大問１
（１） 次の１～３の計算をしなさい。
１ \( 3 \times (-4) \)
２ \( (2a+5b)-(-a+b) \)
３ \( \sqrt{18}-\sqrt{2} \)
（２） \( (x-3y)^2 \) を展開しなさい。
（３） １本の値段が \( a \) 円のボールペンを \( 5 \) 本と，１個の値段が \( b \) 円の修正テープを \( 3 \) 個買ったところ，合計金額がちょうど \( 2000 \) 円であった。この関係を，等式で表しなさい。
（４） 右の図の四角形において，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
図の \( ∠x \) の部分の外角は，
\( 360°-(105°+50°+95°)=110° \)
よって，\( ∠x \) の大きさは，
\( ∠x=180°-110°=70° \)
ｓ
（５） 右の図のア～エの放物線は，関数 \( y=-x^2 \)，
\( y=-\dfrac{1}{2}x^2，y=\dfrac{1}{4}x^2，y=x^2 \) のいずれかのグラフである。関数 \( y=-x^2 \) のグラフを図のア～エから選び,記号で答えなさい。
関数 \( y=ax^2 \) のグラフにおいて，
定数 \( \color{red}{a>0} \) のとき，グラフは上に開いた形，
定数 \( \color{blue}{a<0} \) のとき，グラフは下に開いた形
になります。
\( y=-x^2 \) のグラフは，
定数が \( -1 \) で \( 0 \) より小さいので，
あてはまるグラフは，ウ または エ です。
関数 \( y=ax^2 \) のグラフにおいて，
定数 \( a \) の絶対値が大きくなるほどグラフの開き具合は小さくなります。
例として，\( y=-\dfrac{1}{2}x^2，y=x^2，y=2x^2 \) のグラフを書いてみると右のようになります。
（定数が負の値でも関係は同じです）
４つの関数 \( y=-x^2，y=-\dfrac{1}{2}x^2，y=\dfrac{1}{4}x^2，y=x^2 \) のうち，
定数が \( 0 \) より小さいのは，\( y=-x^2，y=-\dfrac{1}{2}x^2 \) の２つであり，
\( y=-x^2 \) の方が定数の絶対値が大きいので，
あてはまるグラフは，開き具合が小さい ウ になります。
（６） 次の【ことがら】は，いつでも成り立つとは限らない。この【ことがら】の反例となる，\( ∠B \) の大きさと \( ∠C \) の大きさの組み合わせを，１組あげなさい。
三角形 \( ABC \) において，\( ∠A=60° \) ならば，この三角形 \( ABC \) は正三角形である。
（７） 右の表は,あるクラスの生徒全員の１日当たりの学習時間について，最小の階級からの累積相対度数を示したものである。次のア～エのうち，この表から正しいと判断できるものをすべて選び，記号で答えなさい。
ア １日当たりの学習時間が \( 60 \) 分未満の生徒数は，このクラス全体の２割を超えている。
イ １日当たりの学習時間が \( 90 \) 分以上の生徒数は，このクラス全体の半数を超えている。
ウ このクラスの中で１日当たりの学習時間が最も長い生徒は，\( 120 \) 分以上 \( 150 \) 分未満の階級にいる。
エ 生徒数が最も多い階級は，\( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級である。
すべての階級の度数の合計に対するその階級以下の度数の割合を表しています。
この問題では，\( 30 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級の累積相対度数 \( 0.23 \) が
クラスの生徒全員の人数に対する，学習時間が \( 60 \) 分未満の生徒数の割合を表しています。
よって，この割合は２割（\( =0.20 \)）より大きいので，正しい。
イ ･･･ アと同様に考えると，\( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級の累積相対度数 \( 0.56 \) は，
半数（\( =0.50 \)）より大きいので，学習時間が \( \color{blue}{90} \) 分未満の生徒が半数以上いるとわかります。
よって，学習時間が \( \color{red}{90} \) 分以上の生徒は半数以下なので，正しくありません。
ウ ･･･ 各階級の相対度数を下の表のように \( a～f \) とすると，
\( 120 \) 分以上 \( 150 \) 分未満の階級の累積相対度数は，\( a+b+c+d+e \; (=0,92) \)
\( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の累積相対度数は，\( a+b+c+d+e+f \; (=1.00) \)
