問題
１．\(2<\sqrt{n}<4\) を満たす整数 \(n\) は全部でいくつあるか求めなさい。
２．\(8<\sqrt{3n}<9\) を満たす整数 \(n\) は全部でいくつあるか求めなさい。
３ \(\sqrt{60n}\) が最も小さい自然数になる自然数 \(n\) の値を求めなさい。
４．\(\sqrt{252n}\) の値が整数となる 最小の自然数 \(n\) を求めなさい。
５．\(a，b\) を自然数とする。\(a\) を \(13\) で割ると商が \(b\) で余りが \(10\) である。
また，\(b\) を \(11\) で割ると，余りが \(7\) である。\(a\) を \(11\) で割ったときの余りを求めなさい。
６．２つの数 \(A，B\) があります。\(a\) を \(4\) で割ると \(2\) 余り，\(B\) は \(4\) で割ると \(3\) 余ります。\(5A+3B\) を \(4\) で割ったときの余りを求めなさい。
７．\(\frac{60}{n+2}\) が整数となるような素数 \(n\) の値をすべて求めなさい。
解説
\(2<\sqrt{n}<4\) を満たす整数 \(n\) は全部でいくつある？
\(2\) と \(4\) を\(\sqrt{x}\) の形で表す
中央だけ \(\sqrt{n}\) になっていると比較しにくいので、
\(2\) と \(4\) も \(\sqrt{x}\) の形で表します。
\(\sqrt{n}\) は，２乗すると \(n\) になる数を表しています。
同様に，\(2\) と \(4\) は、それぞれ
\(2\) は，２乗すると \(4\) になる数
\(4\) は，２乗すると \(16\) になる数
と表すことができます。
\(A\,<\,B\) のとき，
\(\sqrt{A}\,<\,\sqrt{B}\)
となります。
不等式を置き換える
これを問題の不等式に置き換えると，
\(2\,<\,\sqrt{n}\,<\,4\)
\(\sqrt{4}<\sqrt{n}<\sqrt{16}\)
となります。
\(4\,<\,n\,<\,16\) を満たす整数 \(n\) の数を数える
以上より，\(2<\sqrt{n}<4\) を満たす \(n\) は，
\(5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15\)
の１１個になります
\(8<\sqrt{3n}<9\) を満たす整数 \(n\) は全部でいくつある
\(8\) と \(9\) を\(\sqrt{x}\) の形で表す
中央だけ \(\sqrt{3n}\) になっていると比較しにくいので、
\(8\) と \(9\) も \(\sqrt{x}\) の形で表します。
\(\sqrt{3n}\) は，２乗すると \(3n\) になる数を表しています。
同様に，\(8\) と \(9\) は、それぞれ
\(8\) は，２乗すると \(64\) になる数なので，\(8\,=\sqrt{64}\)
\(9\) は，２乗すると \(81\) になる数なので，\(9\,=\sqrt{81}\)
と表すことができます。
不等式を書き換える
これを問題の不等式にあてはめると，
\(8\,<\,\sqrt{3n}\,<\,9\)
\(\sqrt{64}\,<\,\sqrt{3n}\,<\,\sqrt{81}\)
また，\(\sqrt{A}\,<\,\sqrt{B}\) のとき \(A\,<\,B\) なので,
\(\sqrt{64}\,<\,\sqrt{3n}\,<\,\sqrt{81}\)
\(64\,<\,3n\,<\,81\)
となります。
不等式を解く
この不等式を解くと，
\(64\,<\,3n\,<\,81\)
\(\cfrac{64}{3}<\,n\,<27\)
\(\,21\cfrac{1}{3}<\,n\,<27\)
以上より，\(8<\sqrt{3n}<9\) を満たす整数 \(n\) は，
\(21\cfrac{1}{3}\)より大きく，\(27\)より小さい整数なので，
\(22，23，24，25，26\)
の５個になります。
２つの整数\(A\)，\(B\) において，
Ａ＜Ｂ：ＡよりＢが大きい または ＡはＢより小さい
（Ａ＝Ｂ は含まない）
Ａ≦Ｂ：ＢはＡ以上 または ＡはＢ以下
（Ａ＝Ｂ も含む）
\(\sqrt{60n}\) が最も小さい自然数になる自然数 \(n\) の値は？
\(\sqrt{a}\) が自然数になる条件は？
\(\sqrt{a}\)とは，２乗すると \(a\) になる数を表しています。
具体例としていくつか数字を代入してみます。
