大問１
(1) \( 4-7 \) を計算しなさい。
(2) \( 2x-(3x-y) \) を計算しなさい。
(3) \( (\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \) を計算しなさい。
(4) \( x^2+10x+24 \) を因数分解しなさい。
(5) ２次方程式 \( x^2-5x+5=0 \) を解きなさい。
大問２
周の長さが \( 4a \; cm \) の正方形があります。このとき，正方形の面積を，文字を使った式で表しなさい。
大問３
次の ア〜エ は，\( y=ax \) のグラフまたは \( y=\dfrac{a}{x} \) のグラフと，点 \( A(1，1) \) を表したものです。ア〜エ のうち，\( y=\dfrac{a}{x} \) の \( a \) の値が \( 1 \) より大きいグラフを表しているものはどれですか。一つ選び，その記号を書きなさい。
大問４
(1) 右の図のように，円錐の展開図で，側面になるおうぎ形の弧に対する弦をかき入れました。
次の ア〜エ のうち，この展開図を組み立てたときにできる円錐として正しいものはどれですか。一つ選び，その記号を書きなさい。
側面になるおうぎ形の半径にあたる線分は，組み立てたときぴったりくっつくので，かき入れた弦の始点と終点は同じ点になります。
ア〜エ のうち，弦の始点と終点は同じ点になっているのは ア，ウ
また，この弦の始点と終点はおうぎ形の弧上の点です。
おうぎ形の弧は，底面の円周とぴったり重なるので，
ア，ウ のうち，弦の始点が底面の円周上にあるのは，ウ
(2) 右の図で，四角形 \( ABCD \) は平行四辺形です。
\( DC=DE \) のとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，\( AB//CD \)
錯角は等しいので， \( ∠BAC＝∠DCE=70° \)
\( △DEC \) は \( DC=DE \) の二等辺三角形なので，
\( ∠DEC＝∠DCE=70° \)
\( ∠CDE＝180°-(∠DEC＋∠DCE)=40° \)
\( ∠ADC＝∠ADE＋∠CDE=63° \)
平行四辺形の向かい合う角は等しいので，\( ∠x＝∠ADC=63° \)
(3) 右の図は，線分 \( AB，AC，CB \) をそれぞれ直径として３つの円をかいたものです。
３つの円の弧で囲まれた色のついた部分の周の長さを求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とします。
大問５
次の図の直角三角形 \( ABC \) で，辺 \( AB \) を底辺とするときの高さを表す線分を作図しなさい。
ただし，作図には定規とコンパスを用い，作図に使った線は消さないでおくこと。
点 \( A \) を通り，辺 \( AB \) に垂直な線分を描きます。
手順１ 点 \( C \) を中心に辺 \( AB \) と交わる弧を描く。
（交点を \( D，E \) とします）
手順２ 点 \( D，E \) を中心に同じ半径の弧を描く。
（交点を \( F \) とします）
手順３ 点 \( C，F \) を通る直線を描く。
手順３の直線のうち，点 \( C \) から辺 \( AB \) までが
作図する線分になります。
大問６
あるクラスの生徒３２人に対して，通学時間の調査を行いました。次の図は，通学時間の分布のようすを箱ひげ図に表したものです。
この箱ひげ図から，次のようなことを読み取ることができます。
【 通学時間が１５分以上の生徒が８人以上いる。 】
このように読み取ることができるのはなぜですか。その理由を簡単に書きなさい。
ただし，理由には，次の語群から用語を1つ選んで用いること。
語群
【 第１四分位数 第２四分位数 第３四分位数 】
大問７
ＡさんとＢさんは，じゃんけんカードで遊んでいます。
グー，チョキ，パーの3種類のカードのうち何枚か持ち，これらを裏返してよくきったものから１枚ずつ出し合うことで，じゃんけんをします。
ただし，ＡさんとＢさんが，それぞれどのカードを出すことも同様に確からしいものとします。
このとき，次の (1) ，(2) の問いに答えなさい。
(1) Ａさんは２枚のカード，Ｂさんも２枚のカードを持っていて，それぞれ持っているカードから１枚だけ出し合います。Ａさんのカードは，グーとチョキです。Ｂさんのカードは，グーとパーです。
このとき，ＡさんがＢさんに勝つ確率を求めなさい。
すべての場合の数は４通りで，Ａさんが勝つのは１通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{1}{4} \)
