大問１
(1) 次の１～５を計算せよ。
１ \( 3-(-2) \)
２ \( 2(x-y)-4x-y \)
３ \( 4a^3b^2 \div 2ab \)
４ \( (x+2)^2+x-7 \)
５ \( \sqrt{18}+2\sqrt{2} \)
（２） ２次方程式 \( x^2+5x+6=0 \) を解け。
（３） \( a=-2 \) のとき，次のア～オのうちで，式の値が最も大きくなるものを１つ選び，その記号を書け。
ア \( -a \) イ \( a^2 \) ウ \( \dfrac{1}{a} \) エ \( -\dfrac{1}{a} \) オ \( \dfrac{1}{a^2} \)
（４） 図１のように，\( 1，2，3，4，5 \) の数を書いたカードがそれぞれ１枚ずつある。この５枚のカードをよくきってから，２枚同時にカードをひく。このとき，ひいた２枚のカードに書かれた数の積が奇数である確率を求めよ。
１通りとして数えることに注意して２枚のカードの組み合わせとその積を樹形図に書き出してみます。
積が奇数になる組み合わせは \( 3 \) 通り，すべての組み合わせは \( 10 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{10} \)
（５） 図２は，\( AB=4 \; cm，AD=2 \; cm \)，\( AE=3 \; cm \) の直方体である。この直方体の対角線 \( AG \) の長さを求めよ。
直方体の向かい合う辺の長さは等しいので，
\( EF=AB=4 \; cm，FG=AD=2 \; cm \)
であり，
\( △EFG \) において，三平方の定理より，
\( EG^2=4^2+2^2=20 \)
\( △AEG \) において，三平方の定理より，
\( AG^2=AE^2+EG^2 \)
\( =3^2+20=29 \)
\( AG=\sqrt{29} \; (cm) \)
（６） 図３で，４点 \( A，B，C，D \) は円 \( O \) の周上にある。\( ∠x \) の大きさを求めよ。
\( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角なので，
\( ∠BAC=∠BDC=75° \)
線分 \( AC \) と線分 \( BD \) の交点を
\( E \) とすると，
\( ∠BEC \) は \( △ABE \) の外角なので，
\( ∠x=∠BEC-∠BAC=35° \)
（７） 図４のように，直線 \( ℓ \) と２点 \( A，B \) がある。直線 \( ℓ \) 上にあり，２点 \( A，B \) から等しい距離にある点 \( P \) を，定規とコンパスを使って解答欄の枠内に作図せよ。なお，作図に使った線は消さずに残しておくこと。
手順１ ２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( C，D \)とします。)
手順２ ２点 \( C，D \) を通る直線を描く。
直線 \( ℓ \) と手順２の直線の交点が
求める点 \( P \) になります。
２点 \( A，B \) からの距離が等しい点を２つとり，
点 \( P，Q \) とすると，
\( △APQ \) と \( △BPQ \) において，
\( AP=BP，AQ=BQ，PQ \) は共通
より，３組の辺がそれぞれ等しいので，
\( △APQ≡△BPQ \)
対応する角は等しいので，\( ∠APQ=∠BPQ \)
\( △ABP \) は二等辺三角形なので，
底角は等しく，\( ∠PAB=∠PBA \)
直線 \( AB \) と直線 \( PQ \) の交点を点 \( M \) とすると，
\( △APM \) と \( △BPM \) において，
\( AP=BP，∠APM=∠BPM，∠PAM=∠PBM \)
より，１組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △APM≡△BPM \)
対応する辺は等しいので，\( AM=BM \) ･･･ ➀
対応する角は等しいので，\( ∠AMP=∠BMP \)
３点 \( A，M，B \) は一直線上の点なので，
\( ∠AMP=\dfrac{1}{2}∠AMB=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，
直線 \( PQ \) は２点 \( A，B \) の垂直二等分線なので，
２点 \( A，B \) からの距離が等しくなる点は
必ず２点 \( A，B \) の垂直二等分線上の点であるといえます。
（８） 右の表は，ある中学校の３年生全生徒を対象に，通学時間を調査し，その結果をまとめたものである。この表から読み取ることができることがらとして適切なものを，次のア～オから全て選び，その記号を書け。
ア 通学時間が \( 50 \) 分以上の生徒の人数は，通学時間が \( 30 \) 分未満の生徒の人数の２倍である。
イ 通学時間の最頻値(モード)は，\( 30 \) 分である。
ウ 階級の幅は，\( 60 \) 分である。
エ 通学時間が \( 20 \) 分未満の生徒の累積相対度数は，\( 0.20 \) である。
オ 生徒Ａの通学時間は，\( 28 \) 分であった。生徒Ａの通学時間は，３年生全生徒の通学時間の
中央値(メジアン)よりも小さい。
大問２
右の図で，\( △ABC \) は \( AB=AC，∠BAC=90° \) の直角二等辺三角形である。点 \( D \) は辺 \( AC \) 上の点，点 \( E \) は線分 \( BD \) 上の点であり，\( ∠AED=90° \) である。
各問いに答えよ。
（１） \( △ABD \) ∽ \( △EAD \) を証明せよ。
\( △ABD \) と \( △EAD \) において，
仮定より，\( ∠BAD=90°，∠AED=90° \)
なので，
\( ∠BAD=∠AED \) ･･･ ➀
共通な角なので，
\( ∠ADB=∠EDA \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABD \) ∽ \( △EAD \)
