大問１
（１） \( 6-2 \times (-5^2) \) を計算せよ。
（２） \( \dfrac{2}{3}(6x+3y)-\dfrac{1}{4}(8x-2y) \) を計算せよ。
（３） \( \sqrt{32}-\dfrac{16}{\sqrt{2}}+\sqrt{18} \) を計算せよ。
（４） \( x=7，y=-6 \) のとき，\( (x-y)^2-10(x-y)+25 \) の値を求めよ。
（５） ２次方程式 \( 8x^2=22x \) を解け。
（６） \( y \) は \( x \) の２乗に比例し，\( x=3 \) のとき \( y=-54 \) である。このとき \( y \) を \( x \) の式で表せ。
（７） 右の図のように，方眼紙上に \( △ABC \) と点 \( O \) があり，４点 \( A，B，C，O \) は方眼紙の縦線と横線の交点上にある。\( △ABC \) を，点 \( O \) を回転の中心として，時計回りに \( 270° \) だけ回転移動させた図形を，答案用紙の方眼紙上にかけ。
反時計回りに \( 90° \) だけ回転移動させるのと同じことです。
点 \( A \) の位置は，点 \( O \) から見て
上に４マス，左に３マスの場所なので，
移動先は，点 \( O \) から見て
左に４マス，下に３マスの場所になります。
点 \( B \) の位置は，点 \( O \) から見て
左に４マス，下に２マスの場所なので，
移動先は，点 \( O \) から見て
下に４マス，右に２マスの場所になります。
点 \( C \) の位置は，点 \( O \) から見て
左に１マスの場所なので，
移動先は，点 \( O \) から見て
下に１マスの場所になります。
（８） 赤玉が２個，白玉が２個，黒玉が１個の合計５個の玉が入っている袋がある。この袋から玉を１個取り出し，取り出した玉を袋にもどさずに，玉をもう１個取り出す。このとき，取り出した２個の玉の色が異なる確率を求めよ。 ただし，袋に入っているどの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。
取り出した２個の玉の色の組み合わせを樹形図に書き出し，
２個の玉の色が異なるところに ○ をつけてみます。
（１個ずつ２回に分けて取り出しているので，（赤１，赤２）と（赤２，赤１）はわけて考えます。）
２個の玉の色が異なる組み合わせは \( 16 \) 通り，すべての組み合わせは \( 20 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5} \)
【別解】
まず，取り出した２個の玉の色が同じになる確率を考えると，
２個の玉の色が同じになる組み合わせは
（赤１，赤２），（赤２，赤１），（白１，白２），（白２，白１）
の \( 4 \) 通り，すべての組み合わせは \( 20 \) 通りなので，
その確率は \( \dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5} \)
よって，取り出した２個の玉の色が異なる確率は
\( 1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5} \)
大問２
ある中学校の２年生は，Ａ組，Ｂ組，Ｃ組，Ｄ組の４学級で編制されており，各学級の人数は \( 30 \) 人である。この中学校では，家庭でのタブレット端末を活用した学習時間を調査しており，その結果から得られた学習時間のデータをさまざまな方法で分析している。右のⅠ図は，２年生の \( 120 \) 人全員のある日の学習時間を調査した結果を，ヒストグラムに表したものである。たとえば，Ⅰ図から，２年生の \( 120 \) 人のうち，学習時間が \( 0 \) 分以上 \( 10 \) 分未満の生徒は \( 7 \) 人いることがわかる。
このとき，次の問い（１）・（２）に答えよ。
（１） Ⅰ図において，学習時間が \( 30 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の生徒は何人いるか求めよ。また，右の（ア）～（エ）の箱ひげ図のいずれかは，Ⅰ図のヒストグラムに対応している。 Ⅰ図のヒストグラムに対応している箱ひげ図を，（ア）～（エ）から１つ選べ。
各階級の度数を合計すると，\( 8+8+9+8+9+10=52 \)（人）
【Ⅰ図に対応している箱ひげ図】
ヒストグラムから，最大値は \( 110 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級に含まれているので，
あてはまるのは，（ア）と（エ）です。
