鳥取県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

大問１

問１　次の計算をしなさい。

(1)　\( -6-(-2) \)

(2)　\( -\dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{9} \)

(3)　\( 6\sqrt{2}-\sqrt{18}+\sqrt{8} \)

(4)　\( 4(2x+1)-3(2x+1) \)

(5)　\( 3xy \times 2x^3y^2 \div (-x^3y) \)

問２　\( x^2-3x+2 \) を因数分解しなさい。

問３　二次方程式 \( 3x^2-x-1=0 \) を解きなさい。

問４　関数 \( y=2x^2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 4 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

問５
右の図Ⅰにおいて，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
ただし, ４点 \( A，B，C，D \) は円 \( O \) の周上の点であり，線分 \( AC \) は円 \( O \) の直径である。

【解答】

円周角が等しいので，\( ∠ADB＝∠ACB=40° \)
\( ∠ADC \) は直径 \( AC \) に対する円周角なので，\( ∠ADC=90° \)
よって，\( ∠x=∠ADC-∠ADB=90°-40°=50° \)

問７
面積が \( 168n \; m^2\) の正方形の土地がある。この正方形の土地の１辺の長さ \( (m) \) が整数となるような最も小さい自然数 \( n \) の値を求めなさい。

問８
連続する２つの偶数の積は，８の倍数である。さよさんは，このことを，次のように文字式を使って証明した。
このとき，あとの (1)，(2) に答えなさい。

(証明)
\( n \) を整数とし, 連続する２つの偶数のうち, 小さい方を \( 2n \) とすると，もう一方の偶数は 　ア　 と表される。
このとき, 連続する２つの偶数の積は
　\( 2n \times \)( 　ア　 )＝　イ　\( n(n+1) \)  ･･･ ①
【\( n，n+1 \) は連続する２つの整数だから，① の右辺の \( n(n+1) \) は２の倍数である。】
よって，\( m \) を整数とすると，\( n(n+1) \) は \( 2m \) と表される。
このとき，連続する２つの偶数の積は
　\( 2n \times \)( 　ア　 )= \( 8m \)
\( m \) は整数だから，\( 2n \times \)( 　ア　 ) は８の倍数である。
したがって，連続する２つの偶数の積は，８の倍数である。
(証明終)

(1)　証明の 　ア　，　イ　 にあてはまる適切な数または文字式を入れて，証明を完成させなさい。
ただし，　ア　 には，同じ数または同じ文字式があてはまるものとする。

(2)　次の説明は，証明の【　　　】部において，\( n，n+1 \) が連続する２つの整数だと，\( n(n+1) \) は２の倍数となる理由を説明したものである。説明中の 　ウ　 に適切な文を入れなさい。

説明
連続する２つの整数 \( n，n+1 \) は，　ウ　  。
整数と偶数の積は２の倍数となるので，\( n(n+1) \) は２の倍数である。

(証明)
\( △OAP \) と \( △OCQ \) で
対頂角は等しいので，
　\( ∠AOP=∠COQ \) ･･･ ➀
　a　 は等しいので，\( AB//DC \) から，
　　b　 ･･･ ➁
平行四辺形の 　c　 ので，
　　d　 ･･･ ➂
①，②，③より 　e　 がそれぞれ等しいので，
　\( △OAP≡△OCQ \)
合同な図形では, 対応する辺は, それぞれ等しいので，
　　\( OP=OQ \)
(証明終)

(1)　証明の 　a　，　b　 にあてはまるものとして最も適切なものを，次のア～キからそれぞれひとつ選び，記号で答えなさい。

　ア　平行線の同位角　　　　　　イ　平行線の錯角　　　　　ウ　平行線の向かい合う辺
　エ　\( ∠OAP=∠OCQ \)　　　　オ　\( ∠OPA=∠OQC \)
　カ　\( ∠OBA=∠ODC \)　　　　キ　\( AP=CQ \)

(2)　証明の 　c　，　d　 にあてはまるものとして最も適切なものを，次のア～キからそれぞれひとつ選び，記号で答えなさい。

　ア　２組の向かい合う辺は，それぞれ等しい
　イ　２組の向かい合う角は，それぞれ等しい
　ウ　対角線は，それぞれの中点で交わる
　エ　\( ∠ABC=∠CDA \)　　　　オ　\( ∠OAP=∠OCQ \)
　カ　\( OA＝OC \)　　　　　　　　 キ　\( AP=CQ \)

(3)　証明の 　e　 にあてはまる最も適切な語句を入れて，証明を完成させなさい。

【解答】

１組の辺の長さとその両端の角の大きさ

大問２

問１　四分位範囲が最も大きいクラスは，１組から４組のうちどのクラスか，答えなさい。また，その四分位範囲を求めなさい。

問２　次の図Ⅰは，各クラスの結果を箱ひげ図に表したものである。１組の箱ひげ図を，図Ⅰ中のア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。

【解答】

表に示されている各値と箱ひげ図が一致しているのは，エ

問３　あとの図Ⅱは，各クラスの結果をヒストグラムに表したものである。
このとき，次の(1)～(3)に答えなさい。

(1)　１組のヒストグラムを，図Ⅱ中のア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。

(2)　７冊の階級の相対度数が \( 0.2 \) であるクラスは，１組から４組のうちどのクラスか，答えなさい。

(3)　４組の平均値を求めなさい。

大問３

高校生のじょうじさんは陸上競技部に所属しており，学校から公園までの片道９００ｍの道を走って往復するトレーニングをしている。ある日じょうじさんは，１６時に学校を出発し，この道を分速 ３００ｍの速さで立ち止まることなく走り２往復した。同じ日に，きょうこさんは，公園での清掃活動に参加するため，学校を出発し，じょうじさんと同じ道を通って公園に向かった。
次の図は，じょうじさんが学校を出発してからの時間 (分) と，学校からじょうじさんがいる地点までの道のり  \( (m) \) の関係をグラフに表したものである。ただし，グラフはじょうじさんが学校を出発してからこの道を１往復したところまでしかかかれていない。
このとき，あとの各問いに答えなさい。

