大問１
（１） \( 7+3 \times (-4) \) を計算せよ。
（２） \( 5(2a+b)-(3a-b) \) を計算せよ。
（３） \( \sqrt{18}+\dfrac{14}{\sqrt{2}} \) を計算せよ。
（４） \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=-4 \) のとき \( y=3 \) である。\( x=6 \) のときの \( y \) の値を求めよ。
（５） ２次方程式 \( x(x+7)=8(x+9) \) を解け。
（６） 右の表は，Ａ中学校の１年生 \( 65 \) 人を対象に通学時間を調査し，その結果を度数分布表に整理したものである。
この表をもとに，通学時間が \( 5 \) 分以上 \( 10 \) 分未満の階級の相対度数を四捨五入して小数第２位まで求めよ。
（７） 関数 \( y=-\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフをかけ。
（８） 下のデータは，ある学級の生徒 \( 13 \) 人について，反復横とびを \( 20 \) 秒間行ったときの記録を，回数の少ない方から順に並べたものである。
(単位: 回)
\( \fbox{35 41 41 45 47 48 49 51 52 53 56 56 57} \)
このデータの第３四分位数を求めよ。
（９） Ｂ中学校の全校生徒 \( 560 \) 人の中から無作為に抽出した \( 60 \) 人に対してアンケートを行ったところ，外国の文化について興味があると回答した生徒は \( 45 \) 人であった。
Ｂ中学校の全校生徒のうち，外国の文化について興味がある生徒の人数は，およそ何人と推定できるか答えよ。
大問２
袋の中に，赤玉１個と白玉３個が入っており，この袋から玉を取り出す。
ただし，どの玉を取り出すことも同様に確からしいとする。
次の（１），（２）に答えよ。
（１） 玉を１個取り出し，取り出した玉を袋にもどし，もう一度，玉を１個取り出す。取り出した２個の玉のうち，少なくとも１個は白玉が出る確率を求めよ。
（２） Ａさんが玉を１個取り出し，取り出した玉を袋にもどさず，続けてＢさんが玉を１個取り出す。
このとき，Ａさんの白玉の出やすさとＢさんの白玉の出やすさに違いがあるかを説明せよ。
説明する際は，樹形図または表を示すこと。
Ａさん，Ｂさんの玉の取り出し方を樹形図に書き出すと，
Ａさんが白玉を取り出す確率は \( \dfrac{3}{4} \)
Ｂさんが白玉を取り出す確率は \( \dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4} \)
なので，Ａさんの白玉の出やすさとＢさんの白玉の出やすさに違いはない。
大問３
光さんと明さんは，文字を用いて，整数の性質を調べている。下の会話文は，その内容の一部である。
光さん：連続する３つの整数は，文字を用いて，どのように表したらいいかな。
明さん：連続する３つの整数は，最も小さい数を \( n \) とすると，\( n，n+1，n+2 \) と表されるね。
これらを使って計算すると，連続する３つの整数の和は，いつでも Ｐ の倍数になることが
わかるよ。
光さん：本当だね。計算した式から，連続する３つの整数の和は，真ん中の数の Ｐ 倍になる
こともわかるね。
明さん：そうだね。連続する３つの整数について，ほかにわかることはないかな。
光さん：例えば，最も小さい数を \( n \) として，真ん中の数と最も大きい数の積から，最も小さい数と
真ん中の数の積をひいた差は，\( \boxed{\phantom{**} \large{A} \phantom{**} } \) と表されるから，真ん中の数の倍数になるよ。
明さん：確かにそうだね。ほかにも \( \boxed{\phantom{**} \large{A} \phantom{**} } \) の式を別の形に表すと， Ｂ になることがわかるね。
次の（１）～（４）に答えよ。
（１） Ｐ にあてはまる数をかけ。
（２） \( \boxed{\phantom{**} \large{A} \phantom{**} } \) にあてはまる式をかけ。また， Ｂ にあてはまるものを，次のア～エから１つ選び，記号をかけ。
ア 真ん中の数と最も小さい数の和
イ 真ん中の数から最も小さい数をひいた差
