大問１
問１ \( 2+12 \div (-3) \) を計算しなさい。
問２ \( \sqrt{20}+\dfrac{10}{ \sqrt{5}} \) を計算しなさい。
問３ 方程式 \( x^2+x-4 \) を解きなさい。
問４
１本 \( a \) 円の鉛筆５本と，１本 \( b \) 円のボールペン３本の代金の合計は，１０００円より高い。
この数量の関係を不等式で表しなさい。
問５
図１のように，円周上に４点 \( A，B，C，D \) をとる。このとき，∠\( x \)の大きさを求めなさい。
円周角は等しいので \( ∠BAC＝∠BDC＝24° \)
\( ∠ x \) は \( △ABE \) の外角なので，
\( ∠ x = ∠BAC＋∠ABD＝ 24°+48°＝72° \)
問６ ２点 \( A(1，2)，B(3，5) \) の間の距離を求めなさい。
点 \( A \) を通り\( x \) 軸に平行な直線と点 \( B \) を通り \( y \) 軸に平行な直線の交点を \( C \) とすると，
\(△ABC\) は直角三角形になっているので，
\( AB^2 = AC^2+BC^2 \)
\( = 2^2+3^2 \)
\( = 13 \)
\( AB= \sqrt{13} \) \( (AB>0より) \)
問７ 次のア～エのうち，\( y \) が \( x \) に反比例するものを1つ選び，記号で答えなさい。
ア 半径が \( x \; cm \) である円の周の長さ \( y \; cm \)
イ 半径が \( x \; cm \) である円の面積 \( y \; cm^2 \)
ウ 周の長さが \( 20 \; cm \) である長方形の縦の長さ \( x \; cm \) と横の長さ \( y \; cm \)
エ 面積が \( 20 \; cm^2 \) である長方形の縦の長さ \( x \; cm \) と横の長さ \( y \; cm \)
問８
みなみさんの通う中学校では冬休みが２０日あり，数学の宿題が７０問出題されている。みなみさんは１日あたり３問か５問を毎日解いて，２０日目にちょうど宿題が終わる計画を立てた。３問解く日と５問解く日はそれぞれ何日か，求めなさい。
問９
図２は，ある月のカレンダーである。カレンダーの８日から２４日のうち，月曜日から金曜日までの数から１つを選び〇で囲む。○で囲んだ数を \( n \) とし，\( n \) の真上の数を \( a \)，真下の数を \( b \)，左横の数を \( c \)，右横の数を \( d \) とする。例えば，図２のように １４ を○で囲むと，\( n=14 \)，\( a=7 \)，\( b=21 \)，\( c=13 \)，\( d=15 \) となる。下の１，２に答えなさい。
１ \( a \) を \( n \) を使って表しなさい。
２ \( a \)，\( b \)，\( c \)，\( d \) をそれぞれ \( n \) を使って表し，\( bc-ad \) を計算すると，\( bc-ad \) はどのような数になるか。次のア～エから最も適当なものを１つ選び，記号で答えなさい。
ア １２の倍数 イ 奇数 ウ ２４の倍数 エ 負の数
大問２
問１
赤球３個と白球１個がはいっている袋から球を取り出すとき，次の１～３に答えなさい。
ただし，１～３のそれぞれについて，どの球が取り出されることも同様に確からしいものとする。
１ 袋から球を１個取り出すとき，赤球が出る確率を求めなさい。
２ 袋から球を１個ずつ２回続けて取り出すとき，２個とも赤球が出る確率を求めなさい。
球の取り出し方の総数は１２通りで，そのうち，２個とも赤球になるのは６通り。
よって，２個とも赤球が出る確率は \(\cfrac{6}{12}＝\cfrac{1}{2}\)
３ 袋から球を１個取り出して色を調べ，それを袋にもどしてから，また，球を１個取り出す。このとき，２個とも赤球が出る確率を求めなさい。
球の取り出し方の総数は１６通りで，そのうち，２個とも赤球になるのは９通り。
よって，２個とも赤球が出る確率は \(\dfrac{9}{16}\)
問２ あみさんとけいすけさんは，正四面体について話し合っている。次の１，２に答えなさい。
１ あみさんは正四面体の展開図を考えた。次のア～エの展開図を組み立てて正四面体をつくるとき，辺 \( AB \) と辺 \( XY \) がねじれの位置になる展開図はどれか，ア～エから１つ選び，記号で答えなさい。
ねじれの位置になるのは エ になります。