２乗すると１になる数字は \(\sqrt{1}=\sqrt{1^1}=1\)
２乗すると２になる数字は \(\sqrt{2}\)
２乗すると３になる数字は \(\sqrt{3}\)
２乗すると４になる数字は \(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\)
２乗すると３になる数字は \(\sqrt{5}\)
となり，\(a=x^2\) と表せるときに \(\sqrt{a}\) が自然数になることがわかります。
\(\sqrt{60n}\) を素因数分解する
つまり，この問題では，\(60n=x^2\) と表すことができるときに
\(\sqrt{60n}\)が自然数になります。
ここで，\(60\) を素因数分解すると，
\(60 = 2^2\,✕\,3\,✕\,5\)
になります。
\(2^2\,✕\,3\,✕\,5\) に何をかけると \(x^2\) の形になる？
まず，\(x^2\) の形で表すことができる整数 \(36=6^2\)，\(64=8^2\) を
実際に素因数分解してみます。
\(36=2^2\,✕\,3^2\) ･･･ ２を２回，３を２回かけたもの
\(64=2^6＝(2^3)^2\) ･･･ ２を6回（2の３乗を２回）かけたもの
となり，〇を２回，△を２回かけたものと表すことができます。
これを \(60\) にあてはめると，
\(60 = 2^2\,✕\,3\,✕\,5\) ･･･ ２を２回，３を１回，５を１回かけたもの
なので，\(60\) に３を１回，５を１回かけると，
２を２回，３を２回，５を２回かけたもの
つまり，
\(2^2\,✕\,3\,^2✕\,5^2= 30^2\)
となります。
\(n\) の値を求める
以上より，
\(60n= 2^2\,✕\,3\,✕\,5\)
\(n= \,3\,✕\,5\)
\(n= 15\)
となり、
\(\sqrt{60n}\) が最も小さい自然数になる自然数 \(n\) の値は
１５となります。
\(\sqrt{252n}\) の値が整数となる 最小の自然数 \(n\) は？
\(\sqrt{a}\) が自然数になる条件は？
\(\sqrt{a}\)とは，２乗すると \(a\) になる数を表しています。
具体例としていくつか数字を代入してみます。
２乗すると１になる数字は \(\sqrt{1}=\sqrt{1^1}=1\)
２乗すると２になる数字は \(\sqrt{2}\)
２乗すると３になる数字は \(\sqrt{3}\)
２乗すると４になる数字は \(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\)
２乗すると５になる数字は \(\sqrt{5}\)
となり，\(a=x^2\) と表せるときに \(\sqrt{a}\) が自然数になることがわかります。
\(\sqrt{252n}\) を素因数分解する
つまり，この問題では，\(252n=x^2\) と表すことができるときに
\(\sqrt{252n}\)が自然数になります。
ここで，\(252\) を素因数分解すると，
\(252 = 2^2\,✕\,3^2\,✕\,7\)
になります。
\(2^2\,✕\,3^2\,✕\,7\) に何をかけると \(x^2\) の形になる？
まず，\(x^2\) の形で表すことができる整数 \(36=6^2\)，\(64=8^2\) を
実際に素因数分解してみます。
\(36=2^2\,✕\,3^2\) ･･･ ２を２回，３を２回かけたもの
\(64=2^6＝(2^3)^2\) ･･･ ２を6回（2の３乗を２回）かけたもの
となり，〇を２回，△を２回かけたものと表すことができます。
これを \(252\) にあてはめると，
\(252 = 2^2\,✕\,3^2\,✕\,7\) ･･･ ２を２回，３を２回，７を１回かけたもの
なので，\(252\) に７を１回かけると，
２を２回，３を２回，７を２回かけたもの
つまり，
\(2^2\,✕\,3\,^2✕\,7^2= 42^2\)
となります。
\(n\) の値を求める
以上より，
\(252n= 2^2\,✕\,3^2\,✕\,7\)
\(n=\,7\)
となり、
\(\sqrt{252n}\) が最も小さい自然数になる自然数 \(n\) の値は
７となります。
\(a\) を \(11\) で割ったときの余りは？
\(a\) と \(b\) の関係を文字式で表す
＂a を 13 で割ると商が b で余りが \(10\) である。”ということは，
\(a\div13=b…10\)
\(\;a=13b+10\) ・・・ （１）