ウ 最も大きい数と最も小さい数の和
エ 最も大きい数から最も小さい数をひいた差
（３） 光さんと明さんは，次のことを予想した。
連続する３つの整数のうち，真ん中の数の２乗から \( 1 \) をひいた差は，最も小さい数と最も大きい数の
積になる。
\( \boxed{\phantom{++++++++++++++++++++++++++++++++++++\\+\\+\\+\\+\\}} \)
したがって，連続する３つの整数のうち，真ん中の数の２乗から \( 1 \) をひいた差は，最も小さい数と
最も大きい数の積になる。
（４） 光さんと明さんは，連続する４つの整数について調べたことを，次のようにまとめた。
連続する４つの整数のうち，最も小さい数と２番目に小さい数の和をＸ，２番目に大きい数と最も大きい数の和をＹとするとき，ＸとＹの積に，正の整数 Ｑ を加えた数は， Ｃ の積の４倍になる。
ア 最も小さい数と２番目に大きい数
イ 最も小さい数と最も大きい数
ウ ２番目に小さい数と２番目に大きい数
エ ２番目に小さい数と最も大きい数
大問４
３つの電力会社Ａ社，Ｂ社，Ｃ社がある。どの電力会社を利用するときも，１か月の電気料金は，基本料金と電気の使用量に応じた料金の合計である。
表は，３つの電力会社の電気料金のプランを示したものである。
電気の使用量が \( x \; kWh \) のときの１か月の電気料金を \( y \) 円とするとき，図は，Ａ社を利用する場合について，電気の使用量が \( 0 \; kWh \) から \( 350 \; kWh \) までの \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。
次の（１）～（３）に答えよ。
（１） Ａ社を利用する場合，電気の使用量が \( 80 \; kWh \) のときの１か月の電気料金を求めよ。
図において，
\( x \) は電気の使用量，\( y \) は電気料金を表すので，
直線の傾きが \( 1 \; kWh \) あたりの電気料金になります。
ここから，\( 0≦x≦200 \) の部分の直線の式は \( y=24x+400 \) となるので，
\( x=80 \) を代入すると，
\( y=24 \times 80+400=2320 \)（円）
（２） Ｂ社を利用する場合，表の \( a，b，c \) について，\( a>400，b<24，c>20 \) である。
このとき，電気の使用量が \( 0 \; kWh \) から \( 350 \; kWh \) までの \( x \) と \( y \) の関係を表したグラフを，図にかき入れたものが次のア～エの中に１つある。それを選び，記号をかけ。
（３） Ｃ社を利用する場合，電気の使用量が \( 350 \; kWh \) のときの１か月の電気料金は，\( 8400 \) 円である。
１か月の電気料金について，Ｃ社を利用する方がＡ社を利用するよりも安くなる場合を，次のように説明した。
Ｃ社を利用する方がＡ社を利用するよりも安くなるのは，電気の使用量が \( 150 \; kWh \) をこえて Ｒ \( kWh \) よりも少ないときである。
直線がより下にある方が安くなるので，青の部分がＣ社の方が安くなる範囲になります。
つまり， Ｒ の値はＡ社とＣ社の直線の交点の \( x \) 座標になります。
Ｃ社の直線の \( 240≦x≦350 \) の部分の式を \( y=mx+n \) とすると，
この直線は \( (240，4000)，(350，8400) \) を
通るので，
傾き \( m=\dfrac{8400-4000}{350-240}=40 \)
\( y=40x+n \) に \( x=240，y=4000 \) を代入すると，
\( 4000=40 \times 240+n \)
\( n=-5600 \)
となる、この直線の式は，\( y=40x-5600 \) ･･･ ➀
Ａ社の直線の \( 200<x \) の部分の式を \( y=20x+k \) とすると，
この直線は \( (200，5200) \) を通るので，
\( 5200=20 \times 200+k \)
\( k=1200 \)
となる、この直線の式は，\( y=20x+1200 \) ･･･ ➁
Ａ社とＣ社の直線の交点の座標は，➀➁を連立方程式にして解いた解になるので，