(2) Ａさんは２枚のカード，Ｂさんは３枚のカードを持っていて，それぞれ持っているカードから１枚だけ出し合います。Ｂさんのカードは，グー，バー，バーです。
このとき，ＡさんがＢさんに勝つ確率が \( \dfrac{1}{2} \) となるような，Ａさんの２枚のカードの組み合わせを書きなさい。
Ａさんは２枚だけ持っているので，すべての場合の数は６通りになります。
Ａさんが勝つ確率が \( \dfrac{1}{2} \) ということは，３通りなので，
あてはまるのは，チョキとパーの場合になります。
大問８
みずきさんは，お菓子屋さんでお土産を選んでいます。店員さんから，タルト４個とクッキー６枚で１７７０円のセットと，タルト７個とクッキー３枚で２０８５円のセットをすすめられました。
このとき，タルト１個とクッキー１枚の値段をそれぞれ求めなさい。
ただし，用いる文字が何を表すかを示して方程式をつくり，それを解く過程も書くこと。
なお，消費税は考えないものとします。
大問９
右の図のように，円 \( O \) の周上に異なる３点 \( A，B，C \) があり，線分 \( AB \) は円 \( O \) の直径となっています。点 \( B \) を通る円 \( O \) の接線をひき，直線 \( AC \) との交点を \( D \) とします。
このとき、\( △ABC \)∽\( △ADB \) であることを証明しなさい。
\( △ABC \) と \( △ADB \) において，
直径 \( AB \) の円周角なので，
\( ∠ACB=90° \) ･･･ ①
直線 \( BD \) は，円 \( O \) の接線なので，
\( ∠ABD=90° \) ･･･ ➁
①➁より，\( ∠ACB=∠ABD=90° \) ･･･ ➂
\( ∠A \) は共通 ･･･ ④
➂④より，２組の角の大きさが等しいので，
\( △ABC \)∽\( △ADB \)
大問１０
飛行機に乗るときは，荷物の中に危険物が入っていないか確認するため，荷物をX線検査機に通す検査をすることになっています。
次の図Ⅰは，その荷物検査のようすを真上から見たものです。スーツケースなどの荷物は，ベルトコンベアに乗せられ，矢印 (⇨) の方向に一定の速さで運ばれて，X線検査機を通過します。スーツケースＡが，Ｘ線検査機に入ってから \( x \; cm \) 進んだとき，スーツケースＡとスーツケースＢがＸ線検査機の中に入っている部分の上面の面積の合計を \( y \; cm^2 \) とします。２つのスーツケースの間の距離は \( 40 \; cm \) です。また，Ｘ線検査機の長さを \( 1 cm \) ，スーツケースＢの上面の面積を \( S \; cm^2 \) とします。なお，どちらのスーツケースも直方体であると考えます。
下の図Ⅱは，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものです。
このとき，次の (1) ，(2) の問いに答えなさい。
(1) Ｘ線検査機の長さ \( l \) と，スーツケースＢの上面の面積 \( S \) を求めなさい。
\( 0～60 \; cm \) ･･･ スーツケースＡが検査機の中に入っていく
\( 60～100 \; cm \) ･･･ スーツケースＡが検査機に入りきって，スーツケースＢが入るまでの間
\( 100～145 \; cm \) ･･･ スーツケースＢが検査機の中に入っていく
\( 145～150 \; cm \) ･･･ スーツケースＢが検査機に入りきって，スーツケースＡが出始めるまでの間
\( 150～210 \; cm \) ･･･ スーツケースＡが検査機から出ていく
つまり，スーツケースＡは，\( 0 \; cm \) で検査機の中に入り始め，\( 150 \; cm \) で出始めるので，
Ｘ線検査機の長さ \( l=150 \; cm \)
また，\( y \) 軸の \( 2400 \; cm^2 \) は，スーツケースＡの上面の面積，
\( 3750 \; cm^2 \) は，スーツケースＡとＢの上面の面積の合計を表しているので，
スーツケースＢの上面の面積 \( S=3750-2400=350 \; (cm^2) \)
(2) グラフにおいて，\( x \) の変域が \( 150≦x≦210 \) のとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
大問１１
