大問１
（１） \( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \)
（２） \( 2 \times (7-9) \)
（３） \( 7x+4y-(8x-5y) \)
（４） \( 8a^2b \div (-6ab)^2 \times 9b^3 \)
（５） \( (2x-3)^2+2(6x+5) \)
（６） \( \sqrt{10}+\sqrt{40} \)
大問２
（１） 一次方程式 \( 5x+8=6x-1 \) を解きなさい。
（２） \( 2x^2-18 \) を因数分解しなさい。
（３） 右の図のように，\( AB=BC=CD=DE \) である五角形 \( ABCDE \) の５つの頂点 \( A，B，C，D，E \) が点 \( O \) を中心とする円の周上にある。
\( ∠OAB=50° \) であるとき，\( ∠OAE \) の大きさを求めなさい。
補助線 \( OB \) をひくと，\( △OAB \) は二等辺三角形なので，
\( ∠AOB=180°-50° \times 2=80° \)
さらに，補助線 \( OC，OD，OE \) をひくと，
\( AB=BC=CD=DE \) より \( △OAB，△OBC，△OCD，△ODE， \) は
いずれも３辺の長さが等しく，合同なので，
\( ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=80° \)
であり，
\( ∠AOE=360°-80° \times 4=40° \)
\( △OAE \) も二等辺三角形なので，
\( ∠OAE=\dfrac{180°-40°}{2}=70° \)
（４） 右の図のように，\( 3，4，5，6，7 \) の数字が１つずつ書かれた５個の玉が入った箱がある。この箱から玉を１個取り出し，取り出した玉に書かれている数を確認してから箱にもどすことを２回行う。
１回目に取り出した玉に書かれている数を \( a \)，２回目に取り出した玉に書かれている数を \( b \) とするとき，\( a+b \) の値が \( 24 \) の約数になる確率を求めなさい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。
\( a \) と \( b \) の値の組み合わせとそのときの \( a+b \) の値を表に書き出し，\( 24 \) の約数になるところに 〇 を
つけてみます。
\( 24 \) の約数は，\( 1，2，3，4，6，8，12，24 \) なので，あてはまるのは \( 7 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 25 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{7}{25} \) になります。
（５） 右の図のように，平行でない2本の直線 \( l，m \) が点 \( A \) で交わっており，点 \( B \) は \( l \) 上にあって \( A \) と異なる点である。\( m \) 上に点 \( P \) を，\( ∠APB=90° \) となるようにとりたい。点 \( P \) を，定規とコンパスを使って作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
手順１ 点 \( B \) を中心に円弧を描く
（直線 \( m \) との交点を \( C，D \) とします）
手順２ ２点 \( C，D \) を中心に円弧を描く
（交点を \( E \) とします）
手順３ ２点 \( B，E \) を通る直線を描く
手順３の直線と直線 \( m \) との交点が
求める点 \( P \) になります。
（６） 図１のように，縦に \( n \) 段，横に４列のマス目があり，次のように各マス目に数を１つずつ記入する。
・ 数は，\( 1，1，1，0，0，0 \) を繰り返し記入する。
・ １段目の１列目から右方向に数を記入し，各段
とも４列目まで記入したら，次の段の１列目に
移り，つづけて記入する。
例えば，図２は，\( n=4 \) のときのマス目に数を記入したものであり，１段目に記入した数は，１列目から４列目まで順に，\( 1，1，1，0 \) である。
１ \( n=11 \) のとき，１１段目に記入した数を，１列目から４列目まで順に書きなさい。
このマス目において，
１段目に記入する数を１～４番目の数，
２段目に記入する数を５～８番目の数，
と考え，各段の４列目に注目すると，
１段目の４列目は４ \( (=4 \times 1) \) 番目の数，
２段目の４列目は８ \( (=4 \times 2) \) 番目の数，
なので，
１０段目の４列目には，４０ \( (=4 \times 10) \) 番目の数が記入され，
１１段目には４１～４４番目の数が記入されます。
次に，【 \( 1，1，1，0，0，\color{blue}{0} \) 】 の６個の数の並びを１セットと考えると，
２セット目の【 \( 1，1，1，0，0，\color{blue}{0} \) 】 の並びは７～１２番目の数と考えることができ，
\( m \) 番目の \( m \) の値が６の倍数になるとき（５番目，１２番目，１８番目，･･･）の数は，
必ず \( \color{blue}{0} \) になります。
ここから，４２番目の数は \( \color{blue}{0} \) になることがわかります。
よって，４１番目の数は \( 0 \)，４３番目，４４番目の数は \( 1 \) になります。
２ １段目の１列目から \( n \) 段目の４列目まで記入したすべての数の和が \( 35 \) であるとき，\( n \) の値を求めなさい。
【 \( 1，1，1，0，0，\color{blue}{0} \) 】 の数の並び１セットについて，