全部で \( 120 \) 人分のデータを集計しているので，
第三四分位数は，学習時間が長い方から \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の値の平均値になります。
ヒストグラムから，
学習時間が \( 90 \) 分以上の生徒は \( 35 \) 人，\( 100 \) 分以上の生徒は \( 25 \) 人いるので，
学習時間が長い方から \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の値は \( 90 \) 分以上 \( 100 \) 分未満の階級に含まれています。
よって，あてはまるのは，（ア）になります。
（２） 右のⅡ図は，Ⅰ図のもととなった学習時間の調査結果を，学級ごとに箱ひげ図に表したものである。Ⅱ図から必ずいえるものを，次の（ア）～（オ）から２つ選べ。
（ア） Ａ組は，学習時間が \( 60 \) 分以上 \( 70 \) 分未満の生徒が \( 1 \) 人以上いる。
（イ） Ｂ組は，学習時間が \( 80 \) 分以上の生徒が \( 8 \) 人以上いる。
（ウ） Ｃ組は，学習時間が \( 115 \) 分の生徒が \( 1 \) 人だけいる。
（エ） ４学級のうち，Ｄ組は，学習時間が \( 0 \) 分以上 \( 40 \) 分未満の生徒の人数が最も多い。
（オ） ４学級のうち，学習時間のデータの四分位範囲が最も大きい学級は，学習時間のデータの範囲が
最も小さい。
（ア） ･･･ Ａ組の人数は \( 30 \) 人なので，
中央値は，学習時間が短い方から \( 15 \) 番目と \( 16 \) 番目の値の平均値になります。
箱ひげ図から中央値は約 \( 68 \) 分になっていますが，
\( 15 \) 番目の値が \( 56 \) 分，\( 16 \) 番目の値が \( 80 \) 分の場合でも
平均値は \( \dfrac{56+80}{2}=68 \)（分）になるので，
「学習時間が \( 60 \) 分以上 \( 70 \) 分未満の生徒が \( 1 \) 人以上いる」とは限りません，
（イ） ･･･ Ｂ組の箱ひげ図から，第三四分位数は \( 80 \) 分以上になっています。
Ｂ組の人数は \( 30 \) 人なので，第三四分位数は，学習時間が長い方から \( 8 \) 番目の値です。
よって，学習時間が \( 80 \) 分以上の生徒が \( 8 \) 人以上いることになります。
（ウ） ･･･ Ｃ組の箱ひげ図から，最大値が \( 115 \) 分になっていますが，「\( 1 \) 人だけ」とはいえません。
（エ） ･･･ ４つの箱ひげ図から，Ｄ組だけが第一四分位数が，\( 40 \) 分以上になっています。
第一四分位数は，学習時間が短い方から \( 8 \) 番目の値になるので，
Ｄ組にいる学習時間が \( 0 \) 分以上 \( 40 \) 分未満の生徒数は，\( 7 \) 人以下です。
対して，Ａ～Ｃ組は，第一四分位数が，\( 40 \) 分未満であることから，
学習時間が \( 0 \) 分以上 \( 40 \) 分未満の生徒数は，\( 8 \) 人以上です。
よって，Ｄ組が最も多いというのは正しくありません。
（オ） ･･･ 四分位範囲の大きさは，箱の長さで比較することができます。
また，範囲の大きさは，箱ひげ図全体の長さで比較することができます。
箱の長さが最も長いのはＡ組，箱ひげ図全体の長さが最も短いのもＡ組になっています。
大問３
ＡさんとＢさんは，水泳，自転車，長距離走の３種目を，この順に連続して行うトライアスロンの大会に参加した。スタート地点から地点Ｐまでが水泳，地点Ｐから地点Ｑまでが自転車，地点Ｑからゴール地点までが長距離走で，スタート地点からゴール地点までの道のりは \( 14300 \; m \) であった。
ＡさんとＢさんは同時にスタートし，どちらも同じ速さで泳ぎ，\( 6 \) 分後に地点Ｐに到着した。地点Ｐから地点Ｑまで，Ａさんは分速 \( 600 \; m \)，Ｂさんは分速 \( 500 \; m \) でそれぞれ走り，ＡさんはＢさんより早く地点Ｑに到着した。Ａさんは，地点Ｑからゴール地点まで走っている途中で，Ｂさんに追いつかれ，その後，Ｂさんより遅れてゴールした。地点Ｑからゴール地点までにおいて，Ａさんが走る速さは，Ｂさんが走る速さの \( \dfrac{4}{5} \) 倍であった。右の図は，Ａさんがスタートしてから \( x \) 分後のＡさんがスタート地点から進んだ道のりを \( y \; m \) として，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。ただし，Ａさん，Ｂさんともに，各種目で進む速さはそれぞれ一定であり，種目の切り替えにかかる時間は考えないものとする。