２ 図１のような，正四面体 \( ABCD \) がある。ひもを辺 \( AB \) の中点 \( P \) から，正四面体の辺 \( BC，CD，DA \) を順に通るように点 \( P \) まで１周させる。ひもが辺 \( BC，CD，DA \) 上を通る点をそれぞれ点 \( Q，R，S \) とする。２人は，ひもの長さが最小となる場合について考えている。下の会話文の (Ⅰ) に適する言葉を入れ、 (Ⅱ) にあてはまる言葉をあとの選択肢ア～ウから1つ選び，記号で答えなさい。
－－ 以下，会話文 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
けいすけ
正四面体の展開図は，１であみさんが考えたもの以外にも，図２のように平行四辺形になるものもあるね。
あみ
ひもの長さ \( (PQ+QR+RS+SP) \) が最小となるときを図２の展開図で考えると，点 \( P，Q，R，S \) が (Ⅰ) ときだね。
けいすけ
図３のように，辺 \( AB \) 上で点 \( P \) 以外の点 \( P’ \) から，同じように正四面体の辺 \( BC，CD，DA \) を順に通るようにひもを点 \( P’ \) まで１周させたときは，最小となるひもの長さはどうなるかな。
あみ
点 \( P’ \) から１周させたときの最小となるひもの長さは，点 \( P \) から１周させたときの最小となるひもの長さと比べると (Ⅱ) よ。
－－ 以上，会話文 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(Ⅱ) の選択肢
ア 短くなる イ 同じになる ウ 長くなる
２点間を最短で結ぶのは，直線で繋いだ時です。つまり，点 \( P，Q，R，S \) が 一直線上に並ぶときになります。
(Ⅱ)
点 \( P’ \) がどの位置にあっても左右の \( BP’ \) の長さは等しいので， \( P’P’//BB \) になります。
よって，四角形 \( BP’P’B \) は平行四辺形になるので， 点 \( P’ \) がどの位置にあっても長さは同じになります。
大問３
問１
かいとさんは. 自転車を１００００円以下で購入したいと考えている。図１はＡ店，Ｂ店，Ｃ店，Ｄ店の自転車価格の分布のようすを箱ひげ図に表したものである。ただし、どの店にも自転車は５０台あるとする。下の１，２に答えなさい。
１ 次の(1)，(2)に答えなさい。
(1) Ａ店の第一四分位数を求めなさい。
(2) 図１の箱ひげ図から読みとれることとして正しいと判断できるものを，次のア～エから２つ選び，記号で答えなさい。
ア Ａ店にある８０００円以上１３０００円以下の自転車の台数は２０台である。
イ Ｂ店には９０００円の自転車がかならずある。
ウ Ｃ店には１００００円以下の自転車はない。
エ Ｄ店の自転車価格の平均値は１１０００円である。
２ かいとさんは，Ａ店，Ｂ店の自転車価格を図１の箱ひげ図と，２店のヒストグラムで比べることにした。 図２の ➀，➁ はＡ店，Ｂ店どちらかの自転車価格をヒストグラムに表したものである。あとの(1) ，(2)に答えなさい。
(1) 図２の ➀ について，９０００円以上１００００円未満の階級の相対度数を求めなさい。
(2) 図２の ➀，➁ のうち，９０００円以上１００００円未満の自転車が多くある店のヒストグラムはどちらか。また，Ａ店のヒストグラムはどちらか。その組み合わせとして正しいものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。
問２
かいとさんは自転車をこいだときの自転車の速さと，その速さで１時間こいだときに消費するエネルギーについて考えた。表は，かいとさんのこぐ自転車の速さと１時間に消費するエネルギーをまとめたものである。自転車の速さを \( x \; km/h \)，１時間に消費するエネルギーを \( y \; kcal \) とし，\( 0≦x≦40 \) のとき \( y \) を \( x \) の一次関数とみなして考える。ただし，人は動かなくてもエネルギーを消費するため，\( 0 \; km/h \) でも消費するエネルギーは \( 0 \; kcal \) にはならない。下の１～３に答えなさい。
１ \( x \) と \( y \) の関係を表すグラフを図３にかき入れなさい。
２ \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。ただし，変域は求めなくてよい。