で表されるので，\( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の相対度数（\( f \)）は，
\( a+b+c+d+e+f=1.00 \)
\( 0.92+f=1.00 \)
\( f=1.00-0.92=0,08 \)
であることがわかります。
学習時間が最も長い生徒が，\( 120 \) 分以上 \( 150 \) 分未満の階級にいるとすると，
\( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の度数（生徒数）は \( 0 \) になるので，
相対度数も \( 0 \) になるはずです。
しかし，\( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の相対度数が \( 0 \) ではない，
つまり，度数も \( 0 \) ではないので，学習時間が\( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の生徒が
いるということであり，正しくありません。
エ ･･･ ウと同様の考え方で，各階級の相対度数を求めると，
\( 30 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.23-0.08=0.15 \)
\( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.56-0.23=0.33 \)
\( 90 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.74-0.56=0.18 \)
\( 120 \) 分以上 \( 150 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.92-0.74=0.18 \)
\( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 1.00-0.92=0,08 \)
であり，相対度数は，
【相対度数=その階級の度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計】
で求められることから，度数が大きいほど相対度数も大きくなるので，
相対度数が最も大きい \( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級の度数（生徒数）が最も多いので正しい。
（８） 次の図において，星型の図形 \( ABCDE \) の３つの頂点 \( A，B，C \) からの距離が等しい点は，この平面上に色を分けて示したア～キのうちどの部分にあるか，コンパスと定規を用いて作図して確かめ，記号で答えなさい。
ただし，キは，ア～カ以外の部分を示すものとする。
（９） 次の図のように，Ａの袋には，２，３，５，６，８が書かれた５枚のカードを入れ，Ｂの袋には，１，４，７，９が書かれた４枚のカードを入れる。それぞれの袋の中をよくかき混ぜた後，それぞれの袋から１枚ずつカードを取り出して，カードに書かれた数を比べる。このとき，Ａの袋から取り出したカードの数の方が大きくなる確率を求めなさい。
Ａの袋から取り出したカードの数の方が大きくなる組み合わせのところに 〇 をつけます。
すべての組み合わせは２０通り，Ａの袋から取り出したカードの数の方が大きくなる組み合わせは
９通りなので，求める確率は \( \dfrac{9}{20} \) になります。
大問２
１辺が \( 12 \; m \) の正方形でできた区画がある。この正方形の内部に，辺と平行な線分を縦と横に２本ずつ引いて区画を分け，右の図の色を付けた部分のように，区画の四隅に４つの合同な正方形Ａと，区画の中央に１つの正方形Ｂができるようにする。色を付けた５つの正方形の部分に花を植えて，花壇を作ることにした。次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） 正方形Ａ，正方形Ｂについて，それぞれの１辺の長さがとりうる値の範囲として最も適切なものを，次のア～エからそれぞれ選び，記号で答えなさい。
ア \( 0 \; m \) より大きく，\( 3 \; m \) より小さい。
イ \( 0 \; m \) より大きく，\( 4 \; m \) より小さい。
ウ \( 0 \; m \) より大きく，\( 6 \; m \) より小さい。
エ \( 0 \; m \) より大きく，\( 12 \; m \) より小さい。
正方形Ａの１辺の長さを短くしていくほど正方形Ｂの１辺の長さは長くなります。
正方形Ａの１辺の長さ
正方形Ａの１辺の長さを最も長くできるのは，
正方形Ｂができないようにしたとき，
つまり，４つの正方形Ａで１辺が \( 12 \; m \) の
正方形を埋めたときであり，
このときの正方形Ａの１辺の長さは，
\( 12 \; m \) の半分なので \( 6 \; m \) になります。