\( 40x-5600=20x+1200 \)
\( 20x=6800 \)
\( x=340 \)
大問５
図１のように，\( AB>AC \) の鋭角三角形 \( ABC \) がある。
次の（１）～（４）に答えよ。
（１） 図１において，点 \( A \) から辺 \( BC \) への垂線を作図する。図２は，点 \( A \) を中心として， \( △ABC \) と４点で交わるように円をかき，その交点をあ，い，う，えとしたものである。
図２のあ〜えの点の中からどれか２点を \( P，Q \) とすることで，次の手順によって，点 \( A \) から辺 \( BC \) への垂線を作図することができる。
① 点 \( P，Q \) をそれぞれ中心として，互いに交わるように等しい半径の円をかく。
➁ ①でかいた２つの円の交点の１つを \( R \) とする。ただし，点 \( R \) は点 \( A \) とは異なる点とする。
③ 直線 \( AR \) をひく。
このとき，点 \( P，Q \) とする２点を，図２のあ〜えから２つ選び，記号をかけ。
また, 手順によって，点 \( A \) から辺 \( BC \) への垂線を作図することができるのは，点 \( A \) と点 \( P \)，点 \( P \) と点 \( R \)，点 \( R \) と点 \( Q \)，点 \( Q \) と点 \( A \) をそれぞれ結んでできる図形が，ある性質をもつ図形だからである。その図形を次のア～エから１つ選び，記号をかけ。
ア 直線 \( AR \) を対称の軸とする線対称な図形
イ \( ∠BAC \) の二等分線を対称の軸とする線対称な図形
ウ 点 \( A \) を対称の中心とする点対称な図形
エ 点 \( R \) を対称の中心とする点対称な図形
\( △APR \) と \( △AQR \) において，
\( AP=AQ，PR=QR，AR \) は共通
より，３組の辺がそれぞれ等しいので
\( △APR≡△AQR \)
対応する角は等しいので，
\( ∠PAR=∠QAR \)
\( AR \) を延長し，\( PQ \) との交点を \( S \) とすると，
\( △APS \) と \( △AQS \) において，
\( AP=AQ，∠PAR=∠QAR，AR \) は共通
より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
\( △APS≡△AQS \)
対応する角は等しいので，
\( ∠ASP=∠ASQ \)
\( S \) は \( PQ \) 上の点なので，
\( ∠ASP=∠ASQ=90° \)
以上より，「い，う」はどちらも辺 \( BC \) 上の点であることから，
「い，う」を２点 \( P，Q \) とすることで辺 \( BC \) の垂線を作図することができます。
また，上の図から，\( △APR \) と \( △AQR \)，\( △APS \) と \( △AQS \) は
直線 \( AR \) を対称の軸とする線対称な図形になっています。
（２） 図３は，図１において，点 \( A \) から辺 \( BC \) に垂線をひき，辺 \( BC \) との交点を \( D \)，点 \( B \) から辺 \( CA \) に垂線をひき，辺 \( CA \) との交点を \( E \)，線分 \( AD \) と線分 \( BE \) との交点を \( F \) としたものである。
図３において，\( △AFE \) ∽ \( △BCE \) であることを証明せよ。
\( △AFE \) と \( △BCE \) において，
\( △AFE \) は直角三角形なので，
\( ∠FAE=90°-∠AFE \) ･･･ ➀
\( △BFD \) は直角三角形なので，
\( ∠CBE=90°-∠BFD \) ･･･ ➁
対頂角は等しいので，
\( ∠AFE=∠BFD \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
\( ∠FAE=∠CBE \) ･･･ ➃
仮定より，
\( ∠FEA=∠CEB \) ･･･ ➄
➃➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △AFE \) ∽ \( △BCE \)
