大問１
（１）（ア）〜（エ）の計算をしなさい。
（ア） \( 4-11 \)
（イ） \( 4(2x+y)-3(x-3y) \)
（ウ） \( (-6xy^3)÷(-2xy) \)
（エ） \( \sqrt{27}-\sqrt{12} \)
（２） \( x^2-3x-40 \) を因数分解しなさい。
（３） 二次方程式 \( 3x^2+x-1=0 \) を解きなさい。
（４） 下の図のような \( △ABC \) がある。頂点 \( B \) から辺 \( AC \) に垂線をおろし，辺 \( AC \) との交点を \( H \) とする。\( AB=5 \; cm，CH=3 \; cm，∠CBH=45° \) であるとき，\( △ABC \) を，辺 \( AC \) を回転の軸として，１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
\( △BCH \) は，底角が \( 45° \) の直角三角形なので，
直角二等辺三角形であり，\( BH=CH=3 \; cm \) となっています。
\( △ABH \) は，\( AB=5 \; cm，BH=3 \; cm \) より，
\( 3：4：5 \) の直角三角形であり，\( AH=4 \; cm \) です。
ここから，１回転させてできる立体は，
底面の半径が \( 3 \; cm \)，高さが \( 4 \; cm \) の円すい（円すい➀）と
底面の半径が \( 3 \; cm \)，高さが \( 3 \; cm \) の円すい（円すい➁）
をくっつけたものになります。
円すい➀の体積 \( =(\pi{} \times 3^2) \times 4 \times \dfrac{1}{3}=12\pi{} \; (cm^3) \)
円すい➁の体積 \( =(\pi{} \times 3^2) \times 3 \times \dfrac{1}{3}=9\pi{} \; (cm^3) \)
なので，求める立体の体積は，\( 12\pi{}+9\pi{}=21\pi{} \; (cm^3) \)
（５） 下の図のように，線分 \( AB \) を直径とする半円がある。弧 \( AB \) 上に，弧 \( AP： \)弧 \( PB=3：1 \) となるような点 \( P \) を作図しなさい。また，点 \( P \) の位置を示す文字 \( P \) も図の中にかき入れなさい。
ただし，作図には定規とコンパスを用い，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
手順１ 点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
(交点を点 \( C，D \) とします)
手順２ 点 \( C，D \) を通る直線を描く。
(線分 \( AB \) との交点を点 \( O \)，
弧 \( AB \) との交点を点 \( E \) とします)
手順３ 点 \( B，E \) を中心に円弧を描く。
(交点を点 \( F \) とします)
手順４ 点 \( O，F \) を通る直線を描く。
手順４の直線と弧 \( AB \) との交点が求める点 \( P \) となります。
弧 \( AP： \)弧 \( PB=3：1 \) より，
右の図のように，弧 \( AP \) を３等分する点を
それぞれ点 \( Q，R \) とすると，
弧 \( AR= \)弧 \( RQ= \)弧 \( QP= \)弧 \( PB \)
となります。
この円の中心を点 \( O \) とすると，長さが等しい弧に対する中心角は等しいので，
\( ∠AOR=∠ROQ=∠QOP=∠POB=45° \)
であり，\( ∠QOB=90° \) となります。
このとき，\( OA=OB \) であることから，線分 \( OQ \) は「線分 \( AB \) の垂直二等分線 ･･･ ➀」になります。
また，\( ∠POB=45° \) であることから，線分 \( OP \) は 「\( ∠QOB \) の二等分線 ･･･ ➁」になります。
以上より，➀➁を描くことで点 \( P \) の位置がわかります。
（６） 下の図のように，点 \( O \) を中心，線分 \( BC \) を直径とする円がある。この円周上に３点 \( A，D，E \) があり，線分 \( DE \) は点 \( O \) を通り，線分 \( AC \) と平行である。
このとき，\( ∠BAE \) の大きさを求めなさい。
補助線 \( OA \) をひくと，
\( △OAB \) は二等辺三角形なので，
\( ∠OAB=∠OBA=50° \)
\( ∠OAE=x \) とすると，
\( △OAE \) は二等辺三角形なので，
\( ∠OEA=∠OAE=x \)
\( DE//AC \) より，錯角は等しいので，
\( ∠CAE=∠OEA=x \)