このとき，次の問い（１）・（２）に答えよ。
（１） 地点Ｐから地点Ｑまでの道のりは何 \( m \) か求めよ。また，\( 21≦x≦46 \) のときの \( y \) を \( x \) の式で表せ。
【地点Ｐから地点Ｑまでの道のり】
Ａさんが
地点Ｐを出発したのは，スタートから \( 6 \) 分後，
地点Ｑに到着したのは，スタートから \( 21 \) 分後
なので，かかった時間は \( 15 \) 分です。
Ａさんはこの \( 15 \) 分間を分速 \( 600 \; m \) で走ったので，
走った道のりは，
\( 600 \times 15=9000 \; (m) \)
【\( 21≦x≦46 \) のときの式】
スタート地点から地点Ｐまでの道のりが \( 300 \; m \)
地点Ｐから地点Ｑまでの道のりが \( 9000 \; m \)
なので，
スタート地点から地点Ｑまでの道のりは \( 9300 \; m \)
です。
地点Ｑを表す座標は \( (21，9300) \)，
ゴール地点を表す座標は \( (46，14300) \) なので，
求める式を \( y=ax+b \) とすると，
\( a=\dfrac{14300-9300}{46-21}=200 \)
\( y=200x+b \) に \( x=21，y=9300 \) を代入すると，
\( 9300=200 \times 21+b \)
\( b=9300-4200=5100 \)
よって，求める式は \( y=200x+5100 \)
（２） 地点Ｑからゴール地点までにおいて，Ａさんが走っている途中で，Ｂさんに追いつかれたときの，Ａさんがスタート地点から進んだ道のりは何 \( m \) か求めよ。
かかった時間は \( \dfrac{9000}{500}=18 \)（分）であり，
Ｂさんが地点Ｑに到着したのは，スタートから \( 28+6=24 \)（分後）になります。
ここから，Ｂさんが地点Ｑに到着した時点を表す座標は \( (24，9300) \) になります。
（２）より，Ａさんは地点Ｑからゴール地点まで
分速 \( 200 \; m \) で走ったので，
Ｂさんが地点Ｑからゴール地点まで走った速さを
分速 \( v \; m \) とすると，
\( \dfrac{4}{5}v=200 \)
\( 4v=1000 \)
\( v=250 \; (m) \)
Ｂさんが地点Ｑからゴール地点まで走った状態を
表す式を \( y=250x+c \) として，
\( x=24，y=9300 \) を代入すると，
\( 9300=250 \times 24+c \)
\( c=9300-6000=3300 \)
よって，求める式は \( y=250x+3300 \)
ＡさんがＢさんに追いつかれた時間と場所は，２本の直線の交点，
つまり，２本の直線の式を連立方程式としたときの解として表れるので，
\( 200x+5100=250x+3300 \)
\( 50x=1800 \)
\( x=36 \)
\( y=200x+5100 \) に代入すると，
\( y=200 \times 36+5100 \)
\( =12300 \; (m) \)
大問４
右の図のような，頂点を \( A \)，線分 \( BC \) を直径とする円を底面とする円錐があり，高さは \( 4\sqrt{6} \; cm，AB：BC=3：2 \) である。線分 \( AB \) を３等分する点を点 \( A \) に近い方から順に \( D，E \) とする。また，この円錐の側面に，点 \( E \) から線分 \( AC \) を通り，点 \( D \) まで，ひもをゆるまないようにかける。
このとき，次の問い（１）・（２）に答えよ。
（１） この円錐の底面の半径を求めよ。また，線分 \( AE \) の長さを求めよ。
【底面の半径】
円錐の底面の半径を \( r \; cm \) とすると，直径 \( BC=2r \; cm \)
\( AB：BC=3：2 \) より，\( AB=\dfrac{3}{2}BC=3r \; cm \)
底面の円の中心を \( O \) とすると，
\( △ABO \) において，三平方の定理より，
\( (3r)^2=r^2+(4\sqrt{6})^2 \)
\( 8r^2=96 \)
\( r^2=12 \)
\( r=2\sqrt{3} \; (cm) \) (\( r>0 \) より)
【線分 \( AE \) の長さ】
仮定より，\( AB：AE=3：2 \) なので，
\( AE=\dfrac{2}{3}AB \)
\( =2r \)
\( =4\sqrt{3} \; (cm) \)
