徳島県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

\( -9 \)

\( 30 \)

\( 10a^2b \div 2a=\dfrac{10a^2b}{2a}=5ab \)

ここに \( a=3，b=2 \) を代入すると，
　\( 5ab=5 \times 3 \times 2=30 \)

９個

絶対値とは，\( +，- \) の符号をはずした数のことなので，
絶対値が \( 4 \) になる整数は \( (+)4 \) と \( -4 \) です。

絶対値が \( 4 \) 以下の整数ということは，絶対値が \( 0，1，2，3，4 \) の整数なので，
あてはまるのは，\( -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 \) の９個になります。

\( y=4x^2 \)

\( y \) が \( x \) の２乗に比例することを表す式は \( y=ax^2 \)（\( a \) は定数）になります。

この式に，\( x=-3，y=36 \) を代入すると，
　\( 36=a \times (-3)^2 \)
　\( 9a=36 \)
　 \( a=4 \)

よって，求める式は \( y=4x^2 \) になります。

\( 75 \) 個

標本調査では，
「母集団の中に含まれる不良品の割合」と「取り出したサンプルに含まれる不良品の割合」
は等しくなると考えられます。

\( 10000 \) 個の品物に含まれる不良品の個数を \( x \) 個とすると，
　\( 10000：x=400：3 \)
　　　 \( 400x=30000 \)
　　　　　\( x=75 \)（個）

十角形

多角形の１つの頂点から対角線をひくと，いくつかの三角形をくっつけた形に分けることができます。

このことから，\( n \) 角形は対角線により \( n-2 \) 個の三角形に分けることができるので，
\( n \) 角形の内角の和は \( 180(n-2)° \) で表すことができます。

\( n \) 角形の内角の和が \( 1440° \) の場合は，
　\( 180(n-2)=1440 \)
　　　　\( n-2=8 \)
　　　　　　\( n=10 \)
なので，十角形になります。

\( \dfrac{3}{2}≦y≦6 \)

イ，エ

ア ･･･ 箱ひげ図の情報からだけでは平均点を判断することはできません。

イ ･･･ 全部で \( 30 \) 人のデータを集計しているので，
　　　 中央値は得点の低い方から１５番目と１６番目の平均値になります。
　　　 箱ひげ図から，中央値は \( 5.5 \) 点で，得点は整数であることから，
　　　 １５番目の値は \( 5 \) 点以下，１６番目の値は \( 6 \) 点以上です。
　　　 よって，数学が \( 5 \) 点以下の生徒は \( 15 \) 人になっています。

ウ ･･･ 範囲の大きさは箱ひげ図全体の長さ，四分位範囲の大きさは箱の長さで判断することができます。

　　　 箱ひげ図全体の長さ，箱の長さともに数学の方が長いので，
　　　 範囲，四分位範囲ともに数学の方が大きくなっています。

エ ･･･ 全部で \( 30 \) 人のデータを集計しているので，
　　　 第３四分位数は得点の高い方から８番目の値になります。
　　　 国語の第３四分位数は \( 7 \) 点なので，\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，\( \color{blue}{7} \) 人以下です。
　　　 数学の第３四分位数は \( 8 \) 点なので，\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，\( \color{red}{8} \) 人以上です。
　　　 よって，\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，国語より数学の方が多いといえます。

\( n=40 \)

\( \sqrt{90n} \) の値が自然数となるのは，\( 90n=k^2 \)（ \( k \) は整数）で表すことができるときです。

\( 90n \) を素因数分解すると \( 3^2 \times 2 \times 5 \times n \) なので，
\( 90n=k^2 \) で表すことができる最も小さい自然数 \( n \) は，\( n=10 \) です。
　\( 90 \times 10=3^2 \times 2^2 \times 5^2=30^2 \)
次に \( 90n=k^2 \) で表すことができるのは，\( n=40=10 \times 2^2 \) のときです。
　\( 90 \times 40=3^2 \times 2^4 \times 5^2=60^2 \)

\( BE=\dfrac{12}{7} \; cm \)

\( AE：EC=4：3，AF=FE \) より \( AF：FE：EC=2：2：3 \) なので，
　\( CE：CF=3：5 \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( BE：PF=CE：CF=3：5 \)

\( BE=x \; cm \) とすると，\( DF=\dfrac{x}{2} \; cm \) と表せるので，
　　　\( BE：PF=3：5 \)
　\( x：\left( 2+\dfrac{x}{2} \right)=3：5 \)
　　　　　　 \( 5x=6+\dfrac{3}{2}x \)
　　　　　　\( 10x=12+3x \)
　　　　　　　\( x=\dfrac{12}{7} \; (cm) \)