ただし，正方形Ａの１辺の長さを \( 6 \; m \) にすると，
「区画の中央に１つの正方形Ｂができるようにする」
の条件を満たさないので，正方形Ａの１辺の長さは
「\( 0 \; m \) より大きく，\( 6 \; m \) より小さい」
になります。
\( \phantom{} \)
正方形Ｂの１辺の長さ
正方形Ｂの１辺の長さを最も長くできるのは，
正方形Ａができないようにしたとき，
つまり，正方形Ｂで１辺が \( 12 \; m \) の正方形を
埋めたときであり，
このときの正方形Ｂの１辺の長さは，
\( 12 \; m \) になります。
ただし，正方形Ｂの１辺の長さを \( 12 \; m \) にすると，
「区画の四隅に４つの合同な正方形Ａができるようにする」
の条件を満たさないので，正方形Ｂの１辺の長さは
「\( 0 \; m \) より大きく，\( 12 \; m \) より小さい」
になります。
\( \phantom{} \)
（２） 花を植える部分の面積が，区画全体の面積のちょうど半分となるような花壇を作りたい。そのためには，正方形Ａまたは正方形Ｂのうち，どちらか一方の大きさが分かればよい。そこで，次の【方針】で示されたア，イのどちらかを選び，選んだ方針にしたがって，正方形Ａの１辺の長さまたは正方形Ｂの１辺の長さのどちらか一方を求めなさい。
ただし，解答用紙では，あなたが選んだ【方針】の記号を〇で囲み，（解）には答えを求める過程を書くこと。
ア 四隅の正方形Ａの１辺の長さを \( x \; m \) として，正方形Ａの１辺の長さを求める。
イ 四隅の正方形Ｂの１辺の長さを \( x \; m \) として，正方形Ｂの１辺の長さを求める。
大問３
こずえさんと隆和さんたちは，数学の授業で，円周上の点を結んでできる図形の性質について，コンピュータを使って考えている。次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） ２点 \( A，B \) を直径の両端とする円 \( O \) の周上において，点 \( C \) と点 \( D \) を直線 \( AB \) の同じ側にとり，点 \( D \) を固定したまま,【画面Ⅰ】や【画面Ⅱ】のように，点 \( B \) を含まない弧 \( AD \) 上で点 \( C \) の位置を変えながら，角度について調べた。
こずえさんは，点 \( C \) の位置を変えても \( ∠CAD=∠CBD \) となっていることに気付き，これがいつでも成り立つ理由を，次のように説明した。
こずえさんの説明が正しい説明となるように， ア には当てはまる記号を， イ には当てはまることばを，それぞれ入れなさい。
この図形では，\( ∠CAD \) と \( ∠CBD \) はどちらも，弧 ア に対する円周角です。円周角の定理によって，１つの弧に対する イ といえるので，点 \( C \) の位置を変えても \( ∠CAD=∠CBD \) が成り立ちます。
（２） （１）と同様に，\( AB \) を直径とする円 \( O \) の周上において，点 \( C \) と点 \( D \) を直線 \( AB \) の同じ側にとり，直線 \( AC \) と直線 \( BD \) の交点を \( E \)，弦 \( AD \) と弦 \( BC \) の交点を \( F \) とした。点 \( C \) を \( AC=BC \) となる位置に固定したまま，【画面Ⅲ】や【画面Ⅳ】のように，点 \( A \) を含まない弧 \( BC \) 上で点 \( D \) の位置を変えながら線分の長さについて調べたところ，隆和さんは，点 \( D \) の位置を変えても \( AF=BE \) となっていることに気付き，これがいつでも成り立つことを証明することにした。
右の図は，【画面Ⅲ】や【画面Ⅳ】と同様の図を示したものである。線分 \( AB \) は円 \( O \) の直径であり，\( AC=BC \) となっている。隆和さんは，この図において \( AF=BE \) が成り立つことを証明するために，次のように〈証明の見通し〉を立てた。後の ①，② の問いに答えなさい。
「\( △ \) ウ と \( △ \) エ が オ である。」ということを示してから，「 オ な三角形の対応する辺は等しい」ことを使えば，\( AF=BE \) が成り立つことが証明できます。
① この〈証明の見通し〉が正しい証明につながるように， ウ ， エ には当てはまる記号を， オ には当てはまることばを，それぞれ入れなさい。
② この〈証明の見通し〉にもとづいて，\( AF=BE \) が成り立つことを証明しなさい。
\( △ACF \) と \( △BCE \) において，
仮定より
\( AC=BC \) ･･･ ➀
弧 \( CD \) に対する円周角なので，
\( ∠CAF=∠CBE \) ･･･ ➁
直径 \( AB \) に対する円周角なので，
\( ∠ACF=90° \) ･･･ ➂
また，３点 \( A，C，E \) は一直線上にあるので，
