大阪府公立高校入試　令和６（2024）年度（Ｃ問題）　解答＆解説

\( y=-\dfrac{1}{4}x^2 \) について，
\( y \) が最小値 \( -16 \) であるときの \( x \) の値は，
　\( -16=-\dfrac{1}{4}x^2 \)
　　\( x^2=64 \)
　　 \( x=8 \) (\( -6≦x≦a \) より)
となるので，\( a=8 \)

このとき，\( x \) の変域は \( -6≦x≦8 \) であり，
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) は最大値は \( 0 \) になります。
よって，\( b=0 \)

点 \( A，B，C \) の座標は，
\( A(1，b)，B(-3，9a)，C(-3，0) \)
と表すことができ，
直線 \( BO \) の式は，\( y=-3ax \) と表すことができる。
点 \( D \) は \( y=-3ax \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 1 \) なので，
\( y \) 座標は
　\( y=-3a \times 1 =-3a \)
であり，点 \( D \) の座標は，\( D(1，-3a) \) と表すことができる。

このとき，四角形 \( ABCD \) は
上底 \( AD=b+3a \)，下底 \( BC=9a \)，高さ \( 4 \)
の台形で，面積は \( 17 \; cm^2 \) なので，
　\( \{(b+3a)+9a\} \times 4 \times \dfrac{1}{2}=17 \)
　　　　　　　　 \( 2(12a+b)=17 \)
　　　　　　 \( 24a+2b-17=0 \) ･･･ ➀

\( △BDO \) と \( △AEC \) において，
\( \stackrel{\huge\frown}{ CD } \) に対する円周角なので，
　\( ∠DBO=∠EAC \) ･･･ ➀
中心角の大きさは弧の長さに比例するので，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB }=2\stackrel{\huge\frown}{ BD } \) より，
　\( ∠AOB=2∠BOD \) ･･･ ②
\( ∠AOB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する中心角，
\( ∠ACE \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
　\( ∠AOB=2∠ACE \) ･･･ ➂
②③より，\( ∠BOD=∠ACE \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △BDO \) ∽ \( △AEC \)

１より \( △BDO \) ∽ \( △AEC \) であり，
\( △BDO \) は \( BO=DO=2 \; cm \) の二等辺三角形なので，
\( △AEC \) も二等辺三角形になります。
ここから，\( EC=BC-BE=3 \; cm \) より，
　\( AC=EC=3 \; cm \)

\( △ABC \) において，三平方の定理より，
　\( AB^2=BC^2-AC^2=4^2-3^2=7 \)
　 \( AB=\sqrt{7} \; (cm) \)

\( △ABC \) の底辺を線分 \( BC \)，
\( △OAC \) の底辺を線分 \( OC \) とすると，
高さが共通なので，
　\( △ABC：△OAC=BC：OC=1：2 \)
であり，\( △OAC=\dfrac{1}{2}△ABC \)

また，\( △OAC \) ∽ \( △FOC \) であり，
相似比は \( AC：OC=3：2 \)
相似な三角形の面積比は
相似比の２乗の比と等しいので，
　\( △OAC：△FOC=3^2：2^2=9：4 \)
であり，
　\( △FOC=\dfrac{4}{9}△OAC=\dfrac{4}{9} \times \dfrac{1}{2}△ABC=\dfrac{2}{9}△ABC \)

\( △BCF \) は \( BC=BF=4 \; cm \) の
直角二等辺三角形なので，
　\( BM=CM=FM=\dfrac{1}{\sqrt{2}}BC=2\sqrt{2} \; (cm) \)
であり，
求める立体の体積は
　\( \pi{} \times (2\sqrt{2})^2 \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{1}{3} \times 2=\dfrac{32\sqrt{2}}{3}\pi{} \; (cm^3) \)

四角形 \( HGCD \) は１辺の長さが \( 4 \; cm \) の正方形
なので，\( DH=4 \; cm \)
四角形 \( HEAD \) は長方形で，\( AD=2 \; cm \) なので，\( EH=AD=2 \; cm \)

