大問１
〔問１〕 次の（１）～（５）を計算しなさい。
（１） \( -4+7 \)
（２） \( 6+\dfrac{7}{9} \times (-12) \)
（３） \( -2(a-b)+5(2a-b) \)
（４） \( \sqrt{28}-\sqrt{7}+\sqrt{63} \)
（５） \( (a+5)^2-(a-8)(a-2) \)
〔問２〕 次の二次方程式を解きなさい。
\( (x+2)^2=13 \)
〔問３〕 \( \sqrt{126n} \) の値が自然数となるような自然数 \( n \) のうち，最も小さいものを求めなさい。
〔問４〕 \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=2 \) のとき，\( y=-3 \) である。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
〔問５〕 \( AB=BC \) の直角二等辺三角形 \( ABC \) がある。右の図のように，辺 \( AB \) を３等分する点を \( A \) に近いほうから \( D，E \)，辺 \( BC \) を３等分する点を \( B \) に近いほうから \( F，G \)，辺 \( CA \) を３等分する点を \( C \) に近いほうから \( H，I \) とし，それぞれ点を結ぶ。また，線分 \( EH \) と線分 \( FI \) の交点を \( J \) とする。
次の（１），（２）に答えなさい。
（１） \( △ADI \) と合同な三角形のうち，平行移動だけで \( △ADI \) の位置に移るものは \( △ADI \) 以外にいくつあるか，求めなさい。
（２） \( △DEJ \) を \( △GHJ \) の位置に移す方法を次の２通り考えた。
方法２ \( △DEJ \) を \( △JFG \) の位置に移るように平行移動し，さらに直線 イ を対称の軸として
対称移動させる。
〔問6〕 右の図のように，円 \( O \) の周上に３点 \( A，B，C \) があり，線分 \( OB \) と線分 \( AC \) の交点を \( D \) とする。
\( OA//CB，∠BDC=114° \) のとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
\( ∠ACB \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角，
\( ∠AOB \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する中心角なので，
\( ∠AOB=2∠ACB=2x \)
\( OA//CB \) より，錯角は等しいので，
\( ∠DBC=∠AOB=2x \)
\( △CBD \) において，
\( x+2x+114°=180° \)
\( 3x=66° \)
\( x=22° \)
大問２
〔問１〕 右の図のような長方形 \( ABCD \) がある。点 \( P \) は点 \( A \) を出発して長方形の辺上を \( B，C \) の順に \( C \) まで動くものとし，点 \( P \) が点 \( A \) から \( x \; cm \) 動いたときの \( △APD \) の面積を \( y \; cm^2 \) とする。
このとき，点 \( P \) が \( A \) から \( C \) まで動くときの \( x \) と \( y \) の関係を表したグラフとして適切なものを，次のア～エの中から１つ選び，記号で答えなさい。
\( △APD \) の面積の変化のしかたが変わるので，わけて考えます。
【\( AB \) 間を動くとき】
辺 \( AD \) を底辺と考えると，
\( AP \) が高さになるので，
\( y=5 \times x \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}x \; (cm^2) \)
\( 0≦x \) なので，
グラフは右上がりの直線になります。
【\( BC \) 間を動くとき】
辺 \( AD \) を底辺と考えると，
点 \( P \) は辺 \( AD \) と平行に動くので，
等積変形になり，
\( y=5 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=10 \; (cm^2) \)
なので，
グラフは \( x \) 軸と平行な直線になります。
〔問２〕 たかしさんは家族でドライブに出かけました。 午前９時に家を出発して目的地まで，一般道路を時速 \( 30 \; km \)，高速道路を時速 \( 80 \; km \) で走り，午前１１時に目的地に到着しました。
走った道のりがあわせて \( 130 \; km \) のとき，一般道路と高速道路をそれぞれ何 \( km \) 走ったか，求めなさい。
ただし，答えを求める過程がわかるようにかきなさい。
〔問３〕 右の図は，あるクラスの生徒 \( 17 \) 人が懸垂を行い，その回数をグラフに表したものである。
このとき，懸垂の回数の記録を箱ひげ図で表したものとして適切なものを，次のア～エの中から１つ選び，記号で答えなさい。
〔問４〕箱Ａの中に，\( 1，2，3，4，5 \) の数字が１つずつかかれた５枚のカードが，箱Ｂの中に，「\( 6+a \)」，「\( 6-a \)」,「\( 6 \times a \)」 の式が１つずつかかれた３枚のカードが入っている。
箱Ａ，箱Ｂの中からカードを１枚ずつ取り出し，箱Ａから取り出したカードにかかれた数を \( a \) とし，箱Ｂから取り出したカードにかかれた計算をするとき，その結果が奇数になる確率を求めなさい。
ただし，どのカードを取り出すことも，それぞれ同様に確からしいものとする。
箱Ａ，箱Ｂから取り出すカードの組み合わせと
それぞれにおける計算結果を表に書き出し，
奇数になるところに ○ をつけてみます。
