問題
直線ℓと \(x\) 軸、\(y\) 軸との交点をそれぞれ Ａ(４，０)，Ｂ(０，３) とし、 線分ＡＢ上の点Ｐから \(x\) 軸に垂線ＰＱを下ろす、台形ＯＱＰＢの面積が \(\dfrac{9}{2}\) となるときの点Ｐの座標を求めなさい。
解説
直線 ℓ の式を求める
直線 ℓ の式を \(y＝ax＋b\) とすると，Ａ(４，０)，Ｂ(０，３) を通る直線なので，
傾き \(a\) ＝ \(\dfrac{y の増加量}{x の増加量}\)
＝ \(－\dfrac{3}{4}\)
Ｂ(０，３) より，\(y\) 切片 \(b\) ＝ \(3\) なので，
直線 ℓ の式は，\(y＝－\cfrac{3}{4}x＋3\) となります。
台形ＯＱＰＢの面積が \(\cfrac{9}{2}\) になる条件は
台形ＯＱＰＢの面積が \(\cfrac{9}{2}\) になるときの点Ｐの \(x\) 座標を \(t\) とすると，
\(y\) 座標は \(－\dfrac{3}{4}t＋3\) と表すことができます。
このとき，点Ｑの座標は(\(t\)，０) なので，
台形ＯＱＰＢのそれぞれの辺の長さは，
ＰＱ＝\(－\dfrac{3}{4}t＋3\)
ＯＢ＝\(3\)
ＯＱ＝\(t\)
となります。
よって，台形ＯＱＰＢの面積 ＝ (ＰＱ＋ＯＢ) ✕ ＯＱ ✕ \(\cfrac{1}{2}\) となるので，
(ＰＱ＋ＯＢ) ✕ ＯＱ ✕ \(\cfrac{1}{2}\) ＝ \(\cfrac{9}{2}\)
\(\{(－\cfrac{3}{4}t＋3)＋3\}\:✕\:t\:✕\:\cfrac{1}{2}\) ＝ \(\cfrac{9}{2}\)
この式を整理すると，
\(t^2－8t＋12\) ＝ \(0\)
\(\cfrac{1}{2}t(－\cfrac{3}{4}t＋6)\) ＝ \(\cfrac{9}{2}\)
\(－\cfrac{3}{8}t^2＋3t)\) ＝ \(\cfrac{9}{2}\)
\(－3t^2＋24t\) ＝ \(36\)
\(t^2－8t\) ＝ \(－12\)
\(t^2－8t＋12\) ＝ \(0\)
方程式を解く
\(t^2－8t＋12\)＝\(0\)
\((t－2)(t－6)\)＝\(0\)
\(t\)＝ \(2，6\)
点Ｐの \(x\) 座標は，0 ≦ \(x\) ≦ 4 の範囲なので，
0 ≦ \(t\) ≦ 4 となり，これを満たす解は \(t＝2\) だけです。
よって，点Ｐの \(x\) 座標が \(x ＝2\) のときの \(y\) 座標は，
\(－\dfrac{3}{4}\,✕\,2＋3＝\dfrac{3}{2}\)
求める点Ｐの座標は \((2，\dfrac{3}{2})\) となります。
