和歌山県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

\( -6 \)

\( \dfrac{2}{3} \)

\( =\dfrac{7}{3}+2 \times \left( -\dfrac{5}{6} \right) \)
\( =\dfrac{7}{3}+ \left( -\dfrac{5}{3} \right) \)
\( =\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{3} \)
\( =\dfrac{2}{3} \)

\( 4a+3b \)

\( =6a-2b-2a+5b \)
\( =4a+3b \)

\( 2\sqrt{2} \)

\( =5\sqrt{2}-\dfrac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( =5\sqrt{2}-3\sqrt{2} \)
\( =2\sqrt{2} \)

\( 2a^2-8a+7 \)

\( =(a^2-9)+(a^2-8a+16) \)
\( =2a^2-8a+7 \)

\( x=1，-6 \)

\( (x-1)(x+6)=0 \)
　　　　　　　\( x=1，-6 \)

ウ，オ

無理数とは，\( \dfrac{整数}{整数} \) の形の分数で表せないものまたは小数で表したときに同じ数の並びを繰り返さない
（循環小数ではない）もののことです。

ア，イ，エは，\( \dfrac{整数}{整数} \) の形の分数で表すことができるので無理数ではありません。

　ア　\( -0.2=-\dfrac{2}{10}=-\dfrac{1}{5} \)
　イ　\( \dfrac{1}{3} \)
　エ　\( -\sqrt{16}=-4=-\dfrac{4}{1} \)

\( y=-9 \)

\( y \) が \( x \) に比例するとき，\( y=ax \)（ \( a \) は定数）の形の式で表すことができます。

\( y=ax \) に \( x=4，y=6 \) を代入すると，
　\( 6=4a \)
　\( a=\dfrac{3}{2} \)
なので，この関係を表す式は \( y=\dfrac{3}{2}x \) になります。

ここに \( x=-6 \) を代入すると，
　\( y=\dfrac{3}{2} \times (-6)=-9 \)

垂直二等分線

手順のとおりに作図すると，下の図のようになり，
２つの円の半径が等しいことから，四角形 \( ADBC \) はひし形になります。

ひし形の対角線はそれぞれの中点で垂直に交わるので，
直線 \( CD \) は，線分 \( AB \) の垂直二等分線になっています。

およそ \( 720 \) 人

標本調査では，
母集団に含まれる調査対象の割合（比率）と標本に含まれる調査対象の割合（比率）は等しい
と考えることができます。

求める１５歳以上２０歳未満の人数を \( x \) 人とすると，
母集団（\( 2500 \) 人）に含まれる１５歳以上２０歳未満の人数（\( x \) 人）の割合と
標本（\( 125 \) 人）に含まれる１５歳以上２０歳未満の人数（\( 36 \) 人）の割合は等しいので，
　\( 2500：x=125：36 \)
　　 \( 125x=2500 \times 36 \)
　　　　 \( x=20 \times 36=720 \)（人）

\( \left\{ \begin{array}{}
2x+3y=12400 \\
3x+y=12300 \\
\end{array} \right.  \)

おとな \( 1 \) 人の入園料･･･ \( 3500 \) 円
中学生 \( 1 \) 人の入園料･･･ \( 1800 \) 円

おとな \( 3 \) 人と中学生 \( 1 \) 人の入園料
おとな \( 2 \) 人の入園料は \( 2x \) 円，中学生 \( 3 \) 人の入園料は \( 3y \) 円
と表すことができ，これらの合計が \( 12400 \) 円なので，
　\( 2x+3y=12400 \) ･･･ ➀

おとな \( 2 \) 人と中学生 \( 3 \) 人の入園料
おとな \( 3 \) 人の入園料は \( 3x \) 円，中学生 \( 1 \) 人の入園料は \( y \) 円
と表すことができ，これらの合計が \( 12300 \) 円なので，
　\( 3x+y=12300 \) ･･･ ➁

➀➁を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
2x+3y=12400 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3x+y=12300 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁ \( \times 3 \) すると，
　\( 9x+3y=36900 \) ･･･ ➁’
➁’ \( – \) ➀すると，
　\( 7x=24500 \)
　 \( x=3500 \)（円）
➁に代入すると，
　\( 3 \times 3500+y=12300 \)
　　 \( 10500+y=12300 \)
　　　　　　　\( y=1800 \)（円）

