問題
１．右の図は，\(y=4x+b\) のグラフである。この直線と \(x\) 軸の交点の \(x\) 座標が \(－1\) のとき，\(b\) の値を求めなさい。
２．\(y\) が \(x\) の一次関数で，そのグラフが２点\(A(4,3)\)，\(B(ｰ2,0)\)を通るとき，この一次関数の式を求めなさい。
３．右の図は，\(y\) が \(x\) に比例する関数のグラフである。\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
４．右の図は，\(y=x+3\) のグラフである。この直線が点Ａ(m，10)を通るとき，mの値を求めなさい。
５.右の図は，点Ａ(2，5) を通り，傾きがー１の直線である。この直線の式を求めなさい。
６．右の図は，\(x≧0\) のときの関数 \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) のグラフである。この曲線上に２点Ａ，Ｂがあり，点Ａの座標が \((2，2)\) ，点Ｂの \(x\) 座標が\(6\)のとき，次の問いに答えなさい。
（1） \(a\) の値を求めなさい。
（2） ２点Ａ，Ｂ間の平均変化率を求めなさい。
７．右の図のように，関数 \(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) のグラフと直線 \(l\) が２点Ａ，Ｂで交わり，点Ａ，Ｂの \(x\) 座標はそれぞれ， \(2\) ，\(6\) である。
このとき，直線 \(l\) の式を求めなさい。
８．右の図は関数 \(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) のグラフであり，点Ａは \(y\) 軸上の点で，その \(y\) 座標は \(6\) である。
このとき，次の問いに答えなさい。
（１） 点Ａを通り，\(x\) 軸に平行な直線が \(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) のグラフと交わる点の \(x\) 座標を求めなさい。
（２） \(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) 上の点で \(x\) 座標と \(y\) 座標がともに整数となる点は全部で何個あるか。
解説
小問１
\(y\) 切片を求める
\(x\) 軸の \(y\) 座標は，\(0\) なので，
直線と \(x\) 軸の交点の座標は\(-1，0\)です。
直線の式 \(y=4x+b\) に \(x=-1\)，\(y=0\) を代入すると，
\(y=4x+b\)
\(0=4\;✕\;(-1)+b\)
\(0=-4+b\)
\(b=4\)
直線 \(l\) の式を求める
直線の式 \(y=4x+b\) に \(b=4\) を代入すると，
\(\displaystyle y=4x+b\)
\(\displaystyle y=4x+4\)
以上より，求める直線の式は \(\displaystyle y=4x+4\) となります。
小問２
直線の傾きを求める
求める直線の式を
\(y=ax+b\) ・・・ （1）
とすると，傾き \(a\) は，
\(\displaystyle a=\frac{yの増加量}{xの増加量}\)
\(\displaystyle =\frac{3-0}{4-(-2)}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
\(y\) 切片を求める
（1）に \(\displaystyle a =\frac{1}{2}\) を代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+b\) ・・・ （2）
点Ｂはこの直線上の点なので，
（2）に \(x=-2\)，\(y=0\) を代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+b\)
\(\displaystyle 0=\frac{1}{2}\;✕\;(-2)+b\)
\(\displaystyle 0=-1+b\)
\(\displaystyle b=1\)
直線 \(l\) の式を求める
（2）に，\(b=1\) を代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+b\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1\)
以上より，直線 \(l\) の式は \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1\) となります。
小問３
直線 \(l\) の傾きを求める
この直線は，原点 \((0,0)\) と点Ａ \((8,6)\) を通ります。
ここで，求める直線の式を
\(y=ax+b\) ・・・ （1）
とすると，傾き \(a\) は，
\(\displaystyle a=\frac{yの増加量}{xの増加量}\)
\(\displaystyle =\frac{6-0}{8-0}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}\)
直線 \(l\) の \(y\) 切片を求める
（1）に \(\displaystyle a=\frac{3}{4}\) を代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{3}{4}x+b\) ・・・ （2）
原点 \((0,0)\) を通る直線の \(y\) 切片は \(0\) なので，\(b=0\) です。
直線 \(l\) の式を求める
（2）に，\(b=0\) を代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{3}{4}x+b\)
\(\displaystyle y=\frac{3}{4}x\)
以上より，直線 \(l\) の式は \(\displaystyle y=\frac{3}{4}x\) となります。
小問４
点Ａ \((m,10)\) は直線 \( y=x+3\) 上の点なので，
\(x=m\)， \(y=10\) は \( y=x+3\) の解になります。
\( y=x+3\) に \(x=m，y=10\) を代入すると，
\(y=x+3\)
\(10=m+3\)
\(m=7\)
小問５
求める直線の式を
\(y=ax+b\) ・・・ （1）
とすると，傾きが \(-1\) なので，（1）に \(a=-1\) を代入すると，
\(y=-x+b\) ・・・ （2）
点Ａ \((2,5)\) はこの直線上の点なので，
\(x=2\)， \(y=5\) がこの式の解になっています。
（2）に \(x=2\)， \(y=5\) を代入すると，
\(y=-x+b\)
\(5=-2+b\)
\(b=7\)
（2）に \(b=7\) を代入すると，
