問題
右の図のような,AD=3cm,BC= \(2\sqrt{2}\)cm,CD=\(\sqrt{2}\) cm ,∠BCD=90° 四角形ABCDがあり,∠BAC=∠BDCである。また、線分ACと線分BDの交点をEとする。
このとき,次の問いに答えなさい。
(1)△EABと△EDCの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(2)△EBCと△EADの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
解説
△EABと△EDCの面積の比を求めなさい
問題を解くための準備
問題からわかる条件
AD= \(3cm\)
BC=\(2\sqrt{2} cm\) cm
CD= \(\sqrt{2} cm\) cm
∠BCD=90°
∠BAC=∠BDC
求める対象が何かを確認しましょう。
△EABと△EDCの面積の比
四角形ABCDの持つ特徴は?
四角形ABCDにおいて,△ABCと△BCDは,
辺BCが共通,∠BAC=∠BDC
となっているので,∠BACと∠BDCは弦BCに対する円周角であり,四角形ABCDは円に内接することがわかります。
また,∠BCD=90°より,
線分BDはこの円の直径になります。
ここから,四角形ABCDが円に内接していることを利用して解いていきます。
線分BDの長さを求める
△BCDは直角三角形なので,三平方の定理より,
BD2=BC2+CD2
= \(2\sqrt{2}\,^2+\sqrt{2}\,^2\)
= \(10\)
BD>0なので,BD=\(\sqrt{10}\)
線分ABの長さを求める
また,線分BDは直径なので,△BADも直角三角形になるので、三平方の定理より,
AB2=BD2ーAD2
= \( \sqrt{10}\,^2- 3\,^2\)
= \(1\)
AB>0なので、AB= \(1\)
△EABと△EDCの面積の比を求める
△EABと△EDCは,
問題より,∠EAB=∠EDC
対頂角なので,∠AEB=∠DEC
よって,2組の角の大きさが等しいので,
△EABと△EDC
また,AB:DC=1:\(\sqrt{2}\) なので、
△EABと△EDCの面積比は,
△EAB:△EDC=12: \(\sqrt{2}\,^2\)
=1:2
△EBCと△EADの面積の比を求めなさい
∠BCA=∠ADBを示す
∠BCAと∠ADBは弧ABに対する円周角なので,
∠BCA=∠ADB ・・・(1)
∠CBD=∠DACを示す
∠CBDと∠DACは弧CDに対する円周角なので,
∠CBD=∠DAC ・・・(2)
△EABと△EDCの面積の比を求める
(1)(2)より,2組の角の大きさが等しいので,
△EBC∽△EAD
また,BC:AD=\(2\sqrt{2}\):\(3\)なので、
△EBCと△EADの面積比は,
△EBC:△EAD= \(2\sqrt{2}\,^2\): \(3\,^2\)
= \(8\):\(9\)