愛知県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

イ　\( -10 \)

\( =-12-(-2) \)
\( =-12+2 \)
\( =-10 \)

ウ　\( \dfrac{-10x+15}{12} \)

\( =\dfrac{3(-2x+1)}{12}-\dfrac{4(x-3)}{12} \)
\( =\dfrac{3(-2x+1)-4(x-3)}{12} \)
\( =\dfrac{-6x+3-4x+12}{12} \)
\( =\dfrac{-10x+15}{12} \)

エ　\( 9a-18b \)

\( =\dfrac{3(6a^2b-12ab^2)}{2ab} \)
\( =\dfrac{18a^2b-36ab^2}{2ab} \)
\( =9a-18b \)

ウ　\( 4\sqrt{6}+1 \)

与式 \( =x^2-y^2+xy \)
　　 \( =(x+y)(x-y)+xy \)

\( x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3} \)
\( x-y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2} \)
\( xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1 \)
なので，
\( (x+y)(x-y)+xy=2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2}+1 \)
　　　　　　　　　　 \( =4\sqrt{6}+1 \)

イ　\( x=-4，3 \)

\( x^2+6x+9-11=5x+10 \)
　　 \( x^2+x-12=0 \)
　\( (x-3)(x+4)=0 \)
　　　　　　　　\( x=3，-4 \)

イ　\( 3a+2b<900 \)

１個 \( a \; g \) のトマト \( 3 \) 個分の重さは \( 3a \; g \)
１本 \( b \; g \) のきゅうり \( 2 \) 本分の重さは \( 2b \; g \)
これらをあわせた重さは \( 3a+2b \; g \)
これが \( 900 \; g \) より軽いので，
求める不等式は，\( 3a+2b<900 \)

【参考】
「ＡはＢより軽い」というときは \( A<B \) ，
「Ａの重さはＢの重さ以下」というときは \( A≦B \) になります。

エ　\( 6 \) 個

反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \) (\( a \) は定数) であり，
\( x，y \) の値がともに整数になるとき，\( x，y \) の値は \( a \) の約数になります。

\( y=\dfrac{a}{x} \) に \( x=4，y=3 \) を代入すると，
　\( 3=\dfrac{a}{4} \)
　\( a=12 \)
なので，このグラフを表す式は \( y=\dfrac{12}{x} \)

\( x，y \) の値がともに整数になるとき，\( x，y \) の値は \( 12 \) の約数になるので，
あてはまる座標は，
　\( (x，y)=(1，12)，(2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)，(12，1) \)
　　　　　 \( (-1，-12)，(-2，-6)，(-3，-4)，(-4，-3)，(-6，-2)，(-12，-1) \)
の \( 12 \) 個

この中で，\( x \) 座標が \( y \) 座標よりも小さいのは，
　\( (x，y)=(1，12)，(2，6)，(3，4)，(-4，-3)，(-6，-2)，(-12，-1) \)
の \( 6 \) 個

ア，カ

正しく直すと･･･
イ　\( \sqrt{16}=4 \)
ウ　\( \sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6 \)
エ　\( \sqrt{16}-\sqrt{9}=4-3=1 \)
オ　\( \sqrt{3} \times 5=5\sqrt{3} \)

エ

ヒストグラムより，最小値は「\( 5 \; m \) 以上 \( 10 \; m \) 未満」の階級にあるので，
イの箱ひげ図はあてはまりません。

ウ　\( \dfrac{15}{4} \; cm \)

エ　➀，➄

①から⑤すべての場合において，\( a \) と \( b \) すべての組み合わせは \( 30 \) 通りなので，
①から⑤が起こる組み合わせだけを考えればいいことになります。

➄　\( a \) と \( b \) がともに素数になる確率
　　\( a \) と \( b \) がともに素数になる組み合わせは \( 12 \) 通り

ウ \( a=\dfrac{3}{4} \)

オ　\( y=480 \)

弟は，Ａ地点からＢ地点までの \( 600 \; m \) を毎分 \( 120 \; m \) の速さで走ったので，
Ｂ地点に到着したのは \( x=\dfrac{600}{120}=5 \)（分後）になります 。
さらに，Ｂ地点を出発して１分間（\( 120 \; m \)），Ａ地点に向かって走ったので，
\( x=6 \) のときの \( y \) の値は，\( y=600-120=480 \; (m) \)

イ ４回

弟は，Ａ地点からＢ地点まで走るのに \( 5 \) 分かかったので，
２往復するのにかかった時間は \( 20 \) 分になります。
これをグラフにしたものが下の赤の直線になります。