直径に対する円周角なので，\( ∠BAC=90° \) であり，
\( 50°+2x=90° \)
\( x=20° \)
よって，\( ∠BAE=50°+x=70° \)
（７） 下の図は１組から４組の各３０人の生徒に対して数学のテストを行い，その得点をクラス別に箱ひげ図に表したものである。この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを，あとのア～オの中からすべて選び，記号を書きなさい。
ア １～４組全体の最高得点の生徒がいるのは２組である。
イ 平均点が最も高いのは３組である。
ウ 四分位範囲が最も大きいのは１組である。
エ 箱が示す区間に含まれているデータの個数は１組よりも２組の方が少ない。
オ ２組において，７０点以上の人数は８人以上である。
大問２
（１） アオイさんとリョウさんはバスケットボール部に所属しており，ある試合が終わった後に，次のような 【会話】をしている。
【会話】を踏まえて，（ア）～（ウ）の各問いに答えなさい。
【会話】
アオイ：今日の試合では，私たちのチームの得点は \( 61 \) 点だったね。
リョウ：コーチから聞いたけど，この試合では，シュートと得点が \( 1 \) 点のフリースローを合計 \( 85 \) 本放って
いて，シュートのうち \( 3 \) 点シュートと \( 2 \) 点シュートは同じ本数を放ったみたいだよ。チーム全体の
\( 3 \) 点シュートの成功率が \( 30 \; \% \)，\( 2 \) 点シュートとフリースローの成功率はどちらも \( 40 \; \% \) だった
そうだよ。
アオイ：それぞれの種類のシュートとフリースローが何本成功したのかを計算してみよう。\( 3 \) 点シュートと
\( 2 \) 点シュートを放った本数をそれぞれ \( x \) 本，フリースローを放った本数を \( y \) 本として 【表】 の
ようにまとめたよ。
（ア） 【表】の中の \( \fbox{ ➀ } \) ～ \( \fbox{ ➂ } \) にあてはまる数や式の組み合わせとして正しいものを、次のア～エの中から１つ選び，記号を書きなさい。
（イ） \( x、y \) についての連立方程式を次のようにつくった。このとき，➃ と ➄ にあてはまる式を \( x、y \) を用いてそれぞれ表しなさい。
\( \left\{ \begin{array}{}
\fbox{ ➃ }=85 \\
\fbox{ ➄ }=61 \\
\end{array} \right. \)
（ウ） この試合で，３点シュートは何本成功したか求めなさい。
（２） 縦の長さが \( 8 \; m \)，横の長さが \( 12 \; m \) の長方形の土地がある。下の図のように，縦に２本，横に１本の同じ幅の通路がある花だんをつくりたい。
通路の幅を \( x \; m \) とするとき，（ア）～（ウ）の各問いに答えなさい。
（ア） 通路の幅を \( 1 \; m \) とするとき，通路の面積を求めなさい。
通路の位置を右と下の端にまとめると，
右の図のようになるので，
\( 1 \times 12+2 \times 7=26 \; (m^2) \)
（イ） 通路の面積を，\( x \) を用いて表しなさい。
問（ア）と同様に考えると，
\( x \times 12+2x \times (8-x)=12x+2x(8-x) \)
\( =-2x^2+28x \)
（ウ） 通路の面積と花だんの面積が等しいとき，通路の幅は何 \( m \) か求めなさい。
ただし，\( x \) についての方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。
通路の面積と花だんの面積が等しいので，
\( (8-x)(12-2x)=-2x^2+28x \)
\( 2x^2-28x+96=-2x^2+28x \)
\( 4x^2-56x+96=0 \)
\( x^2-14x+24=0 \)
\( (x-2)(x-12)=0 \)
\( x=2 \) ( \( 0<x<6 \) より)
よって， 通路の面積と花だんの面積が等しいときの通路の幅は \( 2 \; m \)
大問３
下の図のように，関数 \( y=ax^2 \) ･･･ ① のグラフは点 \( A(-2，-2) \) を通り，関数 \( y=\dfrac{b}{x} \; (x>0) \) ･･･ ② のグラフは点 \( B(6，2) \) を通る。関数 ① のグラフ上には２点 \( C，D \) があり，それぞれの \( x \) 座標は \( -4，2 \) である。
このとき，（１）～（７）の各問いに答えなさい。
（１） \( a \) の値を求めなさい。
（２） \( b \) の値を求めなさい。
（３） 点 \( C \) の座標を求めなさい。
（４） 直線 \( CD \) の式を求めなさい。
