解の公式が覚えられない？忘れた？平方完成ができれば大丈夫

二次方程式の問題を解くとき，因数分解できなかったら解の公式を使って解くことになります。

二次方程式 \(ax^2+bx+c\) の解は \(x=\dfrac{－b±\sqrt{b^2－4ac}}{2a}\)

でも，長いし，ルート（√ ）の中は \(b^2-4ac\) とかなってるし，±もあるし･･･
中学数学３年間の中で 🏆 つまづきやすい公式 No.1 🏆 です。

でも、心配しなくて大丈夫！

解の公式を忘れても二次方程式は解けます‼

その理由は、解の公式が 平方完成 という方法で方程式を解いた結果だからです。
結果だけ覚えるのではなく、その過程を知っていれば自分で求めることができます。

平方完成って何？

平方完成とは，

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を \(a(x＋p)^2＋q=0\) の形に変形することです。

はぁ⁉、意味わからん･･･ってなると思いますが、実は知らないうちに使っています。

一番簡単な例は，”\(x^2+2x+1=0\) を解きなさい。” の場合です。
ほとんどの人は，因数分解して

\(x^2+2x+1=0\)
　　\((x+1)^2=0\)
　　　 \(x+1=0\)
　　　　　 \(\,x=－1\)

と解くと思います。

この \(x^2+2x+1=0\) を \((x+1)^2=0\) に変形するのが平方完成です。

実は，この形に変形できれば，ほぼすべての二次方程式は解けます。

平方完成のやり方

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を平方完成する手順は次のとおり。

1. \(a\) で割る
2. １次の項(\(x\))の係数を \(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\) の形に書き換える
3. \(\left(x＋\dfrac{b}{2a}\right)^2\) を作る
4. \(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\)を引く

これで，平方完成ができます。

ここからは，それぞれの手順をもう少し詳しく見てみましょう。

手順１． \(a\) で割る

\(ax^2+bx+c=0\) を \(a\) で割ると，

\(ax^2+bx+c=0\)
\(x^2＋\dfrac{b}{a}x＋\dfrac{c}{a}=0\)　･･･①

手順２．１次の項(\(x\))の係数を \(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\) の形に書き換える

因数分解の公式 \(a^2+2ab+b^2＝(a+b)^2\) を使うため，
一次の項の係数を \(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\) の形に書き換えます。

　　　　\(\,x^2\)＋\(\cfrac{b}{a}\)\(x\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
\(x^2\)＋\(\left(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\right)\)\(x\)＋\(\dfrac{c}{a}=0\)

手順３．\(a\left(x＋\dfrac{b}{2a}\right)^2\) を作る

因数分解の公式 \(\underline{a^2+2ab}+b^2＝\underline{(a+b)^2}\) を使って，
強引に \(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\) の形を作ります。

\(x^2＋\left(2\:✕\:\cfrac{b}{2a}\right)x\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)

ここでは、定数 \(\cfrac{c}{a}\) の値は考えず、
二次 \((x^2)\) と一次 \((x)\) の項の係数だけが成り立つように変形します。

手順４．\(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\)を引く

手順３の形を展開すると，

　　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
\( x^2＋2 \times \cfrac{b}{2a} \times x＋\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
　　　　\(x^2＋\cfrac{b}{2}x＋\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)　･･･②

①と②を比較すると

\(x^2＋\dfrac{b}{a}x＋\dfrac{c}{a}=0\)　･･･①
\(x^2＋\cfrac{b}{a}x\)＋\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)　･･･②

と，＋\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)が追加されてしまって方程式が成り立たなくなっていますので，
②から \(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\) を引くことで\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)は打ち消しあって０になるので，

\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\) \(－\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)

これで平方完成ができたので、この方程式を解いていきましょう。

方程式を解く

\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2－\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2＋\cfrac{c}{a}＝0\)
　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2＝\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2－\cfrac{c}{a}\)
　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2＝\cfrac{b^2}{4a^2}－\cfrac{4ac}{4a^2}\)
　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2＝\cfrac{b^2－4ac}{4a^2}\)
　　　　　　　　　\(x＋\cfrac{b}{2a}＝\cfrac{±\sqrt{b^2－4ac}}{2a}\)
　　　　　　　　　　　　\(x＝\cfrac{－b±\sqrt{b^2－4ac}}{2a}\)

以上より，

二次方程式 \(ax^2+bx+c\) の解は \(x=\dfrac{－b±\sqrt{b^2－4ac}}{2a}\)

であることが証明されました。

例題

\(2x^2＋12x＋1=0\)を平方完成を使って解いてみます。

　\(2x^2＋12x＋1=0\)
　　\(x^2＋6x＋\cfrac{1}{2}=0\)　　 ←　手順１．\(a\) で割る
\(x^2＋2\times3x＋\cfrac{1}{2}=0\)　\(\,\)　←　手順２．１次の項(\(x\))の係数を \(2\:✕\:\cfrac{b}{2a}\) の形に書き換える
　\(\;(x＋3)^2＋\cfrac{1}{2}=0\)　　\(\;\)←　手順３．\(a\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\) を作る
\((x＋3)^2\)－9\(+\cfrac{1}{2}=0\)　　\(\:\)←　手順４．\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)を引く

　　　\((x＋3)^2=\cfrac{17}{2}\)
　　　　\(x＋3=±\sqrt{\cfrac{17}{2}}\)
　　　　　　　\(=－3±\sqrt{\cfrac{17}{2}}\)
　　　　　　　\(=－3±\cfrac{\sqrt{34}}{2}\)

ちなみに，解の公式で解くと･･･

\(x=\cfrac{－b±\sqrt{b^2－4ac}}{2a}\)
　\(=\cfrac{－12±\sqrt{12^2－4\times2\times1}}{2\times2}\)
　\(=\cfrac{－12±\sqrt{136}}{4}\)
　\(=\cfrac{－12±2\sqrt{34}}{4}\)
　\(=\cfrac{－3±\sqrt{34}}{2}\)