\( 2 \) エクササイズ

\( 20 \) 分を時間に換算すると \( \dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3} \) 時間なので，
バスケットボール（\( 6 \) メッツ）を \( \dfrac{1}{3} \) 時間行ったときの身体活動量は
　\( 6 \times \dfrac{1}{3}=2 \)（エクササイズ）

卓球 ･･･ \( 30 \) 分間
なわとび ･･･ \( 15 \) 分間

卓球を \( x \) 時間，なわとびを \( y \) 時間行うとすると，
\( 45 \) 分を時間に換算すると \( \dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4} \) 時間なので，
　\( x+y=\dfrac{3}{4} \) ･･･ ➀
卓球の強度は \( 4 \) メッツ，なわとびの強度は \( 12 \) メッツなので，
合計の身体活動量は，
　\( 4x+12y=5 \) ･･･ ➁
➀➁を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=\dfrac{3}{4} \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
4x+12y=5 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 4 \) すると，
　\( 4x+4y=3 \) ･･･ ➀’
➁ \( – \) ➀’ すると，
　\( 8y=2 \)
　 \( y=\dfrac{1}{4} \)
➀ に代入すると，
　\( x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \)
　　　 \( x=\dfrac{1}{2} \)
よって，卓球を \( \dfrac{1}{2} \) 時間，なわとびを \( \dfrac{1}{4} \) 時間行えばよいことになります。
これを分表記に換算すると，
卓球を行う時間は \( \dfrac{1}{2} \times 60=30 \) 分
なわとびを行う時間は \( \dfrac{1}{4} \times 60=15 \) 分
になります。

\( 2.9 \) エクササイズ

【身体活動の強度表】から，早歩きの強度は \( 4 \) メッツ，ランニングの強度は \( 8.5 \) メッツなので，
早歩きを行った時間とランニングを行った時間がわかれば，身体活動量を求めることができます。

池のまわりの距離は変わらないので，ランニングの速さは，早歩きの速さの \( 1.5 \) 倍であったことから，
早歩きを行った時間はランニングを行った時間の \( 1.5 \) 倍であり，比で表すと，\( 3：2 \) になります。

早歩きを行った時間とランニングを行った時間の合計が \( 30 \) 分なので，
早歩きを行った時間は，\( 30 \times \dfrac{3}{5}=18 \) 分，つまり，\( \dfrac{18}{60}=\dfrac{3}{10} \) 時間
ランニングを行った時間は，\( 30 \times \dfrac{2}{5}=12 \) 分，つまり，\( \dfrac{12}{60}=\dfrac{1}{5} \) 時間
です。

ここから，合計の身体活動量は，
　\( 4 \times \dfrac{3}{10}+8.5 \times \dfrac{1}{5}=1.2+1.7=2.9 \)（エクササイズ）
になります。

（　ア　）･･･ \( 8 \)
（　イ　）･･･ \( 13 \)

（　ア　）
１つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( A \)
２つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( B \)
とすると，表より，最も多くのＬＥＤが点灯するのは，\( (A，B)=(7，7) \) となるときで，
２つの数字の組み合わせは「８８」になりますが，\( 88 \) 秒はないので，あてはまりません。

次に多くのＬＥＤが点灯するのは，\( (A，B)=(6，7)，(7，6) \) となるときで，
\( (A，B)=(6，7) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「０８，６８，９８」ですが，\( 68 \) 秒，\( 98 \) 秒はないので，あてはまるのは \( 8 \) 秒のときです。
\( (A，B)=(7，6) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「８０，８６，８９」ですが，\( 80 \) 秒，\( 86 \) 秒，\( 89 \) 秒はないので，どれもあてはまりません。

よって，最も多くのＬＥＤが同時に点灯するのは \( 8 \) 秒のときになります。

（　イ　）
１つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( A \)
２つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( B \)
とすると，表より \( 2≤A≤7，2≤B≤7 \) であることから，
\( A+B=10 \) となる \( A，B \) の組み合わせは，
　\( (A，B)=(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，(7，3) \)
の５通りです。