補助線 \( DE \) をひくと，
\( △DEH \) において，三平方の定理より，
　\( DE^2=4^2+2^2=20  \)
\( △CDE \) において，三平方の定理より，
　\( EC^2=CD^2+DE^2  \)
　　　　\( =4^2+20  \)
　　　　\( =36  \)
　 \( EC=6 \; (cm) \) (\( EC>0 \) より)

\( EF//IJ \) より，\( △CEF \) ∽ \( △CIJ \) であり，
\( EI=x \; cm \) とすると，\( CI=6-x \; cm \) なので，
相似比は  \( CE：CI=6：6-x \) になっています。
対応する辺の比は等しいので，
　\( CF：CJ=6：6-x \)

\( FB//JK \) より，\( △CFB \) ∽ \( △CJK \) であり，
相似比は，\( CF：CJ=6：6-x \) なので，
対応する辺の比は等しく，
　\( FB：JK=6：6-x \)
　　　 \( 4：x=6：6-x \)
　 \( 4(6-x)=6x \)
　　　　\( 10x=24 \)
　　　　　 \( x=\dfrac{12}{5} \; (cm) \)

点 \( A \) から 辺 \( BC \) に垂線をひき，交点を \( P \)，
線分 \( OM \) との交点を \( Q \) とすると，
四角形 \( AQMD，APCD \) は長方形なので，
　\( QM=PC=AD=2 \; cm \)
　\( AP=DC=4 \; cm \)
であり，
　\( BP=BC-PC=2 \; (cm) \)
　\( AQ=DM=DC-MC=3 \; (cm) \)

\( OM//BC \) より，\( △AOQ \) ∽ \( △ABP \) なので，
　\( OQ：BP=AQ：AP \)
　　\( OQ：2=3：4 \)
　　　\( 4OQ=6 \)
　　　　\( OQ=\dfrac{3}{2} \; (cm) \)

線分 \( OM \) を通り，面 \( GFBC \) と平行な面で
立体 \( OBCM-NFGL \) を切断したときの
切断面を面 \( SROM \) とすると，
四角柱 \( OBCM-RFGS \) ができます。

さらに，立体 \( LN-SROM \) を点 \( N \) を通り，
面 \( SROM \) と垂直な面で切断したときの切断面を
面 \( NTU \) とすると，
四角すい \( N-TROU \) と三角柱 \( LSM-NTU \) ができます。

【四角柱 \( OBCM-RFGS \) の体積】
四角柱 \( OBCM-RFGS \) の体積を \( V_1 \) とすると，
\( OM=\dfrac{7}{2} \; cm，BC=4 \; cm，MC=1 \; cm \)，
\( MS=DH=4 \; cm \) なので，
　\( V_1=\left( \dfrac{7}{2}+4 \right) \times 1 \times \dfrac{1}{2} \times 4=15 \; (cm^3) \)

【四角すい \( N-TROU \) の体積】
四角すい \( N-TROU \) の体積を \( V_2 \) とすると，
１と同様の考え方から，\( NL=\dfrac{5}{2} \; cm \) なので，
　\( UM=NL=\dfrac{5}{2} \; cm \) ，
　\( OU=OM-UM=1 \; cm \)，
\( SG=MC=1 \; cm \) なので，
　\( LS=HG-(HL+SG)=2 \; cm \)
　\( NT=LS=2 \; cm \)
ここから，
　\( V_2=4 \times 1 \times 2 \times  \dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3} \; (cm^3) \)

【三角柱 \( LSM-NTU \) の体積】
三角柱 \( LSM-NTU \) の体積を \( V_3 \) とすると，
　\( NL=\dfrac{5}{2} \; cm，MS=DH=4 \; cm \) ，
　\( LS=2 \; cm \)
ここから，
　\( V_3=4 \times 2 \times  \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{2}=10 \; (cm^3) \)