　ア　 ･･･ \( 2n+2 \)
　イ　 ･･･ \( 2n+4 \)
　ウ　 ･･･ \( 2n+6 \)

整数は， 偶数，奇数，偶数，奇数 ･･･ と，偶数と奇数が順番に繰り返しているので，
偶数だけを考えると，\( 2，4，6，8，･･･ \) と \( 2 \) ずつ増えていきます。

よって， 最も小さい偶数を \( 2n \) とすると，連続する４つの偶数は，
小さい順に \( 2n \)，\( 2n+2 \)，\( 2n+4 \)，\( 2n+6 \) と表されます。

連続する４つの奇数のうち，最も小さい奇数を \( 2n+1 \) とすると，連続する４つの奇数は，
小さい順に \( 2n+1 \)，\( 2n+3 \)，\( 2n+5 \)，\( 2n+7 \) と表される。
このとき，４つの奇数の和は，
　\( (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16=8(n+2) \)
と表すことができる。
\( n \) が整数であるとき，\( n+2 \) も整数なので，
\( 8(n+2) \) は \( 8 \) の倍数である。
したがって，連続する４つの奇数の和は \( 8 \) の倍数になる。

\( 72\pi{} \; cm^2 \)

できた立体は，半径が \( 6 \; cm \) の球を \( \dfrac{1}{4} \) だけ切り取ったもので，
曲面１つと半円状の平面２つからできています。

曲面部分の面積
半径が \( 6 \; cm \) の球の表面積の \( \dfrac{1}{4} \) なので，
　\( 4\pi{} \times 6^2 \times \dfrac{1}{4}=36\pi{} \; (cm^2) \)

平面部分の面積
半径が \( 6 \; cm \) の円を半分にした平面が２つあるということは，
２つ合わせると半径が \( 6 \; cm \) の円になるので，
　\( \pi{} \times 6^2=36\pi{} \; (cm^2) \)

よって，求める立体の表面積は，
　\( 36\pi{}+36\pi{}=72\pi{} \; (cm^2) \)

\( \dfrac{5}{12} \)

（Ⅰ） ･･･ イ
（Ⅱ） ･･･ ア
（Ⅲ） ･･･ ウ

（Ⅰ） ･･･ 第３分位数は，箱の右端の部分の値なので，Ａ農園の第３四分位数は \( 90 \; g \) であり，
　　　　　 正しくありません。

（Ⅱ） ･･･ データの範囲は，【 最大値 \( – \) 最小値 】で求めることができます。
　　　　　　 Ａ農園の範囲は，\( 100-60=40 \; (g) \)
　　　　　　 Ｂ農園の範囲は，\( 95-50=45 \; (g) \)
　　　　　 であり，Ｂ農園の方が大きいので正しい。

（Ⅲ） ･･･ Ｂ農園ではみかんを \( 200 \) 個収穫したので，
　　　　　 第一四分位数（\( 55 \; g \)）は，小さい方から \( 50 \) 番目と \( 51 \) 番目の重さの平均値
　　　　　 中央値（\( 63 \; g \) ）は，小さい方から \( 100 \) 番目と \( 101 \) 番目の重さの平均値
　　　　　 になっています。
　　　　　 ここから，
　　　　　 小さい方から \( 51 \) 番目の重さは \( 55 \; g \) 以上，\( 100 \) 番目の重さは \( 63 \; g \) 以下
　　　　　 であることがわかります。
　　　　　 ただし，\( 51～100 \) 番目の重さについては，\( 55 \; g \) 以上 \( 63 \; g \) 以下であること
　　　　　 しかわかりません。
　　　　　 よって，重さが \( 60 \; g \) 以下のみかんの個数は \( 50 \) 個以上 \( 100 \) 個以下であった
　　　　　 としか言えません。