\( (A，B)=(3，7) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「７８」ですが，\( 78 \) 秒はないのであてはまりません。
\( (A，B)=(4，6) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「４０，４６，４９」の３通り。
\( (A，B)=(5，5) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「２２，２３，２５，３２，３３，３５，５２，５３，５５」の９通り。
\( (A，B)=(6，4) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「０４，６４，９４」ですが，\( 64 \) 秒，\( 94 \) 秒はないので，あてはまるのは「０４」の１通り。
\( (A，B)=(7，3) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「８７」ですが，\( 87 \) 秒はないのであてはまりません。

よって，１０個のＬＥＤが同時に点灯するのは，\( 1 \) 分間に \( 13 \) 回になります。

（　ウ　） ･･･ \( 90 \)
　 エ 　 ･･･ \( 6x-(90+0.5x) \)

午後３時の長針と短針の位置が異なるので，
０時（または０分）の位置を基準（仮に「基準の位置」と呼びます）にして，
午後３時 \( x \) 分に長針と短針が基準の位置からどれだけ回転した位置にあるかを考えます。

よって，長針と短針のつくる角度を \( x \) についての方程式で表すと，
　\( 6x-(90+0.5x)=130 \)
となります。

直線 \( OE \) と円 \( O \) の交点が求める点 \( P \) になります。

長針は \( 1 \) 分間に \( 6° \) ずつ動くので，\( 5 \) 分で \( 30° \) 回転します。
つまり，線分 \( OP \) は線分 \( OA \) を時計回りに \( 30° \) 回転させたものになります。

点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 6 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 6^2=18 \)
であり，点 \( B \) の座標は，\( B(6，18) \) です。

直線 \( OB \) の傾きを \( m \) とすると，
　\( m=\dfrac{18-0}{6-0}=3 \)

よって，直線 \( OB \) の式は \( y=3x \) になります。

\( \left( 5，-\dfrac{25}{2} \right) \)

３倍

四角形 \( OQBP \) を \( △OQP \) と \( △BQP \) に分けると，
\( △AQP \) を含む３つの三角形はすべて線分 \( PQ \) を辺にもつので，
線分 \( PQ \) を底辺と考えると，高さの比が面積の比と等しくなります。

ここから，四角形 \( OQBP \) と \( △AQP \) の面積比は，
　四角形 \( OQBP： △AQP=(14+4)：6=3：1 \)

よって，四角形 \( OQBP \) の面積は \( △AQP \) の面積の３倍になります。

\( 2 \)

点 \( Q \) から \( x \) 軸に垂線をひいた交点を \( E \)，
点 \( A \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と線分 \( QE \) との交点を \( F \) とすると，
\( △QAF \) と \( △QCE \) は，点 \( A \) が線分 \( CQ \) の中点であることから，
\( △QAF \) ∽ \( △QCE \) ，相似比は \( 1：2 \) になっています。

点 \( Q \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
線分 \( AF \) の長さは \( t+4 \) と表すことができるので，
線分 \( CE \) の長さは \( 2AF=2t+8 \) と表すことができます。
また，点 \( A \) の \( y \) 座標が \( 8 \) であることから，\( EF=8 \) であり，
相似比は \( 1：2 \) より，\( QF=8 \) になっています。
ここから，２点 \( P，Q \) の \( y \) 座標の値は \( 16 \) になります。

また，点 \( P \) から \( x \) 軸に垂線をひいた交点を \( G \) とすると，，
点 \( P \) の \( x \) 座標は \( -t \) と表せるので，\( PQ=2t \) と表すことができます。
このとき，\( CE=2t+8，GE=PQ=2t \) より，\( CG=8 \) になっています。

以上より，直線 \( CP \) の傾きは，
　傾き \( =\dfrac{16}{8}=2 \)

　　　　

\( △BCH，△ABH，△CDH，△ADH \) はすべて合同で，面積は等しいので，
正方形 \( ABCD \) の面積の \( \dfrac{1}{4} \) になります。

よって，
　\( △BCH=\dfrac{1}{4} \times 2 \times 2=1 \; (cm^2) \)

\( \sqrt{2} \; cm \)

\( △ABC \) は \( AB=BC=2 \; cm \) の直角二等辺三角形なので，
　\( AC=2\sqrt{2} \; cm \)

\( △OAC \) は \( OA=OC=2 \; cm，AC=2\sqrt{2} \; cm \) なので，
\( ∠AOC=90° \) の直角二等辺三角形になっています。

\( ∠AOC \) は，３点 \( O，A，C \) を通る円の円周角なので，
\( ∠AOC=90° \) より，線分 \( AC \) は，この円の直径になります。

よって，この円の半径は，
　\( \dfrac{1}{2}AC=\sqrt{2} \; (cm) \)

\( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \; cm \)