点 \( D \) は \( y=-\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( 2 \) なので，
\( y=-\dfrac{1}{2}x^2 \) に \( x=2 \) を代入すると，
\( y=-\dfrac{1}{2} \times 2^2=-2 \)
となり，点 \( D \) の座標は，\( D(2，-2) \)
直線 \( CD \) の式を \( y=cx+d \) とすると，
傾き \( c=\dfrac{-2-(-8)}{2-(-4)}=1 \)
\( y=x+d \) に \( x=2，y=-2 \) を代入すると，
\( -2=2+d \)
\( d=-4 \)
よって，直線 \( CD \) の式は \( y=x-4 \)
（５） 関数 ② のグラフ上には，\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに自然数となるような点は何個あるか求めなさい。
（６） \( △ABC \) の面積を求めなさい。
直線 \( BC \) の傾きは，
傾き \( =\dfrac{2-(-8)}{6-(-4)}=1 \)
であり，直線 \( BC \) と直線 \( CD \) は，
どちらも点 \( C \) を通り，傾きが \( 1 \) の直線になっています。
よって，３点 \( B，D，C \) は一直線上にあることになるので，
直線 \( BC \) の式は \( y=x-4 \) になります。
点 \( A(-2，-2) \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と
直線 \( y=x-4 \) の交点を点 \( E \) とすると，
点 \( E \) の \( x \) 座標は \( -2 \) なので，
\( y=-2-4=-6 \)
となり，点 \( E \) の座標は，\( E(-2，-6) \)
\( △ABC=△ACE+△ABE \) なので，
\( △ACE=4 \times 2 \times \dfrac{1}{2}=4 \)
\( △ABE=4 \times 8 \times \dfrac{1}{2}=16 \)
\( △ABC=4+16=20 \)
（７） 直線 \( BC \) 上に点 \( P \) をとる。\( △ACP \) の面積を \( S \)，\( △ADP \) の面積を \( T \) とするとき，\( S：T=3：2 \) となるような点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。
\( △ACP：△ADP=3：2 \) となるとき，\( CP：DP=3：2 \) であり，
下の図のように，
３点 \( C，D，P \) が \( C，P，D \) の順番に並ぶ場合と \( C，D，P \) の順番に並ぶ場合
の２通りが考えられます。
\( CP \) と \( DP \) の長さの比は，
３点 \( C，D，P \) の \( x \) 座標の値の差を使って求めることができます。
【 \( -4≦t≦2 \) の場合 】
点 \( P \) の \( x \) 座標の値を \( t \) とすると，
点 \( C \) の \( x \) 座標は \( -4 \)，点 \( D \) の \( x \) 座標は \( 2 \) なので，
点 \( P \) が \( C，D \) の間にあるとき，\( -4≦t≦2 \) となります。
点 \( C \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線と
点 \( P \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線の交点を \( E \)，
点 \( P \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線と
点 \( D \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線の交点を \( F \)
とすると，
\( △CEP \) ∽ \( △PFD \) なので，
\( CP：DP=PE：DF \)
\( 3：2=(t+4)：(2-t) \)
\( 3(2-t)=2(t+4) \)
\( 5t=-2 \)
\( t=-\dfrac{2}{5} \)
【 \( 2≦t \) の場合 】
\( C，D，P \) の順番に並ぶとき，\( 2≦t \) となります。
点 \( C \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と
点 \( P \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線の交点を \( G \)，
