大問１
(1) \( \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{2} \)
(2) \( 6+4 \times (-3) \)
(3) \( 8x+9y+7(x-y) \)
(4) \( 8a^3b \div (-6ab)^2 \times 9b \)
(5) \( (x+1)(x-5)+(x+2)^2 \)
(6) \( \sqrt{30} \div \sqrt{5}+\sqrt{54} \)
大問２
(1) 一次方程式 \( 5x+8=3x-4 \) を解きなさい。
(2) 二次方程式 \( 2x^2+5x-1=0 \) を解きなさい。
(3) \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=2 \) のとき \( y=3 \) である。\( x=5 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。
(4) 右の図は，点 \( O \) を中心とする円で，2点 \( A，B \) は円 \( O \) の周上にある。点 \( C \) は円 \( O \) の外部にあり，\( AC=BC \) である。線分 \( BC \) と円 \( O \) との交点のうち，\( B \) と異なる点を \( D \) とする。\( ∠ACB=54°，∠AOB=140° \) であるとき，\( ∠OAD \) の大きさを求めなさい。
\( ∠ADB \) は弧 \( AB \) に対する円周角なので，
\( ∠ADB=\dfrac{1}{2}∠AOB=70° \)
\( ∠ADB \) は \( △ACD \) の外角なので，
\( ∠CAD=∠ADB-∠ACD=70-54=16° \)
\( △OAB \) は \( OA=OB \) の二等辺三角形なので，
\( ∠OAB=\dfrac{1}{2}(180-∠AOB)=20° \)
仮定より，\( △ABC \) は二等辺三角形なので，
\( ∠CAB=\dfrac{1}{2}(180-∠ACB)=63° \)
以上より，
\( ∠CAD+∠OAD+∠OAB=∠CAB \)
\( 16+∠OAD+20=63 \)
\( ∠OAD=27° \)
(5) 右の図のように，平行でない２本の直線 \( l，m \) があり，\( l \) 上に点 \( A， m \) 上に点 \( B \) がある。線分 \( AB \) 上に， \( l \) と \( m \) の両方に接する円の中心 \( O \) をとりたい。点 \( O \) を，定規とコンパスを使って作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
\( l \) と \( m \) の交点を \( P \) とすると，点 \( O \) は，\( ∠APB \) の二等分線上にあります。
手順１ \( P \) を中心に円弧を描く。
（ \( l，m \) との交点を \( C，D \) とします ）
手順２ \( C，D \) を中心に円弧を描く。
（ 交点を \( E \) とします ）
手順３ 直線 \( EP \) を描く。
直線 \( EP \) と線分 \( AB \) の交点が点 \( O \) になります。
円の中心，接線の交点，接点の３点でできる三角形が合同になるからです。
\( △OPS \) と \( △OPT \) において，
円の半径と接線は接点において垂直に交わるので，
\( ∠OSP=∠OTP=90° \) ･･･ ➀
円 \( O \) の半径なので，\( OS=OT \) ･･･ ➁
\( OP \) は共通 ･･･ ➂
①➁➂より，直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので，
\( △OPS≡△OPT \)
合同な三角形の対応する角の大きさは等しいので，
\( ∠OPS=∠OPT \)
よって，円の中心と接線の交点を通る直線は二等分線になるといえます。
(6) 次の図のように，箱Ａと箱Ｂの２つの箱がある。箱Ａには \( 1，2，3，4 \) の数字が１つずつ書かれた４枚のカードが，箱Ｂには \( 1，2，3，4，5 \) の数字が１つずつ書かれた５枚のカードが入っている。箱Ａ，箱Ｂの順に，それぞれの箱から１枚ずつカードを取り出し，取り出した順に左から右にカードを並べて２けたの整数をつくる。
➀ つくることができる２けたの整数のうち，６の倍数は何個できるか，求めなさい。
➁ つくることができる２けたの整数が３の倍数になる確率を求めなさい。ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
すべての組み合わせは２０通り，３の倍数になるのは７通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{7}{20} \)
(7) 健太さんと直樹さんは，航平さんと，運動公園にある１周 \( 2400m \) のジョギングコースを走った。３人ともスタート地点から同じ方向に一定の速さで走り，健太さんと直樹さんは，健太さんから直樹さんの順にそれぞれ１周ずつ，航平さんは一人で２周走った。
また、健太さんと直樹さんは次のように走った。
・ 健太さんは走り始めてから \( 12 \) 分後に１周を走り終え，直樹さんへ引き継いだ。
・ 直樹さんは引き継ぎと同時に走り始め，引き継ぎから \( 15 \) 分後に１周を走り終えた。
一方，航平さんは次のように走った。
・ 航平さんは，健太さんが走り始めてから \( 4 \) 分後に走り始めた。
・ 健太さんが１周を走り終えたとき，航平さんは１周目の途中を走っており，
健太さんと \( 640 \; m \) 離れていた。
・ 航平さんは２周目の途中で直樹さんを追いこし，２周を走り終えた。
