問題
平行四辺形ＡＢＣＤの∠ＢＡＤの二等分線と辺ＢＣの交点をＥ，
∠ＡＤＣの二等分線と辺ＢＣの交点をＦ，∠ＢＡＤの二等分線と
∠ＡＤＣの二等分線の二等分線の交点をＧとする。
また，ＤＣの延長と∠ＢＡＤの二等分線の交点をＨとする。
このとき，△ＧＦＥ∽△ＧＤＨを証明しなさい。
解説
△ＧＦＥ∽△ＧＤＨを証明しなさい
問題を解くための準備
問題文からわかる前提条件を確認しましょう。
∠ＢＡＨ＝∠ＨＡＤ
∠ＡＤＦ＝∠ＦＤＨ
求める対象が何かを確認しましょう。
△ＧＦＥ∽△ＧＤＨの証明
↓
＂三角形の相似条件が成立している＂ことを示す
∠ＧＨＤ＝∠ＥＡＢを示す
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，
ＡＢ // ＤＨ
平行な２直線の錯角は等しいので，
∠ＧＨＤ＝∠ＥＡＢ ・・・（１）
∠ＧＨＤ＝∠ＥＡＤ を示す
線分ＡＥは，∠ＢＡＤの二等分線なので，
∠ＥＡＢ＝∠ＥＡＤ ・・・（２）
（１）（２）より，
∠ＧＨＤ＝∠ＥＡＢ＝∠ＥＡＤ ・・・（３）
∠ＤＦＣ＝∠ＦＤＡ，∠ＧＥＦ＝∠ＥＡＤ を示す
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，
ＡＤ // ＦＥ
平行な２直線の錯角は等しいので，
∠ＤＦＣ＝∠ＦＤＡ ・・・（４）
∠ＧＥＦ＝∠ＥＡＤ ・・・（５）
∠ＦＤＡ＝∠ＦＤＨ を示す
線分ＤＧは，∠ＡＤＨの二等分線なので，
∠ＦＤＡ＝∠ＦＤＨ ・・・（６）
△ＧＦＥ∽△ＧＤＨを示す。
△ＧＦＥと△ＧＤＨにおいて，
（３）（５）より，∠ＧＥＦ＝∠ＧＨＤ
（４）（６）より，∠ＧＦＥ＝∠ＧＤＨ
よって，２組の角の大きさが等しいので，
△ＧＦＥ∽△ＧＤＨ