奇数になる組み合わせは \( 6 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 15 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5} \)
〔問５〕 右の図は，ある月のカレンダーです。このカレンダーで，３つの数を 
の形で囲みます。次の文は，ようこさんと先生が，囲んだ３つの数の和がどんな数になるかを話し合っている会話の一部です。
ようこ：カレンダーで， の形で囲んだ３つの数の和は，\( 1+2+9=12，11+12+19=42 \) のように，いつでも２の倍数になるのかな。
先生： ア のような場合があるので，いつでも２の倍数になるとは限りませんね。他の場合も計算して，どんな数になるか考えてみましょう。
ようこ：他の場合も計算すると， の形で囲んだ３つの数の和はいつでも３の倍数になる といえそうですね。
次の（１），（２）に答えなさい。
（１） ア について， の形で囲んだ３つの数の和が２の倍数にならない式の例を，\( 1+2+9=12 \) のような形で１つかきなさい。
並んでいる数字を横または縦に順番に見ていくと，
どちらの場合も
偶数 → 奇数 → 偶数 → 奇数 → ･･･
と順番に並んでいます。
右上の数が偶数のとき，
残りの２つの数は奇数になるので，
３つの数の和は，
奇数 \( + \) 偶数 \( + \) 奇数 \( = \) 偶数
右上の数が奇数のとき，
残りの２つの数は偶数になるので，
３つの数の和は，
偶数 \( + \) 奇数 \( + \) 偶数 \( = \) 奇数
となります。
奇数のところに ○ をつけてみると ･･･ ，
偶数 \( + \) 偶数 \( = \) 偶数
偶数 \( + \) 奇数 \( = \) 奇数
奇数 \( + \) 偶数 \( = \) 奇数
奇数 \( + \) 奇数 \( = \) 偶数
よって，右上の数が奇数になるように３つの数を選ぶと和は必ず奇数になります。
（２） 下線部のことがらが成り立つ理由を説明しなさい。
ただし， の形で囲んだ３つの数のうち，最も小さい数を \( n \) として説明しなさい。
の形で囲んだ３つの数のうち，最も小さい数を \( n \) とすると，残り２つの数は，\( n+1，n+8 \) と表すことができるので，
３つの数の和は，
\( n+(n+1)+(n+8)=3n+9=3(n+3) \)
\( n+3 \) は自然数なので，\( 3(n+3) \) は３の倍数である。
よって，
の形で囲んだ３つの数の和はいつでも３の倍数になる。
大問３
図１のように，関数 \( y=2x^2 \) のグラフ上に２点 \( A(2，8) \)， \( B(−1，2) \) がある。
次の〔問１〕～〔問４〕に答えなさい。
〔問１〕 関数 \( y=2x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -2≦x≦1 \) のとき，\( y \) の変域を求めなさい。
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は必ず \( 0 \) になります。
また，\( y \) が最大値をとるのは，\( x \) の絶対値がもっとも大きくなるときです。
\( x \) の変域が \( -2≦x≦1 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \)
\( x \) の絶対値がもっとも大きくなるのは
\( x=-2 \) のときなので，\( y \) の最大値は，
\( y=2 \times (-2)^2=8 \)
よって，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦8 \)
〔問２〕 図２のように，点 \( A \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線と \( x \) 軸との交点を \( C \) とする。
このとき，直線 \( BC \) の式を求めなさい。
点 \( C \) の座標は，\( C(2，0) \) なので，
直線 \( BC \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
傾き \( m=\dfrac{0-2}{2-(-1)}=-\dfrac{2}{3} \)
\( x=2，y=0 \) を代入すると，
\( 0=-\dfrac{2}{3} \times 2+n \)
\( n=\dfrac{4}{3} \)
よって，直線 \( BC \) の式は，\( y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3} \)
〔問３〕 図３のように，直線 \( AB \) と \( x \) 軸との交点を \( D \) とする。
このとき，\( AB：BD \) を最も簡単な整数の比で表しなさい。
直線 \( AB \) は，\( A(2，8)，B(−1，2) \) を通るので，
直線 \( AB \) の式は，\( y=2x+4 \)
点 \( D \) は，直線 \( AB \) の点で，
\( y \) 座標は \( 0 \) なので，
\( x \) 座標の値は，
\( 0=2x+4 \)
\( x=-2 \)
点 \( B \) から \( x \) 軸に垂線をひき，
交点を \( F \) とすると，
\( △BDF \) ∽ \( △ADC \) なので，
\( AB：BD=CF：FD=3：1 \)
〔問４〕 図４のように，\( y \) 軸上に点 \( E(0，-4) \) をとる。
また，関数 \( y=-\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフ上に点 \( P \) をとり，\( △OPE \) の面積が \( △OAB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) 倍となるようにする。
このとき，点 \( P \) の座標をすべて求めなさい。
