けた数が多くても少なくても関係なく共通している数字の特徴として，
「下２ケタの数字が４の倍数である自然数は必ず４で割り切れる」
というものがあります。
小さい数字であれば，実際に４で割ってみればわかりますが，本当に大きい数字でも成り立つかはわかりません。
ここでは、特定の数字だけではなく，文字式として一般化した形の証明を紹介します。
４ケタの場合の例を確認する
例えば、４ケタの数字 \(M\) を０から９までの整数を使って \(abcd\) と書くとき，
これを式に表すと、
\(M=1000a+100b+10c+d\) ・・・ （１）
例） \(1234\) の場合： \(1000 \times 1+100 \times 2+10 \times 3+4\)
となります。
下２けたの数字 \(10c＋d\) が４の倍数であることを
整数 \(n\) を使って \(10c＋d＝4n\) とすると，
式 （１）は
\(M=1000a＋100b＋10c＋d\)
\(=1000a＋100b＋4n\)
\(=4(250a+25b+n)\)
\(a，b，n\) は整数なので、 \(250a＋25b＋n\)も整数になります。
よって、４ケタの数字 \(M\) は４の整数倍であることから、４で割り切れると言えます。
ケタ数が増えても同様であることを示す
次に、３ケタ以上の整数 \(Ｎ\) についても同様であることを確認します。
１の位、１０の位、１００の位 ･･･ というのは、１０の●乗を利用して、
\(\;\;\,1\) の位 ＝ \(10^0\) の位
\(\:10\) の位 ＝ \(10^1\) の位
\(\:\;100\) の位 ＝ \(10^2\) の位
\(\vdots\) \(\vdots\)
\(100･･･00\) の位 ＝ \(10^m\) の位（\(m\)は任意の整数）
と表すことができます。
このとき、\(1\) の位、\(10\) の位、\(100\) の位 ･･･ \(10^{m－1}\) の位，\(10^m\) の位の数を
それぞれ、
\(S_0\)，\(S_1\)，\(S_2\) ･･･ \(S_{m－1}\)，\(S_m\) （\(S_1～S_m\) は０～９の任意の整数）
とするとき，整数Ｎは，
\(N=10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2＋10^1\:✕\:S_1＋S_0\)
と表すことができます。
また，下２けたの数字 \(10^1\:✕\:S_1＋S_0\) が４の倍数であることを
整数 \(n\) を使って \(10^1\:✕\:S_1＋S_0＝4n\) とすると，
\(N=10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2＋\)\(10^1\:✕\:S_1＋S_0\)
＝\(10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2\)＋\(4n\)
さらに， \(+4n\) 以外の項 \(100\) でくくると，
＝\(100(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)\)\(＋4n\)
＝\(4\{25(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)＋n\}\)
\(m，n，S_2～S_m\) はいずれも整数なので，
\(25(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)＋n\)
も整数になります。
以上より， ３ケタ以上の整数 \(N\) は４の整数倍であることから、４で割り切れると言えます。
