秋田県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

大問１

（１）　\( 6-2 \times 5 \) を計算しなさい。

（２）　\( 5(x+2y)-2(4x-y) \) を計算しなさい。

（３）　\( 90 \) を素因数分解しなさい。

（４）　 \( x=3，y=-2 \) のとき，\( \dfrac{1}{3}x^2y^3 \div 2xy \) の値を求めなさい。

（５）　\( \sqrt{32}-\sqrt{50}+\sqrt{27} \) を計算しなさい。

（６）　方程式 \( 0.8x+4=1.5x-0.9 \) を解きなさい。

（７）　連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
2x-y=7 \\
5x+3y=1 \\
\end{array} \right.  \) を解きなさい。

（８）　方程式 \( x^2-2x=24 \) を解きなさい。

（１０）　\( n^2-20n+91 \) の値が素数になる自然数 \( n \) をすべて求めなさい。

大問２

（１）　バスケットボールの試合で，Ａ選手は２点シュートと３点シュートを合わせて１０本決めた。この試合で，Ａ選手の得点の合計は２３点だった。健司さんと美咲さんは，Ａ選手が２点シュートと３点シュートをそれぞれ何本決めたか求めるために，健司さんは１つの文字，美咲さんは２つの文字を用いて，方程式をつくった。２人のメモが正しくなるように，\( \fbox{ ア }，\fbox{ イ } \) にあてはまる式を書きなさい。

（２）　次の①，②の問いに答えなさい。

①　関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -2≦x≦a \) のとき，\( y \) の変域は \( b≦y≦18 \) である。このとき，\( a，b \) の値を求めなさい。

(3)　次の表は，ある学級２０人のハンドボール投げの記録を度数分布表にまとめたものである。

➀　\( \fbox{ イ } \) にあてはまる数が \( 0.70 \) 以下のとき，\( \fbox{ ア } \) にあてはまる数をすべて求めなさい。

➁　この学級の記録の最頻値は，\( \fbox{ ア } \) と \( \fbox{ ウ } \) に入る数にかかわらず，\( 15 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級の階級値 \( 17.5 \; m \) であることがわかる。 その理由を，「度数」の語句を用いて書きなさい。

大問３

守さんと香さんは，新聞記事をきっかけに，トラックが走る距離と燃料の量に関心をもち，その関係を調べることにした。[メモ]は，３台のトラック（Ａ車，Ｂ車，Ｃ車）それぞれについて，走る距離と燃料の量の関係をまとめたものである。ただし，３台のトラックは，それぞれ \( 1 \; L \) あたり一定の距離を走り、燃料タンクの燃料をすべて使いきることができるものとする。

（１）　守さんは，Ａ車とＢ車それぞれについて，\( x \; L \) の燃料を使用したときの走った距離を \( y \; km \) とし，\( y \) は \( x \) に比例するとみなして図１のグラフをかいた。 点 \( P \) はＡ車のグラフ上の点であり，点 \( Q，R \) はＢ車のグラフ上の点である。点 \( P，Q \) の \( x \) 座標は等しく，点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 6 \) である。

①　点 \( R \) の \( y \) 座標を求めなさい。

➁　図１で，線分 \( PQ \) の長さが表すこととして正しいものを，次のア～エから１つ選んで記号を書きなさい。
　　ア　同じ距離を走ったときの，Ａ車とＢ車それぞれが使用した燃料の量の和
　　イ　同じ距離を走ったときの，Ａ車とＢ車それぞれが使用した燃料の量の差
　　ウ　同じ量の燃料を使用したときの，Ａ車とＢ車それぞれが走った距離の和
　　エ　同じ量の燃料を使用したときの，Ａ車とＢ車それぞれが走った距離の差

（２）　香さんは，燃料タンクいっぱいに燃料を入れて出発したＡ車とＢ車それぞれが，途中で燃料を追加せずに，\( x \; km \) 走ったときの燃料タンクに残っている燃料の量を \( y \; L \) として考えた。香さんは，\( y \) は \( x \) の１次関数であるとみなして図２のグラフをかいた。点 \( S \) は，Ａ車のグラフとＢ車のグラフの交点である。