右の図は，健太さんが走り始めてから \( x \) 分後の，健太さんと直樹さんが走った距離の合計を \( y \; m \) として， \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものに，航平さんが走ったようすをかき入れたものである。
➀ 航平さんの走る速さは毎分何 \( m \) か，求めなさい。
➁ 航平さんが直樹さんと並んだのは，健太さんが走り始めてから何分何秒後か，求めなさい。
➀より，航平さんは毎分 \( 220 \; m \) で走ったので，
直線の式を \( y=220x+b \) とし，
\( x=4，y=0 \) を代入すると，
\( 0=220 \times 4+b \)
\( b=-880 \)
よって，航平さんが走った状態を表す式は，
\( y=220x-880 \) ･･･ ➀
直樹さんは，\( 2400 \; m \) を \( 15 \) 分かけて走ったので，走った速さ（傾き）は，
\( 2400 \div 15=160 \; m \)
直線の式を \( y=160x+b \) とし，
\( x=12，y=2400 \) を代入すると，
\( 2400=160 \times 12+b \)
\( b=480 \)
よって，航平さんが走った状態を表す式は，
\( y=160x+480 \) ･･･ ➁
➀➁を連立方程式として解くと，
\( x=\dfrac{68}{3} \) （分）
\( \dfrac{68}{3} \) 分 \( =22\dfrac{2}{3} \) 分 \( =22 \) 分 \( 40 \) 秒
連立方程式の途中式
\( \left\{ \begin{array}{}
y=220x-880 ･･･ ➀ \\
y=160x+480 ･･･ ➁
\end{array} \right. \)
\( 220x-880=160x+480 \)
\( 60x=1360 \)
\( x=\dfrac{68}{3} \)
大問３
次の図は，美咲さんが通う高校の，１年１組３９人と１年２組３９人の反復横とびの回数の測定結果を，体育委員である美咲さんが箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の各問いに答えなさい。
(1) 次の ア ， イ に当てはまる数を入れて，文を完成しなさい。
さらに美咲さんは，その測定結果をヒストグラムに表した。
(2) 次のア〜エのヒストグラムのうち，１組と２組を表しているものはどれか。それぞれ記号で答えなさい。
なお，ヒストグラムの階級は，４０回以上４４回未満，４４回以上４８回未満などのように，階級の幅を４回として分けている。
(3) 美咲さんと同じ体育委員の大輔さん，由衣さん，雄太さん，恵子さんは，箱ひげ図やヒストグラムから読みとれることについて，それぞれ次のように考えた。
大輔さん：回数の範囲は，１組よりも２組の方が大きい。
由衣さん：回数の四分位範囲は，１組よりも２組の方が大きい。
雄太さん：回数が６４回以上である人数は，１組よりも２組の方が多い。
恵子さん：１組の回数の平均値は，６０回である。
４人のうち，正しい読みとりをしているのは誰か。次のア〜エからすべて選び，記号で答えなさい。
ア 大輔さん イ 由衣さん ウ 雄太さん エ 恵子さん
大問４
図1は，底面の半径が \( 3 \; cm \) ，母線の長さが \( 6 \; cm \) の円すいの形をした容器Ａである。底面の円の中心を \( O \) ，頂点を \( P \) とすると，底面と線分 \( OP \) は垂直に交わっている。図１の容器Ａに球Ｂを，容器Ａの内側の面にぴったりつくように入れたところ，図２のように球Ｂの中心が \( O \) と重なった。図３は，図２の立面図である。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とし，容器Ａの厚さは考えないものとする。また，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。
(1) 容器Ａの容積を求めなさい。
容器Ａを正面から見たとき，半分の三角形が
短辺と斜辺の比が \( 1：2 \) の直角三角形になっているので，
高さ \( OP \) の比は \( \sqrt{3} \) になります。
\( OP：3=\sqrt{3}：1 \)
\( OP=3\sqrt{3} \; (cm) \)
よって，容器Ａの容積は，
\( \pi{} \times 3^2 \times 9\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}=9\sqrt{3}\pi{} \; (cm^3) \)
(2) 容器Ａの側面積を求めなさい。
容器Ａの展開図を考えると，
円 \( O \) の周と側面を展開したおうぎ形の弧はぴったり重なっていたので，長さは等しくなっています。
おうぎ形の中心角を \( x° \) とすると，
\( 2\pi{} \times 3=2\pi{} \times 6 \times \dfrac{x}{360} \)
\( \dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{360} \)
\( x=180 \)
なので，このおうぎ形は半円になっています。
よって，側面席は，
\( \pi{} \times 6^2 \times \dfrac{180}{360}=18\pi{} \; (cm^2) \)
(3) 球Ｂの半径を求めなさい。
図３における容器Ａと球Ｂの接点を点 \( Q \) とすると，
\( OQ \) が球Ｂの半径になります。
(1) より，容器Ａを正面から見たとき，半分の三角形は \( 1：2： \sqrt{3} \) の直角三角形なので， \( ∠OPQ=30° \)
また，\( △OPQ \) も \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( OQ=\dfrac{1}{2}OP=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)