\( ∠BCE=180°-∠ACF=90° \) ･･･ ➃
➂➃より，
\( ∠ACF=∠BCE=90° \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACF≡△BCE \)
合同な三角形の対応する辺は等しいので，
\( AF=BE \)
大問４
亜衣さんは，あるラーメン店で職場体験を行うことになった。次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） 亜衣さんは，インターネットを使って事前学習をしていたところ，この店の壁に貼られた図Ⅰのポスターを見つけた。ポスターを見て，つけ麺がメニューにあることは分かったが，一部が隠れていたため，大盛りのときの麺の重さを知ることはできなかった。そこで亜衣さんは，麺の重さと値段の関係をもとに，大盛りの麺の重さについて次のように考えた。後の ①，② の問いに答えなさい。
並盛りと大盛りは，それぞれの麺の重さに比例するように値段が設定されているのではないかと考えました。そこで，麺の重さを \( x \; g \)，値段を \( y \) 円としたときに，\( y=ax \) の関係が成り立つものとして，大盛りの麺の重さを考えることにします。
➀ 亜衣さんの考え【ア】にもとづいて，麺の重さ \( x \; g \) と値段 \( y \) 円の関係を表す式 \( y=ax \) における \( a \) の値を求めなさい。
➁ 亜衣さんの考え【ア】にもとづいて，大盛りの麺の重さを求めなさい。
（２） 職場体験を始めた亜衣さんは，事前学習で見つけたポスターを店内で改めて見たところ，図Ⅱのように書かれていることが分かった。
その後,亜衣さんは，職場体験の中で，この店の新メニューとその値段について提案することになり，麺の重さを \( 170 \; g \)に変更した「小盛り」のつけ麺を提案し，その値段について次のように考えた。後の ①，② の問いに答えなさい。
ポスターを確認したところ，麺の重さを \( x \; g \)，値段を \( y \) 円としたときに，【ア】の考えは成り立たないことが分かりました。
このことを改めて考え直した結果，麺の重さ \( x \; g \) に応じて決まる金額 \( ax \) と，調理をするために必要な材料費や光熱費などの一定の金額 \( b \) によって値段を決めるのがよいと考えました。そこで，麺の重さを \( x \; g \)，値段を \( y \) 円としたときに，\( y=ax+b \) の関係が成り立つものとして，並盛りや大盛りの値段をもとに，小盛りの値段を考えることにします。
➀ 亜衣さんの考え【イ】にもとづいて，麺の重さ \( x \; g \) と値段 \( y \) 円の関係を表す式 \( y=ax+b \) における \( a，b \) の値を求めなさい。
➁ 亜衣さんの考え【イ】にもとづいて，亜衣さんが提案した小盛りのつけ麺の値段を求めなさい。
大問５
勇太さんたちは，太陽の光によってできた影を用いて，大きな建物などの高さを直接測らずに求めることができると知り，このことについて調べることにした。次の（１），（２）の問いに答えなさい。
ただし，地面はすべて平面であり，同じ日の同じ時刻における太陽の光は，すべての物体に対して太陽の方向から平行に当たっているものとする。
（１） 勇太さんたちは,自分たちの学校の校舎を直方体と見なして考えることにした。次の➀，➁の問いに答えなさい。
① 図Ⅰのように，校舎のかどの点を \( A \)，校舎の影のうち \( A \) に対応する点を \( A’ \)，\( A \) の真下にある地面の点を \( B \) として，\( A’B \) の長さを測ったところ，\( 15 \; m \) であった。また，図Ⅱのように，図Ⅰと同じ日の同じ時刻に，長さ \( 20 \; cm \) の真っすぐな棒 \( CD \) を校舎の近くの地面に垂直に立て，棒の影のうち \( C \) に対応する点を \( C’ \) として，\( C’D \) の長さを測ったところ，\( 30 \; cm \) であった。このとき，校舎の高さ \( AB \) を求めなさい。
問題の条件より，\( △AA’B \) と \( △CC’D \) を
点 \( B \) と \( D \) が一致するように重ねると
右の図のようになります。
\( AA’//CC’ \) より，\( ∠AA’B=∠CC’D \) であり，
\( ∠ABA’=∠CDC’=90° \) でもあることから，
２組の角がそれぞれ等しいので
\( △AA’B \) ∽ \( △CC’D \)
校舎の高さ \( AB=x \; cm \) とすると，
\( AB：CD=A’B：C’D \)
\( x：20=1500：30 \)
\( 30x=30000 \)
\( x=1000 \; (cm) \)
\( =10 \; (m) \)
比が合えばいいので，単位を合わせなくても解けます。
\( AB=a \; m \) とすると，