点 \( D \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と
点 \( P \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線の交点を \( H \)
とすると，
\( △PCG \) ∽ \( △PDH \) なので，
\( CP：DP=CG：DH \)
\( 3：2=(t+4)：(t-2) \)
\( 3(t-2)=2(t+4) \)
\( t=14 \)
大問４
下の図のように，\( AD//BC，AD=2 \; cm \)，
\( BC=6 \; cm，AB=3 \; cm \) の台形 \( ABCD \) がある。線分 \( AC \) と線分 \( BD \) の交点を \( E \)，\( ∠BAE=90° \) とする。
このとき，（１）～（３）の各問いに答えなさい。
（１） 線分 \( AC \) の長さを求めなさい。
\( BC=6 \; cm，AB=3 \; cm，∠BAE=90° \) より，
\( △ABC \) は，３辺の長さが
\( AB：BC：AC=1：2：\sqrt{3} \)
の直角三角形なので，
\( AC=\sqrt{3}AB=3\sqrt{3} \; (cm) \)
（２） 線分 \( CE \) の長さを求めなさい。
\( AD//BC \) より，\( △BCE \) ∽ \( △DAE \) なので，
\( AD=2 \; cm，BC=6 \; cm \) より，
\( CE：AE=BC：DA=6：2=3：1 \)
であり，
\( CE=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{9\sqrt{3}}{4} \; (cm) \)
（３） 点 \( D \) を通り直線 \( AC \) に平行な直線と，直線 \( AB \) との交点を \( F \) とする。また，線分 \( CF \) と線分 \( AD \) との交点を \( G \) とする。
このとき，（ア）～（ウ）の各問いに答えなさい。
（ア） \( △DFG \) ∽ \( △ACG \) であることを証明しなさい。
\( △DFG \) と \( △ACG \) において
\( DF//AC \) より，錯角は等しいので，
\( ∠GDF=∠GAC \) ･･･ ➀
\( ∠GFD=∠GCA \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △DFG \) ∽ \( △ACG \)
（イ） \( △DFG \) の面積を \( S \) とするとき，\( △ACG \) の面積を，\( S \) を用いて表しなさい。
相似比を求めることができれば，面積比を求めることができます。
\( △ABC \) と \( △CAD \) は高さが共通なので，
\( AD=2 \; cm，BC=6 \; cm \) より，
\( △ABC：△CAD=6：2=3：1 \)
\( DF//AC \) より，等積変形の考え方から，
\( △CAF=△CAD \) なので，
\( △ABC：△CAF=3：1 \)
\( △ABC \) と \( △CAF \) は高さが共通なので，
\( BA：AF=△ABC：△CAF=3：1 \)
\( AE//DF \) より，\( △BAE \) ∽ \( △BFD \) なので，
\( AE：FD=BA：BF=3：4 \)
（２）より，\( CE：AE=3：1=9：3 \)
（３－ア）より，\( △DFG \) ∽ \( △ACG \) であり，
相似比は，\( FD：CA=4：12=1：3 \)
相似な三角形の面積比は，相似比の２乗の比になるので，
\( △DFG：△ACG=1^2：3^2=1：9 \)
よって，\( △DFG \) の面積を \( S \) とするとき，\( △ACG \) の面積は \( 9S \)
（ウ） \( △DFG \) の面積を \( S \)，\( △BCD \) の面積を \( T \) とするとき，\( S：T \) を最も簡単な整数の比で表しなさい。
\( △DFG \) ∽ \( △ACG \) で，相似比は \( 1：3 \) なので，
\( DG：AG=1：3 \)
\( △DFG \) と \( △ACG \) は高さが共通なので，
\( △DFG：△AFG=DG：AG=1：3 \) ･･･ ➀
また，（イ）より，
\( △DFG：△ACG=1：9 \) ･･･ ➁ なので，
➀➁より，
\( △DFG：△CAF=1：12 \) ･･･ ➂
\( △ABC：△CAF=3：1 \) ･･･ ➃ なので，
➂➃より，
\( △DFG：△ABC=1：36 \) ･･･ ➄
\( AD//BC \) より，等積変形の考え方から，
\( △BCD=△ABC \) なので，
\( △DFG：△BCD=1：36 \)
よって，\( S：T=1：36 \)