香さんは，交点 \( S \) からわかることを，次のように説明した。【香さんの説明】が正しくなるように，　ア　にはあてはまる式を，　イ　 〜 　エ　 にはあてはまる数を書きなさい。

（３）　燃料タンクいっぱいに燃料を入れて出発したＡ車とＣ車それぞれが，途中で燃料を追加せずに \( 550 \; km \) 走った。このとき，燃料タンクに残っている燃料の量は，どちらの車のほうが何 \( L \) 多いか，求めなさい。求める過程も書きなさい。ただし，次の【考え方】のどちらかを ○ で囲み，その考え方に沿って書くこと。

【考え方】
守さんの考え方
Ａ車とＣ車それぞれについて，\( x \; L \) の燃料を使用したときの走った距離を \( y \; km \) とし，
\( y \) は \( x \) に比例するとみなす。

香さんの考え方
Ａ車とＣ車それぞれについて，\( x \; km \) 走ったときの燃料タンクに残っている燃料の量を \( y \; L \) とし，
\( y \) は \( x \) の１次関数であるとみなす。

大問４

（１）　図１のように, 縦, 横それぞれ３マスずつのマス目と矢印が印刷されているたくさんの用紙と，１から順に自然数が１つずつ書かれているカードがある。図２のように，用紙の向きを変えずに，１枚目の用紙には \( \fbox{1} \) から順に中央のマスから矢印に沿ってカードを並べていく。２枚目の用紙には \( \fbox{10} \) から順に，３枚目の用紙には \( \fbox{19} \) から順に，同様にカードを並べていく。４枚目以降の用紙にも同様にカードを並べていくものとする。

➀　５枚目の用紙で，中央のマスにあるカードに書かれている数を求めなさい。

➁　\( n \) 枚目の用紙で，中央のマスの左上のマスにあるカードに書かれている数を，\( n \) を用いた式で表しなさい。

（２）　１から６までの目が出るさいころを投げる。ただし，さいころのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

①　このさいころを１回投げて出た目を \( a \) とする。\( a+3 \) の値が４の倍数になる確率を求めなさい。

➁　このさいころを２回投げたとき，１回目に出た目を \( b \)，２回目に出た目を \( c \) とする。
\( \dfrac{c}{b} \) の値が整数になる確率を求めなさい。

【解説】

１回目と２回目のさいころの出た目の組み合わせと，\( \dfrac{c}{b} \) の値が整数になるところに値を書いていくと，
整数になる組み合わせは１４通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18} \)

大問５

Ⅰ　図１において，四角形 \( ABCD \) は長方形である。点 \( E \) は辺 \( AD \) 上の点であり，点 \( F \) は線分 \( BD \) と線分 \( CE \) の交点である。 次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）　\( △FBC \) ∽ \( △FDE \) となることを証明しなさい。

（２）　図２は，図１に点 \( E \) を通り線分 \( BD \) に平行な直線をかき加え，辺 \( AB \) との交点を \( G \) としたものである。\( AB=3 \; cm， AE=2 \; cm，ED=4 \; cm \) とする。

①　線分 \( EG \) の長さを求めなさい。

➁　四角形 \( GBFE \) の面積を求めなさい。

Ⅱ 図１において，四角形 \( ABCD \) は \( AD//BC \) の台形である。点 \( E \) は辺 \( AD \) 上の点であり，点 \( F \) は線分 \( BD \) と線分 \( CE \) の交点である。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）　\( △FBC \) ∽ \( △FDE \) となることを証明しなさい。

（２）　図２は，図１の辺 \( BC \) 上に点 \( G \) を \( AE=CG \) となるようにとり，線分 \( AG \) と線分 \( BE \) をかき加えたものである。点 \( H \) は線分 \( AG \) と線分 \( BE \) の交点であり，点 \( I \) は線分 \( AG \) と線分 \( BD \) の交点である。

➀　\( ∠ABG=60°，∠BAH=a° \) のとき，\( ∠DEF \) の大きさを，\( a \) を用いて表しなさい。

➁　\( AE：ED=2：3，BG：GC=3：1 \) のとき，四角形 \( EHIF \) の面積は，四角形 \( ABCD \) の面積の何倍か，求めなさい。