東京都公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

中心角の大きさは弧の長さに比例します。

\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する中心角 \( ∠AOB=180° \) なので，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AC }=\dfrac{2}{5}\stackrel{\huge\frown}{ AB } \) より，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) に対する中心角 \( ∠AOC=\dfrac{2}{5} \times 180°=72° \) になります。

対頂角は等しいので，\( ∠BOD=∠AOC=72°  \)

\( ∠BOD \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BD } \) に対する中心角，
\( ∠BED \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BD } \) に対する円周角
なので，
　\( ∠x=∠BED=\dfrac{1}{2}∠BOD=36° \)

手順１　点 \( A \) を中心に円弧を描く。
(辺 \( AB，AD \) との交点を \( E，F \) とします。)
手順２　２点 \( E，F \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( G \) とします。)
手順３　２点 \( A，G \) を通る直線を描く。

手順３の直線と辺 \( BC \) の交点が求める点 \( P \) になります。

点 \( P \) は，辺 \( AB \) と辺 \( AD \) までの距離が等しい
ということは，
点 \( P \) から辺 \( AB，AD \) にひいた垂線の長さが
等しくなるということです。

これらの垂線と辺 \( AB，AD \) の交点を \( Q，R \) とすると，
\( △APQ \) と \( △APR \) において，
　\( ∠AQP=∠ARP=90° \)
　\( AP \) は共通
　\( PQ=PR \)
より，
斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい直角三角形なので，
　\( △APQ≡△APR \)

\( △ABC \) と \( △EDB \) において，
仮定より \( BC=BD \) ･･･ ➀
平行移動させた後，辺 \( AB \) と辺 \( ED \) は
ぴったり重なるので，\( AB=ED \) ･･･ ➁
平行移動させた後，ぴったり重なるということは \( AB//ED \) なので，
同位角は等しく，\( ∠ABC=∠EDB \) ･･･ ➂
①②③より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABC ≡△EDB \)

\( △BAE \) と \( △EDB \) において，
辺 \( BE \) は共通 ･･･ ④
ぴったり重なるので，\( AB=ED \) ･･･ ➄
\( AB//ED \) なので，
錯角は等しく，\( ∠ABE=∠DEB \) ･･･ ⑥
④➄➅より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △BAE ≡△EDB \)

点 \( P \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 2 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 2^2-1 \)
であり，点 \( P \) の座標は，\( P(2，1) \)
点 \( Q \) の座標は，\( Q(2，5) \)

点 \( A \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -6 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times (-6)^2=9 \)
であり，点 \( A \) の座標は，\( A(-6，9) \)

直線 \( AQ \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{5-9}{2-(-6)}=-\dfrac{1}{2} \)
\( y=-\dfrac{1}{2}x+n \) に \( x=2，y=5 \) を代入すると，
　\( 5=-\dfrac{1}{2} \times 2+n \)
　\( 5=-1+n \)
　\( n=6 \)
よって，直線 \( AQ \) の式を \( y=-\dfrac{1}{2}x+6 \)

求める点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
\( P，Q \) の座標は \( P \left( t，\dfrac{1}{4}t^2 \right)，Q \left( t，\dfrac{1}{4}t^2+4 \right) \) と表すことができます。

点 \( Q \) を通り傾き \( \dfrac{1}{2} \) の直線の式を
\( y=\dfrac{1}{2}x+b \) とすると，
\( Q \left( t，\dfrac{1}{4}t^2+4 \right) \) を通るので，
　\( \dfrac{1}{4}t^2+4=\dfrac{1}{2}t+b \)
　　　　 \( b=\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+4 \)
となり，
\( R \) の座標は \( R \left( 0，\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+4 \right) \) と表すことができます。

\( ∠MQP=x° \) とすると，
長方形の向かい合う辺は平行なので，錯角は等しく，
　\( ∠AMQ=∠MQP=x° \)
長方形の内角は \( 90° \) なので，\( AB=BM \) より
\( △ABM \) は直角二等辺三角形であり，\( ∠AMB=45° \) なので，
　\( ∠BMQ=∠AMB+∠AMQ \)
　　　　　 \( =(45+x)° \)

\( △BMR \) と \( △DQT \) において，
長方形の向かい合う辺は平行なので，
\( AD//BC \) であり，錯角は等しく，
　\( ∠RBM=∠TDQ \) ･･･ ➀
　\( ∠TQD=∠TPB \) ･･･ ②
仮定より \( AM//QP \) なので，
同位角は等しく，
　\( ∠RMB=∠TPB \) ･･･ ➂
②③より，
　\( ∠RMB=∠TQD \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △BMR \) ∽ \( △DQT \)

\( MP：PC=3：1，BM=MC \) より，
　\( BM：MP：PC=4：3：1 \)
\( AQ=MP，AD=BC \) なので，
　\( AQ：QD=3：5 \)
になっています。

１より \( △BMR \) ∽ \( △DQT \) なので，
　\( BR：DT=BM：DQ=4：5 \) ･･･ ①
また，\( △BMR \) ∽ \( △BPT \) でもあるので，
　\( BR：RT=BM：MP=4：3 \) ･･･ ②
①②より，
　\( RT：BD=3：12 \) ･･･ ➂

 \( △ACP \) と \( △BCP \) において，
線分 \( CP \) は共通 ･･･ ➀
仮定より \( AC=BC \) ･･･ ②
\( ∠BAD=∠CAD=90° \) の三角柱なので，
\( ∠ACP=∠BCP=90° \) ･･･ ➂
①②③より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACP≡△BCP \)
対応する辺は等しいので，\( AP=BP \)

\( △ABP \) は二等辺三角形で，
\( M \) は線分 \( AB \) の中点なので，
\( ∠BMP=90° \)

三角柱 \( ABC-DEF \) を面 \( ADEB \) が底面に
なるように書くと右の図のようになります。

点 \( P \) から面 \( ADEB \) に垂線をひいた
交点を \( N \) とすると，
\( PN \) は立体 \( P-ADEB \) の高さであり，
\( PN=CM \) になっています。

\( △ABC \) において，
\( BM=\dfrac{1}{2}AB=3 \; cm \)，\( BC=5 \; cm \) なので，
\( △BCM \) は３辺の長さが \( 3：4：5 \) の直角三角形であり，\( CM=4 \; cm \)