問題
１．ある家庭の先月の食費は，収入から家賃８万円を引いた額の２８％だった。今月は，先月に比べて
収入は２割増え，食費は７千円増えた。そのため，今月の食費は収入から家賃８万円を引いた額の
２５％であった。今月の収入と食費を求めなさい。
２．ある学校の昨年の生徒数は，男女合わせて６００人であった。今年は男子生徒が１０％減り，
女子生徒が２０％増えたため，全体としては４％増えた。今年の男子生徒と女子生徒の生徒数を求めなさい。
３．あるコーヒーショップのコーヒー１杯の価格は，消費税抜きで２００円であり，持ち帰り用には８％の
消費税が，店内で飲む場合には１０％の消費税が価格に加算されることになっている。
ある１日において，このコーヒーが３００杯売れ，その売上金額の合計は消費税を含めて６５１８０円
であった。この日，持ち帰り用として販売されたコーヒーは何杯であったか求めなさい。
４．Ａ中学校の生徒数は，Ｂ中学校の生徒数の２倍より８０人少ない。 またそれぞれの中学校の３年生の割合は
３０％と３５％で，その合計の人数は２２３人である。
このとき，それぞれの中学校の３年生の人数を求めなさい。
解説
今月の収入と食費を求めなさい。
問題からわかる関係を数式化する
まず，問題文からわかる先月の収入と食費，今月の収入と食費の関係性を数式の形で表してみます。
なお、収入と食費の単位は゛万円”とします。
先月の食費は，収入から家賃８万円を引いた額の２８％だった。 先月の食費 ＝（先月の収入－８万円）✕０．２８ ・・・ （1）
今月は，先月に比べて収入は２割増え，食費は７千円増えた。 今月の収入 ＝ 先月の収入 ✕ １．２ ・・・ （2） 今月の食費 ＝ 先月の食費 ＋ ７千円 ・・・ （3）
今月の食費は収入から家賃８万円を引いた額の２５％であった。 今月の食費 ＝（今月の収入－８万円）✕ ０．２５ ・・・ （4）
先月の食費を \(x\) ， \(y\) を使って表す
ここで､先月の収入を \(x\) 万円，先月の食費を \(y\) 万円とし，
先月の食費と今月の食費を \(x\) ， \(y\) を使って表してみます。
先月の食費は、（１）より
\(y＝(x－8)\;✕\;0.28\) ・・・ （１Ａ）
今月の食費を \(x\) ， \(y\) を使って表す
今月の収入は、（２）より \( 1.2x \)と表すことができます。
ここで，今月の食費は，（３）（４）より
\(y＋0.7＝(1.2x－8)\;✕\;0.25\) ・・・ （４Ａ）
連立方程式を解き，先月の収入と食費を求める
\(\left\{
\begin{array}{}
\;y＝(x-8)\;✕\;0.28 ･･･ (1A)\\
\;y+0.7＝(1,2x-8)\;✕\;0.25 ･･･ (4A)\\
\end{array}
\right.\)
これを解くと，\(\:x＝23，y＝4.2\)となり，
先月の収入は２３万円，先月の食費は４．２万円
であったことがわかります。
（１Ａ）を１００倍すると，
\(100y＝(x-8)\;✕\;28\) ･･･ (1B)
（４Ａ）を１００倍すると，
\(100y＋70＝(1,2x-8)\;✕\;25\) ･･･ (4B)
（４Ｂ）に（１Ｂ）を代入すると，
\((x-8)\;✕\;28+70＝(1,2x-8)\;✕\;25\)
\(\,28x-224+70＝30x-200\)
\(2x＝46\)
\(\,x＝23\)
（１Ａ）に代入すると，
\(y＝(23-8)\;✕\;0.28\)
\(y＝4.2\)
今月の収入と食費を求める
（２）より，今月の収入は
\(1.2x = 1.2\;✕\;23 = 27.6\)
（３）より，今月の食費は，
\(y+0.7=4.2+0.7=4.9\)
となり、今月の収入は２７万６千円，今月の食費は４万９千円になります。
今年の男子生徒と女子生徒の生徒数を求めなさい
問題からわかる関係を数式化する
まず，問題文からわかる昨年の男女の生徒数と今年の男女の生徒数の関係性を数式の形で表してみます。
昨年の生徒数は，男女合わせて６００人であった。 昨年の男子生徒の数 ＋ 昨年の女子生徒の数 ＝ ６００ ・・・ （1）