すべての数の和は \( 3 \) なので，この数の並びが１２セット集まったとき，
\( 72=(6 \times 12) \) 番目までの数の和は \( 36(=3 \times 12) \) であり，
下の表のように６８番目までの数の和が \( 35 \) になります。
注：１２セット目だけを書いています
つまり，\( n \) 段目の４列目の数が \( 68 \) 番目の数であればいいので，
\( 4n=68 \)
\( n=17 \)
（７） あるタクシー会社の運賃は，タクシーに乗って移動した距離に応じて下の表のように決まっており，\( 1100 \; m \) をこえると，\( 300 \; m \) ごとに \( 100 \) 円が加算される。なお，消費税は考えないものとする。
: :
１ この会社のタクシーに乗って \( 2500 \; m \) 移動したときの運賃はいくらになるか，求めなさい。
\( 2500 \; m \) 移動したときの運賃は \( 1200 \) 円になります。
２ この会社のタクシーに乗って \( x \; m \) 移動したときの運賃を \( y \) 円とする。\( 0<x≦2000 \) のとき，\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフとして最も適当なものを，下のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。ただし，グラフにおいて，端の点をふくむ場合は ● ，ふくまない場合は 〇 で表している。
大問３
ある高校の１年生が,ハンドボール投げの測定を行った。図１は，１組から３組のうちのある組について，\( 35 \) 人の測定結果をヒストグラムに表したものである。このヒストグラムでは，例えば，\( 4 \) ～ \( 8 \) の階級では，測定結果が \( 4 \; m \) 以上 \( 8 \; m \) 未満の人数が \( 2 \) 人であったことを表している。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，測定結果はすべて自然数である。
（１） 次は,図１のヒストグラムからいえることについて述べた文章である。 Ａ ， Ｂ に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。ただし， Ｂ は小数第３位を四捨五入して答えなさい。
測定結果の最頻値は Ａ \( m \) である。また，\( 16 \; m \) 未満の人数の累積相対度数は Ｂ である。
（２） 図２は，１組，２組，３組の，それぞれ \( 35 \) 人の測定結果を箱ひげ図に表したものである。
ここで，１組の箱ひげ図が図１のヒストグラムに対応していないことは，次のように説明できる。
２組と３組の箱ひげ図のうち，図１のヒストグラムに対応していないのはどちらであると考えられるか，下のア，イから１つ選び，記号で答えなさい。また，そのように考えた理由を，「図１のヒストグラムで，」につづけてかきなさい。
ア ２組 イ ３組
図１のヒストグラムで，各階級の累積度数を確認すると，\( 16 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級の累積度数が
\( 18 \) 人になっているので，中央値は \( 16 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級に入っていることがわかります。
これに対して，３組の箱ひげ図では中央値は \( 20 \; m \) で，\( 20 \; m \) 以上 \( 24 \; m \) 未満の階級に入っているので，
図１のヒストグラムに対応していないといえます。
（３） 後日，図１のヒストグラムの \( 35 \) 人のデータのうちの１つが，\( 26 \; m \) ではなく \( 20 \; m \) であることがわかった。データの修正前と修正後で値が変わるものを，次のア～オからすべて選び，記号で答えなさい。
ア 第１四分位数 イ 中央値 ウ 第３四分位数 エ 四分位範囲 オ 平均値
２組の箱ひげ図に注目すると，第３四分位数（大きい方から９番目の値）が \( 24 \; m \) であることから，
修正前の \( 26 \; m \) のデータは大きい方から２～８番目のどこかにあったとわかります。
また，中央値（大きい方から１８番目の値）が \( 19 \; m \) であることから，
修正後の \( 20 \; m \) のデータは大きい方から９～１７番以内のどこかになることがわかります。
ここまでを参考にア～オのそれぞれの値が変わるか確認します。
【ア 第１四分位数】と【イ 中央値】
修正前の \( 26 \; m \) のデータと修正後の \( 20 \; m \) のデータは，
どちらも中央値 \( 19 \; m \) よりも大きい値なので，第一四分位数と中央値の値は変わりません。
【ウ 第３四分位数】
箱ひげ図から，大きい方から９番目の値は \( 24 \; m \) であり，
ヒストグラムから，修正前の \( 24 \; m \) 以上の記録の人は９人なので，
大きい方から１０番目（上の図で●）のデータは \( 24 \; m \) 未満であったことがわかります。
ここから，修正後には \( 26 \; m \) のデータが１個なくなるので，
修正後の \( 24 \; m \) 以上の記録の人は８人になります。
つまり，修正前の大きい方から１０番目のデータまたは修正後の \( 20 \; m \) のデータが
第３四分位数になるので，第３四分位数の値は変わります。
【エ 四分位範囲】
四分位範囲は「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができます。
