問題
- 連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に大きい数の積から１番小さい数と２番目に小さい数の積を引いたときの差は，その連続する４つの整数の和になることを証明しなさい。
- 連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に小さい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明しなさい。
- 連続する５つの整数について，２番目に小さい数と１番大きい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明しなさい。
解説
小問１
連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に大きい数の積から１番小さい数と２番目に小さい数の積を引いたときの差は，その連続する４つの整数の和になることを証明します。
連続する４つの整数を小さい方から順に\(n，n+1，n+2，n+3\) とすると，
１番大きい数と２番目に大きい数の積は，
\((n+3)(n+2)\) ・・・ （１）
１番小さい数と２番目に小さい数の積は，
\(n(n+1)\) ・・・ （２）
式（１）ー式（２）は，
\((n+3)(n+2)-n(n+1)=(n^2+5n+6)-(n^2+n)\)
\(=4n+6\) ・・・ （３）
連続する４つの整数の和は，
\(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6\) ・・・（４）
（３）（４）より
\((n+3)(n+2)-n(n+1)=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)\)
\(=4n+6\)
小問２
連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に小さい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明します。
連続する４つの整数を小さい方から順に\(n，n+1，n+2，n+3\) とすると，
１番大きい数と２番目に小さい数の積は，
\((n+3)(n+1)\) ・・・ （１）
１番小さい数と２番目に大きい数の積は，
\(n(n+2)\) ・・・ （２）
式（１）ー式（２）は，
\((n+3)(n+1)-n(n+2)=(n^2+4n+3)-(n^2+2n)\)
\(=2n+3\) ・・・ （３）
１番小さい数と１番大きい数の和は，
\(n+(n+3)=2n+3\) ・・・（４）
（３）（４）より
\((n+3)(n+1)-n(n+2)=n+(n+3)\)
\(=2n+3\)
小問３
連続する５つの整数について，２番目に小さい数と１番大きい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明します。
連続する４つの整数を小さい方から順に\(n，n+1，n+2，n+3，n+4\) とすると，
２番目に小さい数と１番大きい数の積は，
\((n+1)(n+4)\) ・・・ （１）
１番小さい数と２番目に大きい数の積は，
\(n(n+3)\) ・・・ （２）
式（１）ー式（２）は，
\((n+1)(n+4)-n(n+3)=(n^2+5n+4)-(n^2+3n)\)
\(=2n+4\) ・・・ （３）
１番小さい数と１番大きい数の和は，
\(n+(n+4)=2n+4\) ・・・ （４）
（３）（４）より
\((n+1)(n+4)-n(n+3)=n+(n+4)\)
\(=2n+4\)