（３） 図３において，次のことが成り立つ。
点 \( A，B，C，D，E，F \) のうち，４点（ア，イ，ウ，エ）は，１つの円周上にある。
成り立つことの，ア～エにあてはまる４点の組が２組ある。ア～エにあてはまる４点を，図３の点 \( A，B，C，D，E，F \) から選んで２組かけ。
\( ∠AEB=∠ADB=90° \) なので，
４点 \( A，B，D，E \) は \( AB \) を直径とする円周上の点になっています。
【４点 \( C，D，E，F \)】
\( ∠CDF=∠CEF=90° \) なので，
４点 \( C，D，E，F \) は \( CF \) を直径とする円周上の点になっています。
（４） 図４は，図３において，\( BD=11 \; cm，CD=5 \; cm，∠BCA=60° \) となる場合に，点 \( A \) を通り辺 \( BC \) に平行な直線をひき，直線 \( BE \) との交点を \( G \) とし，点 \( C \) と点 \( G \) を結んだものである。
このとき，\( △ABE \) の面積は，四角形 \( ABCG \) の面積の何倍か求めよ。
いずれも高さが等しいので，
\( △EAG \) と \( △ABE \)
\( △EAG \) と \( △ABG \)
の面積比が求められます。
また，四角形 \( ABCG=△ABG+△BCG \) であることに注目すると，
\( △ABG \) と \( △BCG \) は高さが等しいので，面積比は底辺の比 \( AG：CB \) と等しくなります。
これらのことから，
\( △ABE \) の面積，四角形 \( ABCG \) の面積は，\( △EAG \) の面積の何倍になるか
を求めて比較していきます。
【\( △EAG \) と \( △ECB \) の相似比】
仮定より，\( AC⊥BG \) なので，
\( △ACD，△BCE \) はどちらも
\( 30°，60°，90° \) の直角三角形になっています。
ここから，
\( AC=2CD=10 \; cm \)
\( EC=\dfrac{1}{2}BC=8 \; cm \)
\( EA=AC-CE=2 \; cm \)
なので，相似比は，
\( EA：EC=2：8=1：4 \)
【\( △EAG \) と \( △ABE \)，\( △ABG \) の面積比】
対応する辺の比は等しいので，
\( EG：EB=1：4 \) であり，
\( △EAG \) と \( △ABE \) は高さが等しいので，
\( △EAG：△ABE=EG：EB=1：4 \)
\( △EAG \) と \( △ABG \) も同様に
\( △EAG：△ABG=EG：BG=1：5 \)
【\( △ABG \) と \( △BCG \) の面積比】
\( △ABG \) と \( △BCG \) は高さが等しいので，
\( △ABG：△BCG=AG：CB=5：20 \)
【\( △ABE \) と四角形 \( ABCG \) の面積比】
四角形 \( ABCG=△ABG+△BCG \) なので，
\( △ABE： \) 四角形 \( ABCG=△ABE：(△ABG+△BCG) \)
\( =4：(5+20) \)
\( =4：25 \)
よって，\( △ABE \) の面積は，四角形 \( ABCG \) の面積の \( \dfrac{4}{25} \) 倍
大問６
図１は， \( AB=8 \; cm，BC=4 \; cm，AE=4 \; cm \) の直方体 \( ABCDEFGH \) を表している。
次の（１）～（３）に答えよ。
（１） 図１に示す直方体において，辺 \( AD \) とねじれの位置にあり，面 \( EFGH \) に垂直な辺を全てかけ。
どこまで伸ばしても交わらない２辺のうち，平行ではない辺のことです。
辺 \( AD \) とねじれの位置にある辺は，
辺 \( BF \)，辺 \( CG \)，辺 \( EF \)，辺 \( HG \)
の４つで，
この中で，面 \( EFGH \) と垂直になっているのは，
辺 \( BF \)，辺 \( CG \)
の２つになります。
（２） 図１に示す直方体において，辺 \( EF \) 上に点 \( P \)，辺 \( FG \) 上に点 \( Q \) を，\( AP+PQ+QC \) の長さが最も短くなるようにとる。
このとき，線分 \( PQ \) の長さを求めよ。