３ かいとさんが食べたお弁当のエネルギーは \( 740 kcal \) だった。かいとさんが，自転車をちょうど１時間こいで，このエネルギーをすべて消費するためには，自転車の速さを何 \( km/h \) にすればよいか，求めなさい。
大問４
図１のように関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) ･･･ ① のグラフ上に，
２点 \( A，B \) を \( y \) 軸について対称となるようにとる。
点 \( A \) の \( x \) 座標が \( -2 \) のとき，下の問１～問３に答えなさい。
問１ 線分 \( AB \) の長さを求めなさい。
問２ 関数 ①について，次の１，２に答えなさい。
１ 次のア～ウのうち，変化の割合が最も大きいものを１つ選び，記号で答えなさい。
ア \( x \) の値が \( 0 \) から \( 2 \) まで増加するとき
イ \( x \) の値が \( 2 \) から \( 4 \) まで増加するとき
ウ \( x \) の値が \( 4 \) から \( 6 \) まで増加するとき
２ \( x \) の変域が \( -3≦x≦2 \) のときの \( y \) の変域を求めなさい。
問３ 図１において，関数 ① のグラフ上に点 \( P \) をとり，直線 \( AP \) が \( x \) 軸と交わる点を \( Q \) とする。ただし、点 \( P \) は２点 \( A，B\) とは異なる点とする。次の１～３に答えなさい。
１ 図２のように，点 \( P \) の \( x \) 座標が １ であるとき， \( △APB \) の面積を求めなさい。
\( A (-2，2) ，B(2，2)，P \left(1，\dfrac{1}{2} \right) \) なので，
\( △APB＝4 \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{2}=3 \)
２ 点 \( P \) の \( x \) 座標が ４ であるとき，次の(1) ，(2)に答えなさい。
(1) 直線 \( AP \) の傾きを求めなさい。
\( A(-2，2)，P(4，8) \) なので，
傾き＝ \( \dfrac{8-2}{4-(-2)}=1 \)
(2) 点 \( Q \) の座標を求めなさい。
直線 \( AP \) の式を \( y=x+b \) とし，\( x=4，y=8 \) を代入すると，
\( 8=4+b \)
\( b=4 \)
となり，直線 \( AP \) の式は，\( y=x+4 \)
\( y=0 \) を代入すると，
\( 0=x+4 \)
\( x=-4 \)
よって，\( Q(-4，0) \)
３ 点 \( P \) の \( x \) 座標を \( p \) とする。\( p \) が正の数であるとき，\( △APB \) の面積が \( △AQB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) 倍となる \( p \) の値をすべて求めなさい。
● \( \dfrac{1}{2}p^2=3 \) の場合 ● \( \dfrac{1}{2}p^2=1 \) の場合 よって，あてはまる \( p \) の値は，\( p=\sqrt{2}，\sqrt{6} \) 注
\( △APB \) の高さが \( △AQB \) の高さの \( \dfrac{1}{2} \) 倍であるとき，
\( △APB \) の面積は \( △AQB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) 倍になります。
２点 \( A，B \) の \( y \) 座標が ２ なので，\( △AQB \) の高さは ２ です。
よって，，\( △APB \) の高さが １ であればいいことになります。
\( P\left(p，\dfrac{1}{2}p^2\right) \) なので，\( \dfrac{1}{2}p^2=3 \) の場合と \( \dfrac{1}{2}p^2=1 \)の場合を考えます。
\( \dfrac{1}{2}p^2=3 \)
\( p^2=6 \)
\( p= \sqrt{6} ( p>0より ) \)
\( \dfrac{1}{2}p^2=1 \)
\( p^2=2 \)
\( p= \sqrt{2} ( p>0より) \)
この問題では，点 \( P \) が辺 \( AB \) の上側にあるときと下側にあるときの２パターンあることに注意しましょう。
大問５