(4) 図４のように，容器Ａと球Ｂの間にちょうど入るような球Ｃを入れた。図５は，図４の立面図である。球Ｃの体積を求めなさい。
球Ｃの中心を \( O’ \)，容器Ａと球Ｃの接点を点 \( R \)，
球Ｃの半径を \( r \; cm \) とすると，
\( △O’PR \) も \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( O’P=2r \; cm \) となります。
また，球Ｂと球Ｃの接点を点 \( S \) とすると，
\( OS \) は球Ｂの半径になっているので，\( OS=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; cm \)
\( O’S \) は球Ｃの半径になっているので，\( O’S=r \; cm \)
(1) より，\( OP=3\sqrt{3} cm \) なので，
\( OP=OS+O’S＋O’P \)
\( 3\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+r＋2r \)
\( 3r=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)
\( r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)
よって，球Ｃの体積は，
\( \dfrac{4\pi{}}{3} \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi{} \; (cm^3) \)
大問５
右の図のように，関数 \( y=ax^2 \) ( \( a \) は定数) ･･･ ① のグラフ上に２点 \( A，B \) がある。\( A \) の座標は \( (-1， 2) \)， \( B \) の \( y \) 座標は \( 8 \) で，\( B \) の \( x \) 座標は正である。また，点 \( C \) は直線 \( AB \) と \( y \) 軸との交点であり，点 \( O \) は原点である。
このとき，次の各問いに答えなさい。
(1) \( a \) の値を求めなさい。
(2) 点 \( B \) の \( x \) 座標を求めなさい。
(3) 直線 \( AB \) の式を求めなさい。
(4) 線分 \( BC \) 上に２点 \( B，C \) とは異なる点 \( P \) をとる。
\( △OPC \) の面積が，\( △AOB \) の面積の \( \dfrac{1}{4} \) 倍となるときの \( P \) の座標を求めなさい。
(2) より，直線 \( AB \) の式は \( y=2x+4 \) なので，\( OC=4 \)
点 \( P \) の \( x \) 座標の値を \( s \) とすると，
\( △OPC=\dfrac{1}{4}△AOB \)
\( 4△OPC=△AOB \)
\( 4△OPC=△AOC+△BOC \)
\( 4 \times \left(4 \times s \times \dfrac{1}{2} \right)=\left(4 \times 1 \times \dfrac{1}{2} \right)+\left(4 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \right) \)
\( 8s=6 \)
\( s=\dfrac{3}{4} \)
点 \( P \) は直線 \( AB \) 上の点であり，
(3) より，直線 \( AB \) の式は \( y=2x+4 \) なので，\( x=\dfrac{3}{4} \) を代入すると，
\( y=2 \times \dfrac{3}{4}+4=\dfrac{11}{2} \)
よって， \( P \) の座標は，\( P\left(\dfrac{3}{4}，\dfrac{11}{2} \right) \)
大問６
右の図は，点 \( O \) を中心とする円で，線分 \( AB \) は円の直径である。点 \( C \) は弧 \( AB \) 上にあり，点 \( D \) は線分 \( BC \) 上にあって，\( OD//AC \) である。また，点 \( E \) は \( OD \) の延長と \( B \) における円の接線との交点である。
このとき，次の各問いに答えなさい。
(1) \( △ABC \) ∽ \( △OEB \) であることを証明しなさい。
\( △ABC \) と \( △OEB \) において，
直径 \( AB \) に対する円周角なので，\( ∠ACB=90° \) ･･･ ➀
円の半径と接線は接点において垂直に交わるので，
\( ∠OBE=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠ACB=∠OBE \) ･･･ ➂
\( OD//AC \) より，同位角は等しいので，
\( ∠CAB=∠BOE \) ･･･ ④
➂④より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABC \) ∽ \( △OEB \)
(2) \( AB=10 \; cm，BC=8 \; cm \) のとき，
① 線分 \( AC \) の長さを求めなさい。
② 線分 \( BE \) の長さを求めなさい。
(1) より，\( △ABC \) ∽ \( △OEB \) であり，
直径 \( AB=10 \; cm \) より，半径 \( OB=5 \; cm \)
仮定より，\( BC=8 \; cm \)
(2)➀ より，\( AC=6 \; cm \)
なので，
\( AC：OB=CB：BE \)
\( 6：5=8：BE \)
\( 6BE=40 \)
\( BE=\dfrac{20}{3} \; (cm) \)