\(y=-x+b\)
\(y=-x+7\)
以上より，求める直線の式は \(y=-x+7\) となります。
小問６
（１）\(a\) の値は？
点Ａ \((2,3)\) は関数 \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) のグラフ上の点なので，
\(x=2\)，\(y=2\) を代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{a}{x}\)
\(\displaystyle 2=\frac{a}{2}\)
\(a=4\)
となります。
（２）２点Ａ，Ｂ間の平均変化率は？
２点Ａ，Ｂ間の平均変化率を求めるということは，
２点Ａ，Ｂを通る直線の傾きを求めるということと同じです。
点Ｂの座標を求める
２点Ａ，Ｂを通る直線を求めるために，まず，点Ｂの座標を求める必要があります。
点Ｂは，\(\displaystyle y=\frac{4}{x}\) のグラフ上の点であり，
\(x\) 座標が \(6\) なので，\(\displaystyle y=\frac{4}{x}\) に \(x=6\) を代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{4}{x}\)
\(\displaystyle y=\frac{4}{6}\)
\(\displaystyle y=\frac{2}{3}\)
点Ｂの座標は，\(\displaystyle \left(6，\frac{2}{3}\right)\)になります。
２点Ａ，Ｂ間の平均変化率を求める。
２点Ａ，Ｂの座標は，それぞれ \(\displaystyle (2，2)\)，\(\displaystyle \left(6，\frac{2}{3}\right)\) なので，
平均変化率（傾き）\(\displaystyle＝\frac{yの変化率}{xの変化率}\)
\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{2}{3}-2}{6-2}\)
\(\displaystyle=\frac{\displaystyle-\frac{4}{3}}{4}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{3}\)
小問７
点Ａ，Ｂの座標を求める
点Ａ，Ｂは，関数 \(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) のグラフ上の点なので，
Ａ，Ｂの座標は，関数 \(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) の解になります。
点Ａの \(x\) 座標は \(2\) なので、
\(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) に \(x=2\) を代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{6}{x}=\frac{6}{2}=3\)
となり，点Ａの座標は，\((2,3)\) となります。
また，
点Ｂの \(x\) 座標は \(6\) なので、
\(\displaystyle y=\frac{6}{x}\) に \(x=6\) を代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{6}{x}=\frac{6}{6}=1\)
となり，点Ｂの座標は，\((6,1)\)となります。
直線 \(l\) の傾きを求める
直線 \(l\) の式を
\(y=ax+b\) ・・・ （1）
とすると，傾き \(a\) は，
\(\displaystyle a=\frac{yの増加量}{xの増加量}\)
\(\displaystyle =\frac{1-3}{6-2}\)
\(\displaystyle =－\frac{1}{2}\)
直線 \(l\) の \(y\) 切片を求める
（1）に \(\displaystyle a=－\frac{1}{2}\) を代入すると，
\(\displaystyle y=－\frac{1}{2}x+b\) ・・・ （2）
（2）に，点Ａの座標 \((2,3)\) を代入すると，
\(\displaystyle y=－\frac{1}{2}x+b\)
\(\displaystyle 3=－\frac{1}{2}\;✕\;2+b\)
\(\displaystyle 3=－1+b\)
\(\displaystyle b=4\)
直線 \(l\) の式を求める
（2）に，\(b=4\) を代入すると，
\(\displaystyle y=－\frac{1}{2}x+b\)
\(\displaystyle y=－\frac{1}{2}x+4\)
以上より，直線 \(l\) の式は \(\displaystyle y=－\frac{1}{2}x+4\) となります。
小問８
（１）点Ａを通り，\(x\) 軸に平行な直線の交点の座標？
点Ａを通り，\(x\) 軸に平行な直線の式は \(y=6\) です。
\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) と \(y=6\) が交わる点の座標は \((x，6)\) になります。
このとき， \(y=6\) は \(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) の解になるので，
代入すると，
\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)
\(\displaystyle 6=\frac{12}{x}\)
\(x=2\)
となります。
（２）\(x\) 座標，\(y\) 座標がともに整数になるのは何個？
\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) を変形すると，
\(xy=12\) ・・・ （1）
となります。
\(x\) 座標，\(y\) 座標がともに正の整数のとき，式（1）は‟正の整数 ✕ 正の整数”の形になります。
つまり，正の整数の範囲で，\(x\) と \(y\) は‟１２の約数”になるため，
正の整数の範囲では，
\(1，2，3，4，6，12\)
の６個になります。
さらに，この問題では，
‟\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) 上の点” と
なっているので，
‟負の整数 ✕ 負の整数”の場合も同様に数える必要があります。
負の整数の場合の約数は正の整数の約数と絶対値が等しくなるので，
\(-1，-2，-3，-4，-6，-12\)
の６個にとなり，
正の整数と負の整数とを合わせて１２個になります。
整数には‟正の整数”と‟負の整数”があります。
負の数の場合も１２の約数の絶対値は等しいので
負の整数の範囲では，1，2，3，4，6，12
