埼玉県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

中心角の大きさは弧の長さに比例します。
この円の中心を \( O \) とすると，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) は，円周を１０等分した１つなので，
　中心角 \( ∠AOB=360° \times \dfrac{1}{10}=36° \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の３倍の長さなので，
　中心角 \( ∠EOH=36° \times 3=108° \)

\( ∠AHK \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
　\( ∠AHK=\dfrac{1}{2}∠AOB=18° \)
\( ∠KAH \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) に対する円周角なので，
　\( ∠KAH=\dfrac{1}{2}∠EOH=54° \)

\( △AHK \) において，
　\( ∠x=180°－(∠AHK+∠KAH)=108° \)

辺 \( BC，AB \) の中点を \( G，H \)，
線分 \( EG \) と線分 \( FH \) の交点を \( I \) とし，
平行四辺形 \( ABCD \) の面積を \( S \) とすると，
　\( △DEF=\dfrac{1}{2} \) 平行四辺形 \( EIFD \)
　　　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4}S=\dfrac{1}{8}S \)

大きいさいころと小さいさいころの出た目の数の
組み合わせとそれぞれの組み合わせにおける
\( 10x+y \) の値を表にして書き出し，
７の倍数になるところに ○ をつけてみます。

７の倍数になる組み合わせは \( 6 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通り
なので，求める確率は \( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)

長方形 \( ABCD \) を，１回転させてできる立体は，
右の図のようなドーナツ（バウムクーヘン）型で，
底面の半径が \( 6 \; cm \)， 高さが \( 6 \; cm \) の円柱から
底面の半径が \( 2 \; cm \)， 高さが \( 6 \; cm \) の円柱を
取り除いたものになっています。

大きい方の円柱の体積を \( V_1 \)，
小さい方の円柱の体積を \( V_2 \) とすると，
　\( V_1=\pi{} \times 6^2 \times 6=216\pi{} \; (cm^3) \)
　\( V_2=\pi{} \times 2^2 \times 6=24\pi{} \; (cm^3) \)
なので，求める立体の体積は，
　\( V_1-V_2=216\pi{}-24 \pi{}=192\pi{} \; (cm^3) \)

重なる部分の三角形は底角２つがそれぞれ
１辺 \( 8 \; cm \) の正三角形と共通な角なので，
１辺 \( 4 \; cm \) の正三角形になっています。
２つの正三角形は相似なので，
右の図のように大きい正三角形を区切ると，
１辺 \( 4 \; cm \) の小さい正三角形だけで表すことができます。

例として，大きい正三角形が２個のとき，３個のとき，４個のときを実際に書いてみると，
かげをつけた正三角形の個数と白の正三角形の個数は下の表のようになっています。

かげをつけた正三角形は，
大きい正三角形を１個増やすごとに１個ずつ増えるので，
大きい正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数は，
\( x-1 \) 個になります。

白の正三角形は，左端の１個と右端の３個は同じで，
大きい正三角形を１個増やすごとに，
真ん中（赤のひし形）の部分の２個ずつが
増えていくので，
大きい正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数は，
\( 2(x-1)+4=2x+2 \)（個）
になります。

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( D，E \) とします。)
手順２　２点 \( D，E \) を通る直線を描く。
手順３　点 \( C \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( BC \) との交点を \( F，G \) とします。)
手順４　２点 \( F，G \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( H \) とします。)
手順５　２点 \( C，H \) を通る直線を描く。

\( △ACD \) と \( △AGB \) において，
正方形の辺の長さは等しいので，
　\( AD=AB \) ･･･ ➀
　\( AC=AG \) ･･･ ➁
正方形の内角は \( 90° \) なので，
　\( ∠CAD=90°+∠CAB \) ･･･ ③
　\( ∠GAB=90°+∠CAB \) ･･･ ➃
③➃より，
　\( ∠CAD=∠GAB \) ･･･ ➄
①②➄より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ACD≡△AGB \)

\( 0<t<3 \) の場合，
　\( PQ：PR=4：3 \)
　　\( t：\dfrac{1}{3}t^2=4：3 \)
　　　　 \( 3t=\dfrac{4}{3}t^2 \)
　　　　 \( 9t=4t^2 \)
　 \( 4t^2-9t=0 \)
　\( t(4t-9)=0 \)
　　　　　\( t=\dfrac{9}{4} \) ( \( t>0 \) より)

\( 3<t≦5 \) の場合，
　 \( PQ：PR=4：5 \)
　　 \( t：\dfrac{1}{3}t^2=4：5 \)
　　　　　\( 5t=\dfrac{4}{3}t^2 \)
　　　　 \( 15t=4t^2 \)
　 \( 4t^2-15t=0 \)
　\( t(4t-15)=0 \)
　　　　　 \( t=\dfrac{15}{4} \) ( \( 3<t≦5 \) より)

図２で水面を表す線分と \( AE，DH \) との交点を
\( J，K \) とすると，
こぼした水の体積は，三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積と等しくなります。

つまり，容器 \( ABCD－EFGH- \) の容積から
三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積をひくことで，
容器に残っている水の体積を求められます。

 \( ∠AEF=∠BIA=90°，∠AFE=∠BAI \)
より，\( △AEF \) ∽ \( △BIA \) になっています。

\( △AEF \) において，三平方の定理より，
　\( AF^2=12^2+6^2=180 \)
　 \( AF=6\sqrt{5} \; (cm) \)
なので，
　\( EF：IA=AF：BA \)
　　\( 6：IA=6\sqrt{5}：6 \)
　 \( 6\sqrt{5}IA=36 \)
　　　 \( IA=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \; (cm) \)

\( ∠BAJ=∠AEF=90°，∠ABJ=∠EAF \)
より，\( △BAJ \) ∽ \( △AEF \)
なので，
　 \( BJ：AF=BA：AE \)
　\( BJ：6\sqrt{5}=6：12 \)
　　　\( 12BJ=36\sqrt{5} \)
　　　　\( BJ=3\sqrt{5} \; (cm) \)

容器 \( ABCD－EFGH \) の容積 \( V_1 \) は，
　\( V_1=6 \times 6 \times 12=432 \; (cm^3) \)

三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積は，
　\( V_2=\left( 3\sqrt{5} \times \dfrac{6}{\sqrt{5}} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 6=54 \; (cm^3) \)