【\( △OAB \) の面積】
直線 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( H \) とすると，
問３より，直線 \( AB \) の式は \( y=2x+4 \)なので，
\( OH=4 \)
\( △OAB=△OBH+△OAH \)
\( =4 \times 1 \times \dfrac{1}{2}+4 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =6 \)
【\( △OPE \) の面積】
点 \( P \) から \( y \) 軸に垂線をひき，交点を \( I \) とすると，
\( OE=4 \) なので，
\( △OPE=4 \times PI \times \dfrac{1}{2} \)
\( =2PI \)
ここから，
\( △OPE \) の面積が \( △OAB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) 倍となるとき，
\( 2PI=6 \times \dfrac{1}{2} \)
\( PI=\dfrac{3}{2} \)
これを満たす点 \( P \) は，\( x \) 座標が \( ±\dfrac{3}{2} \) になります。
・点 \( P \) の \( x \) 座標が \( \dfrac{3}{2} \) の場合
\( y \) 座標は，
\( y=-\dfrac{1}{2} \times \left( \dfrac{3}{2} \right)^2=-\dfrac{9}{8} \)
・点 \( P \) の \( x \) 座標が \( -\dfrac{3}{2} \) の場合
\( x \) 座標が \( \dfrac{3}{2} \) のときの \( y \) 座標の値と等しいので，\( y=-\dfrac{9}{8} \)
よって，点 \( P \) の座標は， \( \left( \dfrac{3}{2}，-\dfrac{9}{8} \right)，\left( -\dfrac{3}{2}，-\dfrac{9}{8} \right) \)
大問４
図１のように，一辺の長さが \( a \; cm \) の正方形 \( ABCD \) と，一辺の長さが \( b \; cm \) の正方形 \( EFGH \) があり，点 \( C \) と点 \( F \) が一致するように辺 \( CD \) と辺 \( EF \) が重なっている。
次の〔問１〕～〔問３〕に答えなさい。
〔問１〕 図１において, 点 \( B \) と点 \( H \) を結ぶ。
\( a=3，b=2 \) のとき，線分 \( BH \) の長さを求めなさい。
\( CG=GH=2 \; cm \) なので，
\( △BGH \) において，三平方の定理より，
\( BH^2=BG^2+GH^2=(3+2)^2+2^2=29 \)
\( BH= \sqrt{29} \; (cm) \)
〔問２〕 \( a=b \) とし，図２のように，正方形 \( EFGH \) を点 \( F \) を中心に反時計回りに \( 70° \) 回転させた。
このとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
正方形 \( EFGH \) を \( 70° \) 回転させたので，
\( ∠DCG=90°-70°=20° \)
このとき，
\( ∠ECD=∠ECG-∠DCG=70° \)
四角形の内角の和は \( 360° \) なので，
\( ∠x=360°-(∠HEC+∠ADC+∠ECD) \)
\( =360°-(90°+90°+70°) \)
\( =110° \)
〔問３〕 \( a=5，b=3 \) とし，図３，図４のように，正方形 \( EFGH \) を，３点 \( D，H，G \) がこの順で一直線上に並ぶように点 \( F \) を中心に反時計回りに回転させた。
次の（１），（２）に答えなさい。
（１） 図３において，辺 \( CD \) と辺 \( EH \) の交点を \( I \) とする。
このとき，\( △DIH \) の面積を求めなさい。
\( △DCG \) において，\( CD=5 \; cm\)，
\( CG=3 \; cm， ∠CGH=90° \) より，
３辺の長さが \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，
\( DG=4 \; cm \)
\( GH=3 \; cm \) なので，\( DH=4-3=1 \; (cm) \)
\( △DIH \) ∽ \( △DCG \) で，
相似比は \( DH：DG-1：4 \) なので，
\( IH：CG=1：4 \)
\( IH：3=1：4 \)
\( IH=\dfrac{3}{4} \; (cm) \)
よって，\( △DIH \) の面積は，
\( \dfrac{3}{4} \times 1 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8} \; (cm^2) \)
（２） 図４において，３点 \( B，E，H \) は一直線上に並ぶことを証明しなさい。
\( △BCE \) と \( △DCG \) において，
正方形の４辺は等しいので，
\( BC=DC \) ･･･ ➀
\( CE=CG \) ･･･ ➁
正方形の内角は \( 90° \) なので，
\( ∠BCE=90°-∠ECD \) ･･･ ➂
\( ∠DCG=90°-∠ECD \) ･･･ ➃
➂➃より，\( ∠BCE=∠DCG \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △BCE≡△DCG \)
対応する角は等しいので，
\( ∠BEC=∠DGC=90° \)
\( ∠HEC=90° \) でもあるので，
\( ∠BEC+∠HEC=180° \)
よって，３点 \( B，E，H \) は一直線上に並ぶ