第３四分位数の値が変わり，第１四分位数の値は変わらないので，四分位範囲の値は変わります。
【オ 平均値】
平均値は，「すべてのデータの合計 \( \div \) データの個数」で求めることができます。
データの１つの値だけが変化するとき，すべてのデータの合計も変わります。
データの個数は変わらないので，平均値は変わります。
大問４
図１は，点 \( A，B，C，D，E，F，G，H \) を頂点とし，４つの側面がそれぞれ長方形である四角柱で，\( AB=5 \; cm，AD=4 \; cm，BF=6 \; cm， \)
\( FG=8 \; cm，∠ADC=∠BCD=90° \) である。
このとき，次の各問いに答えなさい。
（１） 辺 \( AD \) とねじれの位置にある辺を，次のア～オから２つ選び，記号で答えなさい。
ア 辺 \( AB \) イ 辺 \( BF \) ウ 辺 \( CD \) エ 辺 \( EF \) オ 辺 \( FG \)
平行なものを除いた辺の関係のことです。
【ア 辺 \( AB \)，ウ 辺 \( CD \) 】
辺 \( AD \) と交わるのでねじれの辺ではありません。
【オ 辺 \( FG \) 】
辺 \( AD \) と平行なのでねじれの辺ではありません。
（２） 辺 \( GH \) の長さを求めなさい。
\( EF=AB=5 \; cm，EH=AD=4 \; cm \) です。
点 \( E \) から、辺 \( FG \) に垂線をひき，
交点を \( I \) とすると，
\( ∠ADC=∠BCD=90° \) より，
\( EH//FG \) なので，
\( IG=EH=4 \; cm \) であり，
\( FI=FG-IG=4 \; cm \) です。
\( △EFI \) は斜辺が \( 4 \; cm \)，他の１辺が \( 4 \; cm \) の直角三角形，
つまり，３辺の比が \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，\( EI=3 \; cm \) であり，
\( EI//GH \) より，\( GH=EI=3 \; cm \)
（３） 図２は，２つの線分 \( EG，FH \) の交点を \( P \) とし，線分 \( BH \) 上に点 \( Q \) を，線分 \( BQ \) と線分 \( QH \) の長さの比が \( BQ：QH=2：3 \) となるようにとったものである。
１ \( △EFP \) の面積を求めなさい。
\( △PEH \) と \( △PGF \) において，
\( EH//FG \) より，錯角は等しいので，
\( ∠PEH=∠PGF，∠PHE=∠PFG \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △PEH \) ∽ \( △PGF \)
対応する辺の比は広しいので，
\( HP：FP=EH：FG=1：2 \)
\( △EFP \) と \( △EFH \) は高さが共通なので，
\( △EFP：△EFH=FP：FH=2：3 \)
\( △EFP=\dfrac{2}{3}△EFH \)
\( △EFH \) の面積は，
\( △EFH=4 \times 3 \times \dfrac{1}{2}=6 \; (cm^2) \)
なので，
\( △EFP=\dfrac{2}{3} \times 6=4 \; (cm^2) \)
２ 三角すい \( QEFP \) の体積を求めなさい。
点 \( Q \) から面 \( EFP \) に垂線をひき，
交点を \( R \) とすると，
\( QR \) は， \( △EFP \) を底面としたときの
高さであり，
点 \( R \) は線分 \( FH \) 上の点になります。
面 \( BFHD \) に注目すると，
\( △BFH \) と \( △QRH \) において，
仮定より，
\( ∠BFH=∠QRH=90° \)
\( ∠BHF=∠QHR \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △BFH \) ∽ \( △QRH \)
対応する辺の比は等しいので，\( BQ：QH=2：3 \) より，
\( BF：QR=(BQ+QH)：QH=5：3 \)
\( QR=\dfrac{3}{5}BF\)
\( =\dfrac{3}{5} \times 6 \)
\( =\dfrac{18}{5} \; (cm) \)
よって，三角すい \( QEFP \) の体積は，
\( 4 \times \dfrac{18}{5} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{24}{5} \; (cm^3) \)
大問５
右の図のように，関数 \( y=ax^2 \) ( \( a \) は定数) ･･･ ➀のグラフがある。
２点 \( A，B \) は関数➀のグラフ上にあり，\( A \) の座標は \( (8，8) \)，\( B \) の \( y \) 座標は \( 2 \) で，\( B \) の \( x \) 座標は負である。また，点 \( O \) は原点である。
このとき，次の各問いに答えなさい。
（１） \( a \) の値を求めなさい。
（２） 点 \( B \) の \( x \) 座標を求めなさい。
（３） 直線 \( AB \) の式を求めなさい。
（４） 関数➀のグラフ上において２点 \( O，A \) の間に点 \( P \) をとる。また，\( P \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と直線 \( AB \) との交点を \( Q \) とする。
\( PQ=\dfrac{5}{2} \) となるときの \( P \) の座標を求めなさい。
