京都府公立高校入試　令和５（2023）年度（前期）　解答＆解説

四角すい \( ABCDE \) だけに注目し，
１辺の長さを \( x \; cm \) とすると，
四角形 \( BCDE \) は正方形なので，
　\( BD=\sqrt{2}x \; cm，BH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x \; cm \)

\( △ABH \) において，三平方の定理より，
　\( AB^2=AH^2+BH^2 \)
　　\( x^2=2^2+\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}x \right)^2 \)
　　\( x^2=4+\dfrac{1}{2}x^2 \)
　\( \dfrac{1}{2}x^2=4 \)
　　\( x^2=8 \)
　　 \( x=2\sqrt{2} \; (cm) \) (\( x>0 \) より)

\( △BCF \) を三角すい \( ABCF \) の底面と考えると，
点 \( A \) から平面 \( BFC \)におろした垂線の長さ
つまり，三角すい \( ABCF \) の高さが
点 \( A \) と平面 \( BFC \) との距離になります。

\( △BCF \) は正三角形なので，
点 \( F \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，
交点を 点 \( I \) とすると，
点 \( I \) は線分 \( BC \) の中点なので，
　\( FI=\sqrt{3}CI=\sqrt{6} \; (cm) \)
よって，\( △BCF \) の面積は，
　\( △BCF=2\sqrt{2} \times \sqrt{6} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =2\sqrt{3} \; (cm^2) \)

点 \( A \) は \( y=\dfrac{a}{x} \) 上の点なので，
\( x=2，y=6 \) を代入すると，
　\( 6=\dfrac{a}{2} \)
　\( a=12 \)

点 \( B，C \) は，どちらも \( y=\dfrac{12}{x} \) 上の点で，
\( x \) 座標はそれぞれ \( 4，-4 \) なので，
\( y \) 座標はそれぞれ \( 3，-3 \) になります。

点 \( E \) の \( y \) 座標は点 \( B \) と等しく，\( 3 \) になります。
また，線分 \( CD \) 上の点でもあり，
点 \( C，D \) の \( y \) 座標は，それぞれ \( -3，9 \) なので，
線分 \( CD \) の中点の \( y \) 座標は
　\( \dfrac{9+(-3)}{2}=3 \)
であり，点 \( E \) が線分 \( CD \) の中点になるとわかります。

点 \( O \) も線分 \( BC \) の中点なので，
\( △OEC \) ∽ \( △BDC \) で，相似比は \( 1：2 \)
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比なので，
\( △OEC：△BDC=1^2：2^2=1：4 \)

（１）より，\( △BDC \) の面積は \( 36 \) なので，
\( △OEC \) の面積は \( 9 \) になります。
四角形 \( COFE \) の面積は，
\( △BDC \) の面積の \( \dfrac{2}{5} \) 倍なので，
　\( 36 \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{72}{5} \)
ここから，\( △OFE \) の面積は
　\( \dfrac{72}{5}-9=\dfrac{27}{5} \)
線分 \( EF \) の長さを \( t \) とすると，
　\( t \times 3 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{27}{5} \)
　　　　　 \( t=\dfrac{18}{5} \)

\( △IGB \) と \( △IFE \) において，
対頂角は等しいので，
　\( ∠BIG=∠EIF \) ･･･ ➀
長方形の向かい合う辺は平行なので \( AD//BC \)
錯角は等しいので，
　\( ∠BDA=∠GBI \) ･･･ ➁
折り返す前後の図形は合同で，\( △BDA≡△BDE \)
対応する角は等しいので，
　\( ∠BDA=∠BDE \) ･･･ ➂
折り返す前後の図形は合同で，\( △GDH≡△GEH \)
対応する辺は等しいので，\( GD=GE \)
\( △GDE \) は二等辺三角形であり，
底角は等しいので，
　\( ∠FEI=∠GDE \) ･･･ ➃
➁➂➃より，
　\( ∠GBI=∠FEI \) ･･･ ➄
①➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △IGB \) ∽ \( △IFE \)

\( ∠BEF=∠DCF，∠EBF=∠CDF，EB=CD \) より，\( △EBF≡△CDF \)

\( EF=x \; cm \) とすると，
\( BC=AD=8 \; cm，CF=EF=x \; cm \) より，
\( BF=8-x \; cm \)
\( EB=AB=6 \; cm \) なので，三平方の定理より，
　　　\( BF^2=EB^2+EF^2 \)
　\( (8-x)^2=6^2+x^2 \)
　　　 \( 16x=28 \)
　　　　　\( x=\dfrac{7}{4} \; (cm) \)

（１）より，\( △IGB \) ∽ \( △IFE \) であり，
相似比は，\( BG：EF=5：\dfrac{7}{4}=20：7 \)

対応する辺の比は等しいので，
\( BI=x \; cm \) とすると，\( EI=\dfrac{7}{20}x \; cm \)
\( GE=DG=5 \; cm \) なので，\( GI=5-\dfrac{7}{20}x \; cm \)
対応する辺の比は等しいので，
　\( FI=\dfrac{7}{20} \left( 5-\dfrac{7}{20}x \right) \; cm \)