（２） \( ∠EAD=a^\circ \) とするとき，\( ∠DBC \) の大きさを \( a \) を用いて表せ。
（１）より， \( ∠ABD=∠EAD=a^\circ \)
\( △ABC \) は直角二等辺三角形なので，
\( ∠ABC=45^\circ \)
よって，
\( ∠DBC=∠ABC-∠ABD=45^\circ-a^\circ \)
（３） 点 \( D \) が辺 \( AC \) の中点であるとき，\( △AED \) の面積は \( △ABC \) の面積の何倍か。
\( AD=x \) とすると，\( AB=AC=2x \)
\( △ABD \) において，三平方の定理より，
\( BD^2=x^2+(2x)^2=5x^2 \)
\( BD=\sqrt{5}x \)
（１）より，\( △ABD \) ∽ \( △EAD \) なので，
\( AD：ED=BD：AD \)
\( x：ED=\sqrt{5}x：x \)
\( ED=\dfrac{x}{\sqrt{5}} \)
\( AB：EA=BD：AD \)
\( 2x：EA=\sqrt{5}x：x \)
\( EA=\dfrac{2}{\sqrt{5}}x \)
\( △AED \) の面積は，
\( △AED=\dfrac{x}{\sqrt{5}} \times \dfrac{2}{\sqrt{5}}x \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{x^2}{5} \)
\( △ABC \) の面積は，
\( △ABC=2x \times 2x \times \dfrac{1}{2}=2x^2 \)
なので，
\( △AED：△ABC=\dfrac{x^2}{5}：2x^2=1：10 \)
つまり，\( △AED \) の面積は \( △ABC \) の面積の \( \dfrac{1}{10} \) 倍になります。
大問３
右の図で，直線 ℓ は関数 \( y=-\dfrac{1}{2}x+3 \) のグラフであり，点 \( A \) は直線 ℓ と \( y \) 軸との交点である。また，点 \( B \) の座標は \( (-2，4) \)，点 \( C \) の座標は \( (-4，3) \) である。 原点を \( O \) として，各問いに答えよ。
（１） 直線 \( ℓ \) 上にあって，\( x \) 座標，\( y \) 座標がともに正の整数である点は何個あるか。
直線 \( ℓ \) と \( x \) 軸の交点を \( D \) とすると，
点 \( D \) の \( x \) 座標は，
\( 0=-\dfrac{1}{2}x+3 \)
\( x=6 \)
なので，
\( x \) 座標，\( y \) 座標がともに正の整数になり得るのは
\( 0<x≦6 \) の範囲です。
この中で，\( y \) 座標が正の整数になり得るのは，
\( x \) の値が偶数（２の倍数）になるときです。
ただし，\( x=6 \) のときは，
\( y=-\dfrac{1}{2} \times 6+3=0 \)
となり，正の整数ではありません。
よって，\( x \) 座標，\( y \) 座標がともに正の整数になるのは，\( x=2 \) と \( x=4 \) のときの２個になります。
（２） ２点 \( B，C \) を通る直線の式を求めよ。
求める直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
傾き \( a=\dfrac{4-3}{-2-(-4)}=\dfrac{1}{2} \)
なので，\( y=\dfrac{1}{2}x+b \) に \( x=-2，y=4 \) を
代入すると，
\( 4=\dfrac{1}{2} \times (-2)+b \)
\( b=5 \)
よって，この直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+5 \)
（３） 直線 \( OC \) 上に点 \( P \) を，四角形 \( OABC \) の面積と \( △BCP \) の面積が等しくなるようにとる。このとき，点 \( P \) の座標を求めよ。ただし，点 \( P \) の \( x \) 座標は正の数とする。
【点 \( P \) はどんな位置にあればいい？】
四角形 \( OABC \) と \( △BCP \) は，
\( △OBC \) の部分が共通なので，
\( △OAB \) と \( △OPB \) の面積が等しいとき，
四角形 \( OABC \) と \( △BCP \) の面積は等しく
なります。
\( △OAB \) と \( △OPB \) は辺 \( OB \) が共通なので，
等積変形の考え方から，\( AP//OB \) となるとき，
\( △OAB \) と \( △OPB \) の面積は等しくなります。
以上より，点 \( P \) は，点 \( A \) を通り，\( OB \) と平行な直線と直線 \( OC \) の交点になります。
【点 \( P \) の座標を求める】
\( OB \) は，原点と \( B(-2，4) \) を通るので，
傾きは \( -2 \) であり，
直線 \( AP \) の傾きも \( -2 \) になります。
また，点 \( A \) は，
直線 ℓ：\( y=-\dfrac{1}{2}x+3 \) の切片になので，
点 \( A \) の座標は，\( A(0，3) \)
ここから，直線 \( AP \) の式は \( y=-2x+3 \)
直線 \( OC \) は，原点と \( C(-4，3) \) を通るので，
直線 \( OC \) の式は \( y=-\dfrac{3}{4}x \)
これら２直線の交点の座標は連立方程式の解として表れるので，
\( -\dfrac{3}{4}x=-2x+3 \)
\( -3x=-8x+12 \)
\( 5x=12 \)
\( x=\dfrac{12}{5} \)
\( y=-\dfrac{3}{4}x \) に代入すると，
\( y=-\dfrac{3}{4} \times \dfrac{12}{5}=-\dfrac{9}{5} \)