兄は，弟が出発してから \( 1 \) 分後 \( (x=1) \) にＡ地点を出発し，
弟が走り終える \( 1 \) 分前 \( (x=19) \) に３往復を走り終えたので，
兄がＡ地点からＢ地点まで走るのにかかった時間は \( \dfrac{19-1}{6}=3 \)（分）になります。
これをグラフにしたものが下の青の直線になります。

この２直線の交点のうち，右上がりの直線と右下がりの直線の交点が，
兄と弟がすれ違う時間と場所になります。
（残りの２点は，兄が弟を追い抜く時間と場所になります。）

正方形の４辺は等しいので，\( DC=BC=AB=4 \; cm \)
\( E \) は辺 \( DC \) の中点なので，\( EC=2 \; cm \)
\( △BCE \) において，三平方の定理より
　\( EB^2=4^2+2^2=20 \)
　 \( EB=2\sqrt{5} \; (cm) \) (\( EB>0 \) より)

\( F \) は線分 \( EB \) の中点なので，\( EF=\sqrt{5} \; cm \)

\(\dfrac{3}{8} \) 倍

辺 \( AD \) と線分 \( BE \) を延長した交点を \( K \) とすると，
\( △KFG \) ∽ \( △KAF \) であり，\( AF=\sqrt{13} \; cm \) なので，
相似比がわかれば，\( FG \) の長さを求めることができます。

\( △KDE≡△BCE \) なので，\( KD=BC=4 \; cm \)
また，\( △KDE \) ∽ \( △KJF \) なので，
　\( KD：KJ=DE：JF \)
　　 \( 4：KJ=2：3 \)
　　　　\( KJ=6 \; (cm) \)

\( △KDE≡△BCE \) より，\( KE=EB=2\sqrt{5} \; cm \) であり，
\( △KFG \) ∽ \( △KAF \) なので，
　 \( FG：AF=KF：KA \)
　\( FG：\sqrt{13}=(2\sqrt{5}+\sqrt{5})：(6+2) \)
　\( FG：\sqrt{13}=3\sqrt{5}：8 \)
　　　　 \( FG=\dfrac{3\sqrt{65}}{8} \; (cm) \)

\( △FGH \) の３辺の比は \( 2：3：\sqrt{13} \) なので，
　　 \( FG：FH=\sqrt{13}：2 \)
　\( \dfrac{3\sqrt{65}}{8}：FH=\sqrt{13}：2 \)
　　　\( \sqrt{13}FH=\dfrac{3\sqrt{65}}{4} \)
　　　　　 \( FH=\dfrac{3\sqrt{5}}{4} \; (cm) \)

よって，
　\( FH：EB=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}：2\sqrt{5} \)
　 \( 2\sqrt{5}FH=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}EB \)
　　　　\( FH=\dfrac{3}{8}EB \)

\( \dfrac{54}{5} \; cm^2 \)

　 \( DA：AB=3：\sqrt{10} \)
　\( DA：6\sqrt{2}=3：\sqrt{10} \)
　　\( \sqrt{10}DA=18\sqrt{2} \)
　　　　\( DA=\dfrac{18}{\sqrt{5}} \; (cm) \)

　 \( DB：AB=1：\sqrt{10} \)
　\( DB：6\sqrt{2}=1：\sqrt{10} \)
　　\( \sqrt{10}DB=6\sqrt{2} \)
　　　　\( DB=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \; (cm) \)

　\( △DAB=DA \times DB \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{18}{\sqrt{5}} \times \dfrac{6}{\sqrt{5}} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{54}{5} \; (cm^2) \)

\( 9\sqrt{2}\pi{} \; cm^3 \)

求める立体は，
底面の半径が \( EF \)，高さが \( AF \) の円すいと
底面の半径が \( EF \)，高さが \( BF \) の円すい
をくっつけたものなので，
求める立体の体積を \( V \) とすると，
　\( V= \left\{ \pi{} \times \left( \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 \times AF \times \dfrac{1}{3} \right\} + \left\{ \pi{} \times \left( \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 \times BF \times \dfrac{1}{3} \right\} \)
　　 \( = \dfrac{3}{2}\pi{} \times AF+\dfrac{3}{2}\pi{} \times BF \)
　　 \( = \dfrac{3}{2}\pi{} \times (AF+BF) \)
　　 \( = \dfrac{3}{2}\pi{} \times 6\sqrt{2} \)
　　 \( =9\sqrt{2}\pi{} \; (cm^3) \)