今年は男子生徒が１０％減り，女子生徒が２０％増えたため，全体としては４％増えた。 今年減った男子生徒の数 ＝ 昨年の男子生徒の数 ✕ ０．１ ・・・ （2） 今年増えた女子生徒の数 ＝ 昨年の女子生徒の数 ✕ ０．２ ・・・ （3） 今年増えた男女合計の生徒の数 ＝ 昨年の生徒数 ✕ ０．０４ ・・・（4）
昨年の男女合計の生徒数を \(x\)，\(y\) を使って表す
昨年の男子生徒の生徒数を \(x\) 人，昨年の女子生徒の生徒数を \(y\) 人とすると、
（1）より，昨年の男女合計の生徒数は，
\(x + y = 600\) ・・・ （１Ａ）
今年の男子生徒数と女子生徒数の増減を \(x\)，\(y\) を使って表す
（２）より，今年減った男子生徒の数は， \( 0.1x \) ・・・ （２Ａ）
（３）より，今年増えた女子生徒の数は， \( 0.2y \) ・・・ （３Ａ）
（４）より，今年増えた男女合計の生徒の数は， \( 600\,✕\,0.04 ＝ 24 \) ・・・ （４Ａ）
また，今年増えた男女合計の生徒の数 ＝ 今年減った男子生徒の数 ＋ 今年増えた女子生徒の数 なので，
（２Ａ）～（４Ａ）より，
\(24\)＝\(-0.1x + 0.2y\) ・・・ （４Ｂ）
連立方程式を解き，昨年の男子生徒数と昨年の女子生徒数を求める
\(\left\{
\begin{array}{}
x＋y ＝ 600 ・・・ （1A）\\
24 = －0.1x + 0.2y ・・・ （4B）\\
\end{array}
\right.\)
これを解くと，\(x=320，y=280\)となります。
（４Ｂ）を１０倍すると
\(－x +2y = 240\) ・・・ （４Ｃ）
（１Ａ）＋（４Ｃ）すると，
\(3y＝840\)
\(\:y＝280\)
\(y ＝ 280\) を（5）に代入すると，
\(x+280＝600\)
\(y＝320\)
今年の男子生徒数と昨年の女子生徒数を求める
（２Ａ）より，
今年減った男子生徒の数＝０．１✕３２０＝３２
なので、
今年の男子生徒の数＝３２０－３２＝２８８
（３Ａ）より，
今年増えた女子生徒の数＝０．２✕２８０＝５６
なので、
今年の女子生徒の数＝２８０＋５６＝３３６
となり、今年の男子生徒の数は２８８人，今年の女子生徒の数は３３６人になります。
販売されたコーヒーは何杯であったか求めなさい
問題からわかる関係を数式化する
まず，問題文からわかるコーヒーの販売数と販売価格と売上金額の関係性を数式の形で表してみます。
コーヒー１杯の価格は，消費税抜きで２００円であり，持ち帰り用には８％の消費税が， 店内で飲む場合には１０％の消費税が価格に加算される 持ち帰り用のコーヒーの税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋０．０８) ・・・ （１） 店内用のコーヒーの税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋＋０．１) ・・・ （２）
ある１日において，このコーヒーが３００杯売れ 持ち帰り用のコーヒーの販売数 ＋ 店内用のコーヒーの販売数 ＝ ３００ ・・・ （３）
売上金額の合計は消費税を含めて６５１８０円であった。 売上金額 ＝ 販売価格 ✕ 販売数 ・・・ （４） 持ち帰り用のコーヒーの売上金額 ＋ 店内用のコーヒーの売上金額 ＝ ６５１８０ ・・・ （５）
コーヒーの販売数を \(x\)，\(y\) を使った式で表す
持ち帰り用のコーヒーの販売数を \(x\) 杯，店内用のコーヒーの販売数を \(y\) 杯とすると，
（３）より，
\(x\) ＋ \(y\) ＝ ３００ ・・・ （３Ａ）
と表すことができます。
持ち帰り用のコーヒーと店内用のコーヒーの税込の販売価格を求める。
持ち帰り用のコーヒーには８％の消費税が加算されるのだから，（１）より，
税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋０．０８)＝２１６
持ち帰り用のコーヒーには１０％の消費税が加算されるのだから，（２）より，