右の図のように，関数 \( y=x^2 \) のグラフ上に３点 \( A，B，C \) があり，関数 \( y=-\dfrac{1}{3}x^2 \) のグラフ上に点 \( D \) があります。\( A，B \) の \( x \) 座標はそれぞれ \( -2，2 \) です。
また，\( C \) と \( D \) の \( x \) 座標は等しく，\( 2 \) より大きくなっています。
このとき，次の (1) ，(2) の問いに答えなさい。
(1) 関数 \( y=x^2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 2 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
(2) \( △ABC \) と \( △ABD \) の面積が等しいとき，点 \( C \) の \( x \) 座標を求めなさい。
\( △ABC \) と \( △ABD \) の底辺を線分 \( AB \) と考えると，
\( AB \) は共通なので，高さが等しいとき，面積も等しくなります。
点 \( C \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
点 \( C \) の \( y \) 座標は，\( y=t^2 \)
点 \( D \) の \( y \) 座標は，\( y=-\dfrac{1}{3}t^2 \)
また，点 \( A，B \) の \( y \) 座標は， \( y=4 \) なので，
\( △ABC \) の高さは，\( t^2-4 \)
\( △ABD \) の高さは，\( \dfrac{1}{3}t^2+4 \)
と表せます。
よって，
\( t^2-4=\dfrac{1}{3}t^2+4 \)
\( 3t^2-12=t^2+12 \)
\( 2t^2=24 \)
\( t^2=12 \)
\( t=2\sqrt{3} \) ( \( t>2 \) より）
大問１２
右の図は，\( AB=6cm，AD=5cm，AE=7cm \) の直方体 \( ABCD-EFGH \) です。
このとき，次の (1) ，(2) の問いに答えなさい。
(1) 線分 \( AF \) の長さを求めなさい。
(2) 辺 \( CG \) 上に，\( PG=2cm \) となるような点 \( P \) をとったとき，四面体 \( AHFP \) の体積を求めなさい。
線分 \( AP \) と線分 \( EG \) を延長したときの交点を点 \( Q \) とすると，
[四面体\( AHFP \)]\( = \)[三角すい\( A-HFQ \)]\( – \)[三角すい\( P-HFQ \)]
で求められます。
● \( △HFQ \) の面積
線分 \( EG \) と線分 \( FH \) の交点を点 \( J \) とすると，
長方形（平行四辺形）の対角線はそれぞれの中点で交わるので，\( FJ=JH \)
\( △FJQ \) と \( △HJQ \) は底辺の長さが等しく，高さが共通なので，\( △FJQ=△HJQ \)
ここから，\( △HFQ=2△FJQ \) として求めます。
面 \( AEQ \) に注目すると，\( △AEQ \) ∽ \( △PGQ \)，\( AE=7cm，PG=2cm \) より，
\( EG：GQ=5：2 \)
点 \( Q \) から線分 \( EF \) の延長線に垂線をひき，交点を \( I \) とします。
面 \( EIQ \) に注目すると，\( △EFG \) ∽ \( △EIQ \)，\( EG：GQ=5：2 \) より，
\( FG：IQ=5：7 \)
\( FG=5cm \) より，\( IQ=7cm \)
\( △EFQ=6 \times 7 \times \dfrac{1}{2}=21 \; (cm^2) \)
\( △EFJ \) は四角形 \( EFGH \) の \( \dfrac{1}{4} \) なので，
\( △EFJ=6 \times 5 \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{2} \; (cm^2) \)
よって，
\( △FJQ=△EFQ-△EFJ=21-\dfrac{15}{2}=\dfrac{27}{2} \; (cm^2) \)
\( △HFQ=2△FJQ=2 \times \dfrac{27}{2}=27 \; (cm^2) \)
\( =27 \times 7 \times \dfrac{1}{3}-27 \times 2 \times \dfrac{1}{3} \)
\( =27 \times (7-2) \times \dfrac{1}{3} \)
\( =45 \; (cm^3) \)
