じゃんけんを１回だけしたときの
ＡさんとＢさんの手の出し方と，持ち点を
まとめたものです。この表を見て気がつく
ことはありますか。
生徒Ｘ：２人の手の出し方は３通りずつありますが，あいこの場合は１回と数えないため，２人の手の出し方の
組み合わせは，全部で６通り考えればよいということになります。
また，じゃんけんを１回だけした結果，ＡさんとＢさんの持ち点の合計は，どちらかがゲーで勝った
場合は \( -1 \) 点，どちらかがチョキで勝った場合は \( -3 \) 点，どちらかがパーで勝った場合は \( 4 \) 点と
なっています。
教師Ｔ：そうですね。２人の持ち点の合計で考えると，３通りになりますね。
では，ＡさんとＢさんが１０回じゃんけんをしたとき，どちらかがグーで勝った回数を \( a \) 回，
どちらかがチョキで勝った回数を \( b \) 回，どちらかがパーで勝った回数を \( c \) 回とすると，\( c \) は \( a \) と
\( b \) を使ってどのように表すことができるでしょうか。また，１０回じゃんけんをした結果の，２人の
持ち点の合計をＭ点としたとき，Ｍを \( a \) と \( b \) を使って表すとどのようになりますか。
生徒Ｘ：\( c= \) (d) ，Ｍ \( = \) (e) と表すことができます。
教師Ｔ：そのとおりです。２人の持ち点の合計について，この式を用いると，\( a \) と \( b \) と \( c \) の組み合わせが
どのようになるのかが考えやすくなりますね。
（１） 会話文中の (a) ～ (e) について，次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
➀ (a) ， (b) ， (c) にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。
２回目： \( 2 \) 点（チョキで勝ち）
３回目： \( 1 \) 点（グーで勝ち）
で，合計 \( 2 \) 点
(b) ･･･ 考えられる合計得点は６通り
(c) ･･･ 残り１回について，\( -1 \) 点になるのは，Ａさんがグーで負けるときなので，
Ｂさんはパーで勝ったとわかります。
ここから，Ｂさんは
グーで負けが２回で \( -2 \) 点，パーで勝ちが１回で \( 5 \) 点で
合計 \( 3 \) 点になります。
➁ (d) ， (e) にあてはまる式をそれぞれ書きなさい。
ただし， (e) については \( c \) を使わずに表すこと。
（２） ２人の持ち点の合計が \( 0 \) 点となるときの \( a，b，c \) の組み合わせをすべて求めなさい。
ただし，答えを求める過程がわかるように，式やことばを使って説明しなさい。