（２） かけたひもの長さが最短となるときの，ひもの長さを求めよ。ただし，ひもの太さは考えないものとする。
この円すいを線分 \( AB \) で切って展開すると，
側面は半径 \( AB=3r=6\sqrt{3} \; (cm) \) のおうぎ形になります。
おうぎ形の弧 \( BB’ \) と底面の円周の長さは等しく，
底面の円周 \( =2 \times \pi{} \times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\pi{} \; (cm) \)
なので，
おうぎ形の中心角を \( ∠BAB’=x° \) とすると，
\( 2 \times \pi{} \times 6\sqrt{3} \times \dfrac{x}{360°}=4\sqrt{3}\pi{} \)
\( 12\sqrt{3}\pi{} \times \dfrac{x°}{360°}=4\sqrt{3}\pi{} \)
\( \dfrac{x}{360°}=\dfrac{1}{3} \)
\( x°=120° \)
線分 \( B’D \) を延長し，点 \( E \) から垂線をひいた
交点を \( F \) とすると，
\( ∠EAF=180°-∠BAB’=60°，∠EFA=90° \) なので，
\( △EAF \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形であり，
\( FA=\dfrac{1}{2}AE=2\sqrt{3} \; (cm) \)
\( EF=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AE=6 \; (cm) \)
\( △EDF \) において，
\( FD=FA+AD \)
\( =FA+\dfrac{1}{2}AE \)
\( =2\sqrt{3}+2\sqrt{3} \; (cm) \)
\( =4\sqrt{3} \; (cm) \)
なので，三平方の定理より，
\( DE^2=EF^2+FD^2 \)
\( =6^2+(4\sqrt{3})^2 \)
\( =84 \)
\( DE=2\sqrt{21} \; (cm) \)
大問５
右の図のような，\( AB=8 \; cm，AD=6 \; cm \) の長方形 \( ABCD \) がある。点 \( E \) を，辺 \( AB \) 上に \( AE=2 \; cm \) となるようにとり，線分 \( CE \) の垂直二等分線と辺 \( CD \)，線分 \( CE \) との交点をそれぞれ \( F，G \) とする。また，\( DH=4 \; cm \) となるような点 \( H \) を，辺 \( AD \) を延長した直線上にとり，２点 \( B，H \) を通る直線と辺 \( CD \)，線分 \( CE \) との交点をそれぞれ \( I，J \) とする。
このとき，次の問い（１）～（３）に答えよ。
（１） \( △CFG \) の面積を求めよ。
\( △EBC \) に注目すると，
\( AB=8 \; cm，AE=2 \; cm \) より，
\( BE=6 \; cm \)
長方形の向かい合う辺は等しいので，
\( BC=AD=6 \; cm \)
長方形 \( ABCD \) の内角なので，
\( ∠EBC=90° \)
以上より，\( △EBC \) は直角二等辺三角形です。
\( △CFG \) に注目すると，
\( △EBC \) は直角二等辺三角形なので，
\( ∠ECB=45° \) であり，
\( ∠GCF=90°-∠ECB=45° \)
線分 \( FG \) は線分 \( CE \) の垂直二等分線なので，
\( ∠FGC=90° \)
以上より，\( △CFG \) も直角二等辺三角形です。
\( △EBC \) は直角二等辺三角形なので，
\( CE=\sqrt{2}BE=6\sqrt{2} \; (cm) \)
線分 \( FG \) は線分 \( CE \) の垂直二等分線なので，
\( CG=\dfrac{1}{2}CE=3\sqrt{2} \; (cm) \)
\( △CFG \) は直角二等辺三角形なので，
\( FG=CG=3\sqrt{2} \; (cm) \)
よって，\( △CFG \) の面積は，
\( △CFG=3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2}=9 \; (cm^2) \)
（２） 線分 \( CI \) の長さを求めよ。
\( △ABH \) と \( △CIB \) において，
長方形の内角なので，
\( ∠BAH=∠ICB=90° \) ･･･ ➀
長方形の向かい合う辺は平行なので，
錯角は等しく，
