三重県公立高校入試　令和６（2024）年度（後期）　解答＆解説

\( y=\dfrac{20}{x} \) は右下がりの曲線で，
　\( x=2 \) のとき，\( y=\dfrac{20}{2}=10 \)
　\( x=4 \) のとき，\( y=\dfrac{20}{4}=5 \)
なので，\( y \) の変域は \( 5≦y≦10 \)

正十角形の１つの頂点から対角線をひくと，
８個の三角形ができます。
三角形の内角の和は\( 180° \) なので，
８個の三角形の内角の和は \( 180° \times 8=1440° \)

正十角形のすべての内角は等しいので，
　\( 1440° \div 10=144° \)

側面のおうぎ形の弧の長さと底面の円周の長さは
等しいので，中心角の大きさを \( x \) とすると，
　\( 2\pi{} \times 8 \times \dfrac{x}{360°}=2\pi{} \times 5 \)
　　　　　　 \( \dfrac{x}{45°}=5 \)
　　　　　　　 \( x=225° \)

かずきさんとよしこさんが取り出した玉の組み合わせと，それぞれの場合の勝つ人の頭文字「か」または「よ」を表に書き出し，かずきさんが勝つところに ○ をつけてみます。

かずきさんが勝つ組み合わせは \( 12 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 20 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5} \)

【 \( 9 \) の玉を移した場合】
かずきさんが勝つ組み合わせは \( 8 \) 通りなので，
あてはまりません。

【 \( 7 \) の玉を移した場合】
かずきさんが勝つ組み合わせは \( 10 \) 通りなので，
あてはまります。

＜けいたさんの考え方＞ を使った場合
\( (3x+7)+(5x-3)=140 \)
　　　　　　　\( 8x+4=140 \)
　　　　　　　　　\( 8x=136 \)
　　　　　　　　　 \( x=17 \)（人）
りんごの個数は，\( 3x+7 \) 個なので，
　\( 3 \times 17+7=58 \)（個）
みかんの個数は，\( 5x-3 \) 個なので，
　\( 5 \times 17-3=82 \)（個）

 \( C(-6，0)，D(3，0) \) とすると，
\( △OAB= \) 台形 \( ACDB-(△OAC+△OBD) \) なので，
　台形 \( ACDB=(3+12) \times (3+6) \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　 \( =\dfrac{135}{2} \; (cm^2) \)
　\( △OAC=6 \times 12 \times \dfrac{1}{2}=36 \; (cm^2) \)
　\( △OBD=3 \times 3 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2} \; (cm^2) \)
より，
　\( △OAB=\dfrac{135}{2}-\left( 36+\dfrac{9}{2} \right)=27 \; (cm^2) \)

点 \( B \) は，\( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 3 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 3^2=3 \)
よって，点 \( B \) の座標は，\( B(3，3) \)
であり，点 \( B’ \) の座標は，\( B’(3，-3) \)
直線 \( AB’ \) の式を \( y=ax+b \) とすると，
　傾き \( a=\dfrac{-3-12}{3-(-6)}=-\dfrac{5}{3} \)
\( y=-\dfrac{5}{3}x+b \) に \( x=3，y=-3 \) を代入すると，
　\( -3=-\dfrac{5}{3} \times 3+b \)
　　\( b=2 \)
点 \( B \) は，\( y=-\dfrac{5}{3}x+2 \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( 0 \) なので，
　　\( 0=-\dfrac{5}{3}x+2 \)
　\( \dfrac{5}{3}x=2 \)
　　\( x=\dfrac{6}{5} \)

辺 \( AB \) の中点を \( M \) とすると，
\( A(-6，12)，B(3，3) \) より，
\( M \left( -\dfrac{3}{2}，\dfrac{15}{2} \right) \)
直線 \( OM \) は  \( △OAB \) を２等分するので，
\( △OBM=\dfrac{1}{2}△OAB \)

直線 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( F \) とすると，
点 \( Q \) の \( x \) 座標が \( 0 \) のとき，
\( △OBM>△OBF \) なので，点 \( Q \) の \( x \) 座標は
負の値になるとわかります。

求める点 \( Q \) の \( x \) 座標を \( t \) ，
点 \( Q \) を通り \( y \) 軸と平行な直線と
直線 \( OA，AB \) の交点を \( G，H \) とすると，
直線 \( OA \) の式は \( y=-2x \) ，
直線 \( AB \) の式は \( y=-x+6 \)
なので，２点 \( G，H \) の座標は，
\( G(t，-2t)，H(t，-t+6) \) と表すことができます。

（２）より \( △OAB=27 \; cm^2 \) なので，
\( △AGH=\dfrac{27}{2} \; cm^2 \) であればいいことになります。

\( △ABF \) と \( △ADG \) において，
仮定より，
　\( ∠BCE=∠ACE \) ･･･ ①
\( \stackrel{\huge\frown}{ AE } \) に対する円周角なので，
　\( ∠ABF=∠ACE \) ･･･ ➁
\( AD//BC \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠ADG=∠BCE \) ･･･ ③
①②③より，
　\( ∠ABF=∠ADG \) ･･･ ➃
共通な角なので，
　\( ∠BAF=∠DAG \) ･･･ ➄
➃➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABF \) ∽ \( △ADG \)

線分 \( AG \) は \( ∠ACB \) の二等分線なので，
　\( AG：GB=AC：BC=7：5 \)
よって，
　\( AG=6 \times \dfrac{7}{12}=\dfrac{7}{2} \; (cm) \)

仮定より，\( ∠ADG=∠ACG \) なので，
\( △ADC \) は二等辺三角形であり，
　\( AD=AC=7 \; cm \)

（１）より \( △ABF \) ∽ \( △ADG \) なので，
　\( AF：AG=AB：AD \)
　　\( AF：\dfrac{7}{2}=6：7 \)
　　　　\( AF=3 \; (cm) \)
ここから，\( FD=AD-AF=4 \; (cm) \)

\( AD//BC \) より，\( △ADG \) ∽ \( △BCG \) なので，
　\( DG：CG=AD：BC=7：5 \) ･･･ ①

\( AD//BC \) より，\( △FDE \) ∽ \( △BCE \) なので，
　\( DE：CE=FD：BC=4：5 \) ･･･ ②

①より，\( DG：CG=7：5=21：15 \)
➁より，\( DE：CE=4：5=16：20 \)
なので，
　\( DE：EG：GC=DE：(DG-DE)：GC \)
　　　　　　　　　\( =16：(21-16)：15 \)
　　　　　　　　　\( =16：5：15 \)

\( △EAB \) は正三角形なので，\( ∠EAM=60° \)
点 \( M \) は辺 \( AB \) の中点なので，\( ∠EMA=90° \)
ここから，\( △EAM \) は，\( 30°，60°，90° \) の
直角三角形なので，
　\( EM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AE=2\sqrt{3} \; (cm) \)

よって，
　\( △EAM=AM \times EM \times \dfrac{1}{2}=2\sqrt{3} \; (cm^2) \)

面 \( EAC \) に注目すると，
線分 \( AC \) は正方形 \( ABCD \) の対角線なので，
　\( AC=AB \times \sqrt{2}=4\sqrt{2} \; (cm) \)
点 \( P \) は線分 \( AC \) の中点なので，
　\( AP=\dfrac{1}{2}AC=2\sqrt{2} \; (cm) \)
\( △EAP \) において，三平方の定理より，
　\( EP^2=AE^2-AP^2=8 \)
　 \( EP=2\sqrt{2} \; (cm) \) ( \( EP>0 \) より)