４点 \( A，P，Q，C \) は一直線上に並びます。
辺 \( AB，BC \) を延長したときの交点を \( R \) とすると，
\( EF//AB，AE//BF \) より，\( BR=BF=4 \; cm \) なので，
\( △ACR \) において，三平方の定理より
\( AC^2=AR^2+CR^2=208 \)
\( AC=4\sqrt{13} \; (cm) \)
また，\( △PCB \) と \( △ACR \) は相似で，
点 \( B \) は \( CR \) の中点なので，相似比は \( 1：2 \)
対応する辺の比は等しいので，
\( PC=\dfrac{1}{2}AC=2\sqrt{13} \; (cm) \)
\( PB=\dfrac{1}{2}AB=6 \; (cm) \)
\( PF=PB-FB=2 \; (cm) \)
\( △PQF \) と \( △PCB \) も相似なので，
\( PQ：PC=PF：PB \)
\( PQ：2\sqrt{13}=2：6 \)
\( PQ=\dfrac{2\sqrt{13}}{3} \; (cm) \)
（３） 図２は，図１に示す直方体において，辺 \( AB \) の中点を \( I \)，辺 \( HG \) の中点を \( J \) とし，四角形 \( EICJ \) をつくったものである。
図２に示す直方体において，辺 \( EF \) 上に点 \( K \) を，\( EK=KC \) となるようにとるとき，四角すい \( KEICJ \) の体積を求めよ。
面 \( EKJ \) を底面と考えると計算しやすそうであることに注目します。
まず，底面を四角形 \( EICJ \) として，この四角すいを面 \( KIJ \) で切ると，底面は二等分されます。
このとき，三角すい \( KEIJ \) の体積は，四角すい \( KEICJ \) の体積の半分になります。
三角すい \( KEIJ \) において，底面を \( △EKJ \) と考えると，高さは \( AE \) と等しいので，
\( EK \) の長さがわかれば，三角すい \( KEIJ \) の体積を求めることができます。
\( EK=KC=x \; cm \) とすると，
\( FK=8-x \; cm \) と表すことができます。
点 \( K \) から辺 \( AB \) に垂線をひき，
交点を \( L \) とすると，
\( BL=FK=8-x \; cm \) となるので，
\( △CLB \) において，三平方の定理より，
\( CL^2=BL^2+BC^2 \)
\( =(8-x)^2+4^2 \)
\( =x^2-16x+80 \)
\( △KCL \) において，三平方の定理より，
\( KC^2=CL^2+KL^2 \)
\( x^2=(x^2-16x+80)+4^2 \)
\( x^2=x^2-16x+96 \)
\( 16x=96 \)
\( x=6 \; (cm) \)
三角すい \( KEIJ \) の体積は，四角すい \( KEICJ \) の体積の半分なので，
四角すい \( KEICJ \) の体積は，
\( \left\{ \left(6 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 4 \times \dfrac{1}{3} \right\} \times 2=32 \; (cm^3) \)
点 \( I，J \) はそれぞれ辺 \( AB，GH \) の中点なので，
四角形 \( EICJ \) の４辺 \( EI，IC，CJ，JE \) は
すべて２辺の長さが \( 4 \; cm \) の直角二等辺三角形の
斜辺であり，ひし形になっています。
四角すい \( KEICJ \) を面 \( KIJ \) で切るとき，
\( IJ \) は，ひし形 \( EICJ \) の対角線になっています。
ひし形を対角線でわけた三角形は合同なので，
\( △EIJ=\dfrac{1}{2} \) ひし形 \( EICJ \)
になります。
三角すい \( KEIJ \) と四角すい \( KEICJ \) は高さが共通であることから，
体積比は，底面の面積比と等しくなるので，
三角すい \( KEIJ \) の体積は，四角すい \( KEICJ \) の体積の半分になります。