ア，ウ

ア ･･･ 絶対値が \( t \) である数について，
　　　 \( x \) 座標を \( t \) とするとき，\( y \) 座標の値は，\( \dfrac{1}{3}t^2 \) と表すことができます。
　　　 \( x \) 座標の正負を入れ替えた \( -t \) とするとき，\( y \) 座標の値は，\( \dfrac{1}{3}t^2 \) と表すことができます。
　　　 つまり，\( x \) 座標の絶対値が等しいとき，\( y \) 座標の値は等しくなるので，
　　　 この関数のグラフは，\( y \) 軸を対称の軸として，線対称であるといえます。

イ ･･･ 変化の割合とは，グラフ上の任意の２点を直線で結んだときの傾きのことです。
　　　 例として，\( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) 上の３点 \( \left( 1，\dfrac{1}{3} \right) \)，\( \left( 2，\dfrac{4}{3} \right) \)，\( (3，3) \) について考えると，
　　　 ２点 \( \left( 1，\dfrac{1}{3} \right) \)，\( \left( 2，\dfrac{4}{3} \right) \) 間の変化の割合は，
　　　　 \( \dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}}{2-1}=1 \)
　　　 ３点 \( \left( 2，\dfrac{4}{3} \right) \)，\( (3，3) \) 間の変化の割合は，
　　　　 \( \dfrac{3-\dfrac{4}{3}}{3-2}=\dfrac{5}{3} \)
　　　 なので，一定ではありません。

ウ ･･･ \( x>0 \) の範囲で，\( x \) の値が増加すると，\( x^2 \) の値も大きくなるので，
　　　 \( x \) の値が増加すると，\( y \) の値 \( \left( \dfrac{1}{3}x^2 \right) \) は増加します。

\( (4，0)，(-4，0) \)

「すべて求めなさい」となっているので，２つ以上の答えがある（可能性が高い）ことに気をつけます。
この場合は，\( P \) の \( x \) 座標が正の場合と負の場合の２つあります。

直線 \( BC \) は，２点 \( B(3，9a)，C(-4，16a) \) を通り，
傾きが \( 1 \) であることから，
　\( \dfrac{9a-16a}{3-(-4)}=1 \)
　　　 \( \dfrac{-7a}{7}=1 \)
　　　　　 \( a=-1 \)

「\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点」と条件があるので，
まず，\( x \) の取り得る値について考えると，
➀➁のグラフはどちらも原点を通っていて，点 \( A \) の \( x \) 座標が \( 3 \) なので，
\( x \) の取り得る値は \( 0，1，2，3 \) の４つに限定されます。

ここから，\( x \) 座標が \( 0，1，2，3 \) それぞれの場合において
\( y \) 座標の取り得る値を考えていきます。

\( x \) 座標が \( 2 \) の場合
➀のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 2^2=\dfrac{4}{3} \)
➁のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=-\dfrac{1}{4} \times 2^2=-1 \)
なので，斜線の部分が含まれる \( y \) 座標の範囲は，
　\( -1≦y≦\dfrac{4}{3} \)
この中で整数は，\( -1，0，1 \) なので，
\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点は，
\( (2，-1)，(2，0)，(2，1) \) の３個。

\( x \) 座標が \( 3 \) の場合
➀のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 3^2=3 \)
➁のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=-\dfrac{1}{4} \times 3^2=-\dfrac{9}{4} \)
なので，斜線の部分が含まれる \( y \) 座標の範囲は，
　\( -\dfrac{9}{4}≦y≦3 \)
この中で整数は，\( -2，-1，0，1，2，3 \) なので，
\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点は，
\( (3，-2)，(3，-1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3) \) の６個。

以上より，\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点は，全部で１１個。

まず，与えられた条件からわかることを整理します。

以上，\( 30°，60°，90° \) の直角三角形と直角二等辺三角形ができていることから，
以下，これらの辺の比を利用して線分 \( CF \) の長さを求められないか考えます。

線分 \( CF \) の長さを求める
線分 \( CF \) を \( CO+OF \) と考えると，\( CO=DO=3+\sqrt{3} \; cm \) なので，
　\( CF=CO+OF \)
　　　\( =(3+\sqrt{3})+(1+\sqrt{3}) \)
　　　\( =4+2\sqrt{3} \; (cm) \)