税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋０．１)＝２２０
となります。
１日のコーヒーの売上金額を \(x\)，\(y\) を使った式で表す
売上金額は，（４）のように，売上金額 ＝ 販売価格 ✕ 販売数 で表すことができるので，
持ち帰り用と店内用のそれぞれのコーヒーの売上金額は，
持ち帰り用のコーヒーの売上金額 ＝ 税込販売価格 ✕ 販売数
＝ ２１６ ✕ \(x\)
＝ ２１６\(x\)
店内用のコーヒーの売上金額 ＝ 税込販売価格 ✕ 販売数
＝ ２２０ ✕ \(y\)
＝ ２２０\(y\)
また、それぞれの売上金額の合計が６５１８０円なので，１日の売上金額の合計は，
（５）より，
２１６\(x\) ＋ ２２０\(y\) ＝６５１８０ ・・・ （５Ａ）
と表すことができます。
連立方程式として解く
\(\left\{
\begin{array}{}
x+y=300 ･･･ (1A)\\
216x+220y=65180 ･･･ (5A)\\
\end{array}
\right.\)
これを解くと、\(x=205，y=95\) となります。
（1A）を２１６倍すると，
\(216x+216y=64800\) ･･･ (8)
(5A)－(1A)すると，
\(4y=380\)
\(y=95\)
(1A)に代入すると，
\(x+95=300\)
\(x=205\)
よって，持ち帰り用のコーヒーとして販売されたのは ２０５ 杯になります。
それぞれの中学校の３年生の人数を求めなさい
まず，問題文からわかるＡ中学校の生徒数とＢ中学校の生徒数の関係性を数式の形で表してみます。
問題からわかる関係を数式化する
Ａ中学校の生徒数は，Ｂ中学校の生徒数の２倍より８０人少ない Ａ中学校の生徒数 ＝ Ｂ中学校の生徒数 ✕ ２ － ８０ ・・・ （１）
それぞれの中学校の３年生の割合は３０％と３５％で，その合計の人数は２２３人である。 Ａ中学校の３年生の数 ＝ Ａ中学校の生徒数 ✕ ０．３ ・・・ （２） Ｂ中学校の３年生の数 ＝ Ｂ中学校の生徒数 ✕ ０．３５ ・・・ （３） Ａ中学校の３年生の数 ＋ Ｂ中学校の３年生の数 ＝ ２２３ ・・・ （４）
Ａ中学校とＢ中学校の生徒数の関係を方程式で表す
Ａ中学校の生徒数を \(x\) 人，Ｂ中学校の生徒数 \(y\) 人とすると，
（１）より，
\(x\)＝２\(y\)－８０ ・・・ （１Ａ）
と表すことができます。
Ａ中学校とＢ中学校の３年生の数の関係を方程式で表す
（２）より，Ａ中学校の３年生の数 ＝ ０．３\(x\) ・・・ （２Ａ）
（３）より，Ｂ中学校の３年生の数 ＝ ０．３５\(y\) ・・・ （３Ａ）
となるので、（４）より，Ａ中学校とＢ中学校の３年生の数の関係は、
０．３\(x\) ＋ ０．３５\(y\) ＝ ２２３ ・・・ （４Ａ）
連立方程式を解き、Ａ中学校の生徒数とＢ中学校の生徒数を求める
\(\left\{
\begin{array}{}
x=2y－80 ･･･ (1A)\\
0.3x＋0.35y=223 ･･･ (4A)\\
\end{array}
\right.\)
これを解くと，\(x=440，y=260\)となり、
Ａ中学校の生徒数は ４４０人
Ｂ中学校の生徒数は ２６０人
です。
（１Ａ）を３倍すると，
\(3x=6y－240\) ・・・ （１Ｂ）
（４Ａ）を１０倍すると，
\(3x＋3.5y=2230\) ・・・ （４Ｂ）
（４Ｂ）に（１Ｂ）を代入すると，
\((6y－240)＋3.5y=2230\)
\(9.5y=2470\)
\(y=260\)
（１Ａ）に代入すると，
\(x=2✕260－80\)
\(x=440\)
Ａ中学校の３年生の数とＢ中学校の３年生の数を求める
（２Ａ）より，
Ａ中学校の３年生の数 ＝ ０．３\(x\) ＝４４０ ✕ ０．３＝１３２
（３Ａ）より，
Ｂ中学校の３年生の数 ＝ ０．３５\(y\) ＝２６０ ✕ ０．３５＝９１
となり、Ａ中学校の３年生の数は１３２人，Ｂ中学校の３年生の数は９１人となります。