問１　じょうじさんが，この道を２往復走り終えて，学校に到着するのは何時何分か，求めなさい。

問２
きょうこさんは，じょうじさんより２分遅れて学校を出発し，学校から公園までの間にある時計店までは分速５０ｍ，時計店から公園までは分速７５ｍの速さで，それぞれ立ち止まることなく歩き，公園に１６時１５分に到着した。
このとき，次の(1)～(4)に答えなさい。

(1)　きょうこさんが，学校から時計店まで歩いた時間を \( a \) 分，時計店から公園まで歩いた時間を \( b \) 分とするとき，\( a \) と \( b \) の連立方程式をつくりなさい。
ただし，この問いの答えは，必ずしもつくった方程式を整理する必要はない。

【解答】

歩いた道のりとかかった時間の関係をそれぞれ方程式で表します。
【道のり】
　分速５０ｍで \( a \) 分歩いたとき，歩いた道のりは \( 50a \; m \)，
　分速７５ｍで \( b \) 分歩いたとき，歩いた道のりは \( 75b \; m \)，
　学校から公園までは９００ｍなので，
　　\( 50a+75b=900 \)
【時間】
　１６時２分に学校を出発し，１６時１５分に公園に到着したので，歩いた時間は１３分。
　学校から時計店までは \( a \) 分，時計店から公園までは \( b \) 分かかったので，
　　\( a+b=13 \)

よって，
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
50a + 75b = 900 \\
a + b = 13
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}

 

(2)　学校から時計店までの道のりは何 \( m \) か，求めなさい。

(3)　きょうこさんが，学校を出発してから公園に到着するまでに，じょうじさんとすれ違う，または追いこされるのはあわせて何回か，求めなさい。

(4)　きょうこさんが，学校を出発して，じょうじさんと最初にすれ違ってから，その後追いこされるまでにかかった時間は何分か，求めなさい。

【解答】

きょうこさんがじょうじさんと最初にすれ違ったのは●の時間，その後追いこされたのは●の時間です。

赤の直線は，\( (5，150) \) と \( (15，900) \) を通っているので，\( y=75x-225 \) ･･･ ①
青の直線は，\( (3，900) \) と \( (6，0) \) を通っているので，\( y=-300x＋1800 \) ･･･ ➁
緑の直線は，\( (6，0) \) と \( (9，900) \) を通っているので，\( y=300x-1800 \) ･･･ ➂
赤と青の直線の交点の \( x \) 座標は，
　\( 75x-225=-300x＋1800 \)
　　　 \( 375x=2025 \)
　　　　　 \( x=\dfrac{27}{5} \)
赤と緑の直線の交点の \( x \) 座標は，
　\( 75x-225=300x-1800 \)
　　　 \( 225x=1575 \)
　　　　　 \( x=7 \)
よって，●から●までかかった時間は，\( 7-\dfrac{27}{5}=\dfrac{8}{5} \) 分

大問４

問２　球 \( O \) の半径を求めなさい。

(1) 立体 \( Q \) の側面積を求めなさい。

大問５

(1)　\( x=2 \) のときと，\( x=6 \) のときの \( y \) の値を，それぞれ求めなさい。

(2)　\( 0≦x≦4 \) における \( x \) と \( y \) の関係を式で表しなさい。

(3)　\( 0≦x≦12 \) における \( x \) と \( y \) の関係を表したグラフ (実線部分)として最も適切なものを，次のア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。
ただし，ア～エのグラフ中の点線で表された直線①は，傾き１の直線を表している。

ノート
\( △OPQ \) の面積 \( y \; cm^2 \) を次のように考える。
\( PQ \) を延長した直線と \( OE \) を延長した直線の交点を \( R \) とするとき，
\( ( △OPQ \) の面積 \( y ) =( △OPR \) の面積\( )－( △OQR \) の面積\( ) \: (cm^2) \)
と考えることができる。このとき，線分 \( EQ，DP，
OR \) の長さ \( (cm) \) をそれぞれ \( x \) を用いて表すと，
\( EQ=x－8，DP＝ \) 　ア　， \( OR＝ \) 　イ　 と表せる。
これらを用いて \( y \) を \( x \) で表すと， \( y= \) 　ウ　 と表すことができる。

問３
正方形を８個並べてつくった，次の図形Ⅲおよび図形Ⅳにおいて，\( 24 <x<28 \) のとき，図形Ⅲにおける  \( △OPQ \) の面積を \( S_1 \: cm^2 \) ，図形Ⅳにおける \( △OPQ \) の面積を \( S_2 \: cm^2 \) とする。
\( S_1：S_2 \) を最も簡単な整数の比で答えなさい。

【解答】

● 図形Ⅲ
\( OQ=x \; cm \)，高さは \( 4cm \) なので，
\( S_1=x \times 4 \times \dfrac{1}{2}=2x \)

● 図形Ⅳ
問２と同じ考え方から，
\( △OPR = x \times (x-12) \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}x(x-12)\)
\( △OQR = x \times (x-16) \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}x(x-16)\)
となるので，
\( △OPQ = △OPR － △OQR \)  より，
　　 \( S_2=\dfrac{1}{2}x\{(x-12)-(x-16)\} \)
　　　　\( =\dfrac{1}{2}x \times 4 \)
　　　　\( =2x \)

よって，\( S_1：S_2=1：1 \)