\( PQ=\dfrac{5}{2} \) となるときの \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
\( P \) の \( y \) 座標は \( \dfrac{1}{8}t^2 \)，
\( Q \) の \( y \) 座標は \( \dfrac{1}{2}t+4 \)，
と表すことができます。
このとき，\( PQ \) の長さは \( \dfrac{1}{2}t+4-\dfrac{1}{8}t^2 \) と表すことができるので，
\( \dfrac{1}{2}t+4-\dfrac{1}{8}t^2=\dfrac{5}{2} \)
\( 4t+32-t^2=20 \)
\( t^2-4t-12=0 \)
\( (t+2)(t-6)=0 \)
\( t=6 \)（ \( 0≦t≦8 \) より）
\( P \) の \( x \) 座標は \( 6 \) なので，\( y \) 座標は，
\( y=\dfrac{1}{8} \times 6^2=\dfrac{9}{2} \)
以上より，\( P \) の座標は \( P\left( 6，\dfrac{9}{2} \right) \)
大問６
次は，大輔さんと美咲さんが，数学の授業で先生と会話をしている場面である。会話文を読んで，あとの各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは,根号のついたままで答えること。
先生：今日は，コンピュータを使って図形の勉強をします。
では，次の課題について考えてみましょう。
図１は，\( ∠ACB=90° \) の直角三角形 \( ABC \) である。点 \( D \) は辺 \( BC \) 上にあり，２点 \( E，F \) はそれぞれ辺 \( AB \) 上，辺 \( AC \) 上にあって，四角形 \( EDCF \) は長方形である。また，点 \( G \) は辺 \( AC \) 上にあって，四角形 \( EDGA \) は平行四辺形である。
このとき，\( △AEF \) と \( △GDC \) はどんな関係にあるか調べなさい。
\( \phantom{ } \)
先生：点 \( D \) が辺 \( BC \) 上のどこにあるかによって，３点 \( E，F，G \) の位置が変わり，\( △AEF \) と
\( △GDC \) の大きさも変わります。\( D \) を \( BC \) 上で動かせるようにしたので，動かしてみてください。
大輔：先生，\( D \) の位置を変えてみたら，図２のように，線分 \( EF \) と線分 \( DG \) が交わりました。
美咲：\( BD>DC \) のとき，図１のように \( EF \) と \( DG \) は交わらず，\( BD<DC \) のとき，
図２のように \( EF \) と \( DG \) は交わるようです。
大輔：\( BD=DC \) のときは， \( F \) と \( G \) は同じ位置になりそうです。
先生：そうですね。それでは，課題にある，\( △AEF \) と \( △GDC \) はどんな関係にありますか。
美咲：\( D \) の位置に関係なく，\( △AEF \) と \( △GDC \) は合同になりそうです。
先生：その通りです。では，合同になることを証明してみましょう。
（１） 下線部について，\( △AEF≡△GDC \) であることを証明しなさい。
\( △AEF \) と \( △GDC \) において，
平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
\( AE=GD \) ･･･ ➀
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，
同位角は等しく，
\( ∠EAF=∠DGC \) ･･･ ➁
長方形の向かい合う辺は平行なので，
同位角は等しく，
\( ∠AFE=∠GCD=90° \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
斜辺と他の１鋭角が等しい直角三角形なので
\( △AEF≡△GDC \)
（２） 図２において，\( EF \) と \( DG \) の交点を \( H \) とする。\( AC=4 \; cm，BC=8 \; cm，BD=2 \; cm \) のとき，線分 \( GH \) の長さを求めなさい。
\( △ABC \) と \( △GDC \) において，
\( ∠BAC=∠DGC，∠C \) は共通
より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABC \) ∽ \( △GDC \)
\( BC=8 \; cm，BD=2 \; cm \) より，
\( DC=BC-BD=6 \; (cm) \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
\( AC：GC=BC：DC \)
\( 4：GC=8：6 \)
\( GC=3 \; (cm) \)
\( AC=4 \; cm \) より，
\( AG=AC-GD=1 \; (cm) \)
（１）より，\( △AEF≡△GDC \) なので，
対応する辺は等しく，
\( AF=GC=3 \; cm \)
であり，
\( GF=AF-AG=2 \; (cm) \)
\( △ABC \) ∽ \( △GHF \) でもあるので，
対応する辺の比は等しく，
\( AB：GH=AC：GF \)
三平方の定理より，
\( AB^2=8^2+4^2=80 \)
\( AB=4\sqrt{5} \; (cm) \)（ \( AB>0 \) より）
なので，
\( AB：GH=AC：GF \)
\( 4\sqrt{5}：GH=4：2 \)
\( GH=2\sqrt{5} \; (cm) \)