図１のような \( △ABC \) の紙があり，図２のように辺 \( AB \) 上の点と点 \( C \) を結んだ線分を折り目として \( △ABC \) を折る。点 \( A \) について，折る前の点を \( A \) ，折って移った点を \( A’ \) とするとき，下の問１～問３に答えなさい。
問１ 図３のように，辺 \( AC \) が辺 \( BC \) に重なるように \( △ABC \) を折る。折り目となる線分を \( CD \) とするとき，下の１，２に答えなさい。
１ \( △ACD \) と合同な三角形を答えなさい。
折り返す前と後の図形が合同なので，\( △ACD \) と合同なのは \( △A’CD \)
２ 図１に，折り目となる線分 \( CD \) を、定規とコンパスを用いて作図しなさい。
ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。
手順１ 点 \( C \) を中心に線分 \( BC，AC \) と交わるように
弧を描く
手順２ 手順１の弧と線分 \( BC \) の交点を中心に弧を描く
手順３ 手順１の弧と線分 \( AC \) の交点を中心に手順２と
同じ半径の弧を描く
手順４ 手順２と３の弧の交点と点 \( C \) を結ぶ半直線を描く
問２ 図４のように，辺 \( AB \) 上に点 \( E \) をとり，線分 \( CE \) を折り目として \( △AEC \) を折り返すと，\( A’E//BC \) となった。線分 \( A’C \) と線分 \( BE \) との交点を \( F \) とするとき，下の１～３に答えなさい。
１ \( △A’FE \) ∽ \( △CFB \) であることを証明しなさい。
２ \( ∠CAE=∠a \) ，\( ∠ACE=∠b \)とするとき，\( ∠a+∠b \) で表される角を2つ答えなさい。
１個目
\( △ACE \) において内角と外角の関係から，
\( ∠CEB ＝ ∠CAE ＋ ∠ACE \)
\( =∠a+∠b \)
２個目
\( △ACE≡△A’CE \) なので，
\( ∠EA’C ＝ ∠EAC ＝ ∠a \)
\( ∠A’CE ＝ ∠ACE ＝ ∠b \)
\( A’E//BC \) より錯角は等しいので，
\( ∠BCA’ ＝ ∠EA’C ＝ ∠a \)
\( ∠BCE ＝ ∠BCA’ ＋ ∠A’CE ＝ ∠a+∠b \)
３ \( AB=7，BC=5 \) であるとき，線分 \( EF \) の長さを求めなさい。
(2)より，\( ∠CEB＝∠BCE＝∠a + ∠b \) なので，
\( △BCE \) は \( BE＝BC \) の二等辺三角形であり，
\( BE＝BC=5 \)
\( AE＝AB－AE＝2 \)
\( △A’CE≡△ACE \) なので，
\( A’E＝AE＝2 \)
(1)より \( △A’FE \) ∽ \( △CFB \) であり，
相似比は \( BC：EA’＝5：2 \)
よって，\( EF＝\dfrac{2}{7}BE＝\dfrac{10}{7} \)
問３ 図５のように，点 \( C \) を通り辺 \( BC \) に垂直な直線と辺 \( AB \) との交点を \( G \) とする。線分 \( CG \) を折り目として \( △AGC \) を折り返す。 \( BC=5，CA=3，∠A’CB=60° \) であるとき，線分 \( CG \) の長さを求めなさい。
\( △AGC≡△A’GC \) なので， \( ∠ACG＝∠A’CG＝30° \)
\( BC \) の延長線に対して点 \( A \) から垂線をひき，交点を \( H \) とすると，
\( ∠ACH＝180°－(∠A’CB＋∠A’CG＋∠ACG)＝60° \)
\( △ACH \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( AC：AH＝2：\sqrt{3} \) より，\( AH＝\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)
\( AC：CH＝2：1 \)より，\( CH＝\dfrac{3}{2} \)
\( △BCG \) ∽ \( △BHA \) なので，
\( CG：HA＝BC：BH \)
\( CG：\dfrac{3\sqrt{3}}{2}＝5：\left(5+\dfrac{3}{2}\right) \)
\( \dfrac{13}{2}CG＝\dfrac{15\sqrt{3}}{2} \)
\( CG＝\dfrac{15\sqrt{3}}{13} \)