大問５
（１） 
と書かれた合計８枚のカードがある。アルファベットが書かれたカード４枚 (
) は 【図１】 のようにこの順に机の上に並べ，数字が書かれたカード４枚 (
) は 【図２】 のように袋の中に入れる。
下の 【操作】 を２回行うとき， 【例】 を参考にして，（ア）～（エ）の各問いに答えなさい。
ただし，どのカードの取り出し方も同様に確からしいとし，取り出したカードはもとにもどさない。また， 【操作】 によって回転させたカードはもとにもどさない。
（ア） 【図１】 の状態から２回 【操作】 を行った。取り出したカードが１回目に
，２回目に
のカードであったとき，アルファベットが書かれたカードの状態として正しいものを，次のア～エの中から１つ選び，記号を書きなさい。
ア 
イ 
ウ 
エ 
（イ） ２回 【操作】 を行うとき，１度ものカードを取り出さない確率を求めなさい。
のカードに「２Ａ」，「２Ｂ」と名前をつけて２枚のカードを選ぶ組み合わせを樹形図に書き出し，
のカードを含まないところに ○ をつけると，「０」を含まない組み合わせは６通り，すべての組み合わせは１２通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2} \)
（ウ） 【図１】 の状態から２回 【操作】 を行った後，アルファベットが書かれたカードの状態がとなる確率を求めなさい。
時計回りに \( 90° \) 回転させることを \( +1 \)，反時計回りに \( 90° \) 回転させることを \( -1 \) とすると，
２回の操作の合計が \( +3 \) または \( -1 \) となるとき，
のカードの向きになります。
２回の操作の合計が \( +3 \) または \( -1 \) となるのは，
とのカードを１回ずつ取り出すときなので，あてはまる組み合わせは４通り，すべての組み合わせは１２通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3} \)
（エ） 【図１】 の状態から２回 【操作】 を行うとき，１回目の操作後と２回目の操作後で，アルファベットが書かれたカードの状態が１度もとならない確率を求めなさい。
「＋２」を含まないところに ○ をつけてみると，
「＋２」を含まない組み合わせは７通り，すべての組み合わせは１２通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{7}{12} \)
（２） 白い石と黒い石を，次の 【ルール】 に従って，下のように並べていく。また，あとの 【表】 は，白い石の個数を \( X \)，黒い石の個数を \( Y \) として，白い石の個数から黒い石の個数を引いた \( X-Y \) の値についてまとめたものである。
このとき，（ア）～（エ）の各問いに答えなさい。
・１段目に，白い石を１個置いたものを図形１とする。
・図形１に続けて，２段目に，黒い石を３個並べたものを図形２とする。
・図形２に続けて，３段目に，白い石を５個並べたものを図形３とする。
・以下繰り返して，図形 \( n \) に続けて，\( (n+1) \) 段目に，\( n \) 段目と色の異なる石を\( (2n+1) \) 個並べたものを図形 \( (n+1) \) とする。 ただし，\( n \) は自然数とする。
（ア） 図形５のとき，\( X \) の値を求めなさい。
（イ） 図形６のとき，\( X-Y \) の値を求めなさい。
符号は＋と－を順番に繰り返し，絶対値は \( 1 \) ずつ増えています。
よって，図形６のときの \( X-Y \) の値は， \( -6 \)
（ウ） \( X-Y=9 \) のとき，\( X \) の値を求めなさい。
図形９は９段でできた図形になります。
\( X \) の値が増えるのは，３段目，５段目と奇数段目のときです。
また，白い石の個数は１段目の１個から始まって，３段目では５個，
５段目では９個増えているので，７段目では１３個，９段目では１７個増えることになります。
よって，図形９における白い石の個数 \( (X) \) は，
\( X=1+5+9+13+17=45 \)（個）
（エ） \( X+Y=225 \) のとき，\( X \) と \( Y \) の値を求めなさい。
\( 225=15 \times 15 \) なので，\( X+Y=225 \) になるのは図形１５のときになります。
\( n \) 段目に並ぶ白い石の個数は，\( 2n-1 \) 個なので，
図形１５，つまり，１５段でできた図形の
１５段目に並ぶ白い石の個数は，
\( 2 \times 15-1=29 \)（個）になります。
ここから，図形１５の白い石の個数 \( (X) \) は，
\( X=1+5+9+13+17+21+25+29=120 \)（個）
このとき，黒い石の個数 \( (Y) \) は，
\( Y=225-120=105 \)（個）
