問題
下の図のように，１行に６マスある表に，次の規則にしたがって，自然数を順に１つずつ書き入れていく。
このとき，次の問いに答えなさい。
規則
- １行目のマスには左から右へ，
１から６までの自然数を順に書き入れる。 - ２行目のマスには左から右へ，
７から１２までの自然数を順に書き入れる。 - ３行目のマスには左から右へ，
１３から１８までの自然数を順に書き入れる。 - 以下同様にして，
４行目以降の各行のマスに自然数を
順に書き入れていく。
(１) ７行目５列目のマスに書き入れられる数を求めなさい。
(２) １００は何行目何列目のマスに書き入れられるか求めなさい。
(３) ｍ行目ｎ列目のマスに書き入れられる数とｍ＋１行目ｎ列目のマスに書き入れられる数の和が７１６
であった。このときのm，nの値を求めなさい。
解答
(１) ４１
(２) １７行目の４列目
(３) ｍ＝６０，ｎ＝１
解説
７行目５列目のマスに書き入れられる数は？
特徴となる数字の並び方を見つける
左から順番に６つずつ自然数を書き入れていくので，
６列目の数字は必ず６の倍数になることに注目します。
各行の６列目の数字は
１行目：６ （１行目✕６列目）
２行目：１２（２行目✕６列目）
３行目：１８（３行目✕６列目）
４行目：２４（４行目✕６列目）
となっています。
５列目に書き入れられる自然数は？
左から順番に６つずつ自然数を書き入れていくのだから，
５列目には６の倍数から１だけ小さい数字が書き入れられます。
各行の５列目の数字は
１行目：５ （１行目✕６列目ー１）
２行目：１１（２行目✕６列目ー１）
３行目：１７（３行目✕６列目ー１）
４行目：２３（４行目✕６列目ー１）
となっています。
７行目５列目に書き入れられる自然数は？
以上より、７行目５列目のマスに書き入れられる数は，
７行目：？？（７行目✕６列目ー１＝４１）
より，４１になることがわかります。
１００は何行目何列目のマスに書き入れられる？
１０は何行目何列目のマスに書き入れられる？
まず，例として＂１０”が何行目何列目のマスに書き入れられているかを確認してみましょう。
１０という数字は，
１０÷６＝１あまり４
より，
１０＝１✕６＋４
と表すことができるので，
１行目✕６列目＋次の行の４列目
つまり，２行目の４列目のマスに
書き入れられています。
１００は何行目何列目のマスに書き入れられる？
同様に，１００という数字は，
１００÷６＝１６あまり４
より，
１００＝１６✕６＋４
と表すことができるので，
１６行目✕６列目＋次の行の４列目
つまり，１７行目の４列目のマスに
書き入れられるとわかります。
和が７１６になるときのマスは何行目何列目？
ｍ行目ｎ列目と（ｍ＋１）行目ｎ列目のマスの数字を文字式で表す
ｍ行目ｎ列目のマスの数字と（ｍ＋１）行目ｎ列目のマスの数字を文字式で表すと，
ｍ行目ｎ列目：（ｍ－１）✕６＋ｎ
（ｍ＋１）行目ｎ列目：ｍ✕６＋ｎ
と表すことができます。
ここで，ｍ行目ｎ列目の数字（ｍ－１）✕６＋ｎ＝Ａ とすると，
ｍ行目ｎ列目：Ａ
（ｍ＋１）行目ｎ列目：Ａ＋６
になります。
ｍ行目ｎ列目のマスの数字求める
このことから，ｍ行目ｎ列目のマスに書き入れられる数と
（ｍ＋１）行目ｎ列目のマスに書き入れられる数の和は，
Ａ＋（Ａ＋６）＝７１６
２Ａ＋６＝７１６
２Ａ＝７１０
Ａ＝３５５
より、ｍ行目ｎ列目の数字が３５５であることがわかります。
ｍ と ｎ の値を求める
（ｍ－１）✕６＋ｎ＝Ａ，Ａ＝３５５より，
（ｍ－１）✕６＋ｎ＝Ａ
（ｍ－１）✕６＋ｎ＝３５５
６ｍー６＋ｎ＝３５５
６ｍ＋ｎー６＝３５５
６ｍ＋ｎ＝３６１
６✕６０＋１＝３６１
となり，あてはまるm，nの値は，ｍ＝６０，ｎ＝１ であるとわかります。