\( ∠AHB=∠CBI \) ･･･ ➁
①②より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABH \) ∽ \( △CIB \)
対応する辺の比は等しいので，
\( AB：CI=AH：CB \)
\( 8：CI=10：6 \)
\( 10CI=48 \)
\( CI=\dfrac{24}{5} \; (cm) \)
（３） 四角形 \( FGJI \) の面積を求めよ。
（１）で求めた \( △CFG \) の面積から \( △CIJ \) の面積をひく方法で考えます。
\( ∠ECB=∠JCI=45° \) より，
線分 \( CJ \) は \( ∠BCI \) の二等分線なので，
\( BJ：IJ=CB：CI \)
\( =6：\dfrac{24}{5} \)
\( =5：4 \)
\( △BCG \) と \( △CIJ \) は高さが共通なので，
面積比は底辺の長さの比と等しくなります。
ここから，
\( △BCG：△CIJ=BJ：IJ=5：4 \)
であり，
\( △CIJ=\dfrac{4}{9}△BCI \)
となります。
\( △BCI \) の面積は，
\( △BCI=6 \times \dfrac{24}{5} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{72}{5} \; (cm^2) \)
なので，\( △CIJ \) の面積は，
\( △CIJ=\dfrac{4}{9}△BCI \)
\( =\dfrac{4}{9} \times \dfrac{72}{5} \)
\( =\dfrac{32}{5} \; (cm^2) \)
よって，四角形 \( FGJI \) の面積は，
四角形 \( FGJI=△CFG-△CIJ \)
\( =9-\dfrac{32}{5} \)
\( =\dfrac{13}{5} \; (cm^2) \)
大問６
円の周上に，\( n \) 個の点をそれぞれ異なる位置にとり，これらのすべての点を互いに結ぶ線分をひき，弦の本数を考える。
次の表は，\( n=2，3，4 \) のときの，図と弦の本数をまとめたものである。
このとき，次の問い（１）～（３）に答えよ。ただし，\( n \) は \( 2 \) 以上の自然数とする。
（１） \( n=5 \) のとき，弦の本数を求めよ。
\( 5 \) 個の点に \( A，B，C，D，E \) と名前をつけると，
点 \( A \) から引くことができる弦は \( 4 \) 本
点 \( B \) から引くことができる弦は \( 3 \) 本
（ 弦 \( AB \) は重複になるので数えません）
点 \( C \) から引くことができる弦は \( 2 \) 本
点 \( D \) から引くことができる弦は \( 1 \) 本
なので，弦の本数は，
\( 4+3+2+1=10 \)（本）
（２） \( n=41 \) のとき，弦の本数を求めよ。
（３） 弦の本数が \( 1953 \) 本であるときの \( n \) の値を求めよ。
弦の本数が \( 1953 \) 本であるときの点の個数を \( n \) 個とすると，
\( 1953 \) は \( 1 \) から \( n-1 \) までの和になります。
\( 1 \) から \( m \) までの和は，
\( 1+2+3+ \; ･･･ \; +m-1+m=\dfrac{m(m+1)}{2} \)
の形で表すことができるので，\( m=n-1 \) を代入すると，
\( 1 \) から \( n-1 \) までの和は，
\( 1+2+3+ \; ･･･ \; +(n-2)+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2} \)
と表すことができます。
よって，
\( (n-1)+(n-2)+(n-3)+ \; ･･･ \; +3+2+1=1953 \)
\( \dfrac{n(n-1)}{2}=1953 \)
\( n(n-1)=3906 \)
\( n^2-n-3906=0 \)
\( (n+62)(n-63)=0 \)
\( n=63 \) (\( n≧2 \) より)
○ をピラミッド形に \( 1 \) 個 → \( 2 \) 個→ ･･･ → \( m \) 個と並べたときの ○ の個数
として考えます。
同じピラミッド形のものを上下逆にして横に並べると，\( m+1 \) 個の ○ が \( m \) 段並ぶので，
ピラミッド形２つ分の ○ の個数は \( m(m+1) \) 個と表すことができます。
よって，ピラミッド形１つ分の ○ の個数は \( \dfrac{m(m+1)}{2} \) 個と表すことができます。