＂\(b\) を \(11\) で割ると，余りが \(7\) である。”ということは，
商を \(x\) とすると，
\(b\div11=x…7\)
\(b=11x+7\) ・・・ （２）
と表すことができます。
\(a\) を \(x\) について解く
（2）を（1）に代入すると，
\(a=13✕(11x+7)+10\)
\(=(13✕11x+13✕7)+10\)
\(=13✕11x+101\) ・・・ （3）
\(a=11✕c+d\)の形にまとめる
\(a\) を \(11\) で割るということを文字式で表すと，
\(a=11✕c+d\)と表すことができるので，（3）より，
\(a=13✕11x+101\)
\(=11✕13x+101\) ・・・ （4）
\(101\) は \(11\) で割れるので，これを計算すると、
\(101=11✕9＋2\) ・・・ (5)
(5) を (4) に代入すると，
\(a=11✕13x+101\)
\(=11✕13x+11✕9＋2\)
\(=11✕(13x+9)＋2\)
となり，\(a\) を \(11\) で割ったときの余りは２になります。
\(5A+3B\) を \(4\) で割ったときの余りは？
\(A\) を \(x\) を使った文字式で表す
＂\(A\) を \(4\) で割ると \(2\) 余り，･･･” を商を \(x\) として文字式で表すと，
\(A\div4=x…2\)
\(\;A=4x+2\) ・・・ （１）
\(B\) を \(y\) を使った文字式で表す
＂\(B\) を \(4\) で割ると \(3\) 余ります。” を商を \(y\) として文字式で表すと，
\(B\div4=y…3\)
\(\;B=4y+3\) ・・・ （２）
\(5A+3B\) を\(x\)，\(y\) を使った文字式で表す
（1）（2）より，
\(5A+3B=5✕(4x+2)+3✕(4y+3)\)
\(=5✕4x+10+3✕4y+9)\)
\(=5✕4x+3✕4y+19\) ・・・ （３）
\(5A+3B=4✕C+D\) を\)の形にまとめる
\(5A+3B\) を \(4\) で割るということを文字式で表すと，
\(5A+3B=4✕C+D\)と表すことができるので，（3）より，
\(5A+3B=5✕4x+3✕4y+19\)
\(=4✕5x+4✕3y+19\)
\(=4✕(5x+3y)+19\) ・・・ （４）
また，\(19\) は \(4\) で割れるので，これを計算すると、
\(19=4✕4＋3\) ・・・ (5)
(5) を (4) に代入すると，
\(5A+3B=4✕(5x+3y)+19\)
\(=4✕(5x+3y)+(4✕4+3)\)
\(=4✕(5x+3y+4)＋3\)
となり，\(5A+3B\) を \(4\) で割ったときの余りは３になります。
\(\frac{60}{n+2}\) が整数となる素数 \(n\) の値を求めなさい。
\(n+2\) の値を求める
＂\(\frac{60}{n+2}\) が整数になる”を言い換えると，
＂\(60\) が \(n+2\) で割り切れる”となります。
このとき，\(n+2\) は \(60\) の約数になっています。
また， \(60\) の約数は，
\(1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60\)
の１２個です。
よって，素数 \(n\) の候補は，
\(n+2=1，n+2=2，n+2=3，
n+2=4，n+2=5，n+2=6，
n+2=10，n+2=12，n+2=15，
n+2=20，n+2=30，n+2=60\)
と表すことができます。
素数は次の特徴を持っています
素数はすべて正の整数である
素数はすべて２または３以上の奇数である
これらより，\(n+2\) の値を＂３以上の奇数”に限定することもできます。
\(n\) が素数になる場合を求める
\(n+2=1 → \(n=-1\) \(n+2=10 → \(n=8\)
\(n+2=2 → \(n=0\) \(n+2=12 → \(n=10\)
\(n+2=3 → \(n=1\) \(n+2=15 → \(n=13\)
\(n+2=4 → \(n=2\) \(n+2=20 → \(n=18\)
\(n+2=5 → \(n=3\) \(n+2=30 → \(n=28\)
\(n+2=6 → \(n=4\) \(n+2=60 → \(n=58\)
この中で， \(n\) が素数になっているのは，
\(n=2，3，13\)
の３つになります。
素数は１とその数自身の２つで割り切れる数のことです。
よって，１は素数には含まれません。