\( a：20=15：30 \)
\( 30a=300 \)
\( a=10 \; (m) \)
➁ 勇太さんたちの学校では運動会が近づいており，図Ⅲのように，旗を付けたロープが，校舎と支柱の先端に結び付けられていた。支柱を \( EF \)，支柱の影のうち \( E \) に対応する点を \( E’ \) として，図Ⅰ，図Ⅱと同じ日の同じ時刻に，\( E’F \) の長さを測ったところ，\( 12 \; m \) であった。また，校舎から支柱までの距離である \( BF \) の長さは，\( 14 \; m \) であった。このとき，旗を付けたロープの長さ \( AE \) を求めなさい。
ただし，支柱は地面に垂直に立っており，ロープはたるまずに張られているものとする。
➀と同様の考え方から，
\( △AA’B \) ∽ \( △EE’F \) なので，
支柱の長さ \( EF=y \; m \) とすると，
\( AB：EF=A’B：E’F \)
\( 10：y=15：12 \)
\( 15y=120 \)
\( y=8 \; (m) \)
このとき，四角形 \( ABFE \) は右の図のようにかけます。
点 \( E \) から線分 \( AB \) に垂線をひき，
交点を \( G \) とすると，
\( GB=EF=8 \; m \) になるので，
\( AG=AB-GB=2 \; (m) \)
また，\( GE=BF=14 \; m \) になるので，
\( △AGE \) において，三平方の定理より，
\( AE^2=AG^2+GE^2 \)
\( =2^2+14^2 \)
\( =200 \)
\( AE=10\sqrt{2} \; (m) \)（\( AE>0 \) より）
（２） 勇太さんは校舎の高さを調べた後，ある本で，太陽の光によってできた影を使ってピラミッドの高さを求めることができるということを知った。
勇太さんが読んだ本に載っていたピラミッドは，図Ⅳのように，底面の１辺の長さが \( 80 \; m \) の正四角すいと見なすことができ，ピラミッドの頂点を \( P \)，ピラミッドの影のうち頂点 \( P \) に対応する点を \( P’ \)，正四角すいの底面を正方形 \( GHIJ \) とすると，ピラミッドの影の長さは，\( P’G=170 \; m，P’I=150 \; m \) であったという。さらに，図Ⅴのように，図Ⅳと同じ日の同じ時刻に長さ \( 20 \; cm \) の真っすぐな棒 \( KL \) をピラミッドの近くの地面に垂直に立てて，棒の影のうち \( K \) に対応している点を \( K’ \) とすると， \( K’L \) の長さは，\( 50 \; cm \) であったという。このピラミッドの高さを求めなさい。
正四角すい \( P-GHIJ \) において，点 \( P \) から
面 \( GHIJ \) に垂線をひいた交点を \( O \) とすると，
線分 \( PO \) の長さが求める高さであり，
点 \( O \) は，正方形 \( GHIJ \) の対角線の交点
（対角線の中点）になります。
１辺の長さが \( 80 \; m \) の正方形 \( GHIJ \) の対角線 \( GI \) の長さは，\( 80\sqrt{2} \; m \) なので，
\( △GP’I \) において \( P’O \) の長さを求めれば，
（１）と同様に \( △PP’O \) と \( △KK’L \) が
相似であることを使って \( PO \) の長さを求める
ことができます。
\( △GP’I \) において，点 \( P’ \) から線分 \( GI \) に
垂線をひき，交点を \( Q \) とします。
\( QI=x \; m \) とすると，三平方の定理より，
\( 150^2-x^2=170^2-(80\sqrt{2}-x)^2 \)
\( 22500-x^2=28900-(12800-160\sqrt{2}x+x^2) \)
\( 22500-x^2=16100+160\sqrt{2}x-x^2 \)
\( 160\sqrt{2}x=6400 \)
\( x=\dfrac{40}{\sqrt{2}}=20\sqrt{2} \; (m) \)
点 \( O \) は，線分 \( GI \; (=80\sqrt{2} \; m) \) の中点なので，\( OI=40\sqrt{2} \; m \) であり，
\( QI=20\sqrt{2} \; m \) であることから，
点 \( O \) は，線分 \( OI \) の中点になっています。
\( △OP’I \) において，\( P’Q⊥OI \) であることから，\( P’O=P’I=150 \; m \) の二等辺三角形であることがわかります。
（１）と同様の考え方から，
\( △PP’O \) ∽ \( △KK’L \) なので，
ピラミッドの高さ \( PO=h \; m \) とすると，
\( h：20=150：50 \)
\( h：20=3：1 \)
\( h=60 \; (m) \)
