大問１
問１ (1)～(3)の計算をしなさい。
(1) \( 9-(-5) \)
(2) \( (-3)^2 \div \dfrac{1}{6} \)
(3) \( \sqrt{2} \times \sqrt{14} \)
問２ 右の図のように，円筒の中に１から９までの数字が１つずつ書かれた９本のくじがあります。円筒の中から１本のくじを取り出し，くじに書かれた数が偶数のとき教室清掃の担当に，奇数のとき廊下清掃の担当に決まるものとします。 Ａさんが９本のくじの中から１本を取り出すとき，Ａさんが教室清掃の担当に決まる確率を求めなさい。
問３ 下の表は，ある一次関数について，\( x \) の値と \( y \) の値の関係を示したものです。
表の \( \fbox{ } \) に当てはまる数を書きなさい。
問４ 右の図のように，底面の半径が \( 6 \; cm \) ，体積が \( 132\pi{} \; cm^3 \) の円錐があります。この円錐の高さを求めなさい。
問５ \( x^2- \) \( x+14 \) が \( (x-a)(x-b) \) の形に因数分解できるとき， に当てはまる自然数を２つ書きなさい。ただし，\( a，b \) はいずれも自然数とします。
問６ 右の図のように，\( ∠ACB=75°，BA=BC \) の二等辺三角形 \( ABC \) があります。\( △ABC \) の内部に点 \( P \) をとり，\( ∠PBC=∠PCB=15° \) となるようにします。点 \( P \) を定規とコンパスを使って作図しなさい。
ただし，点を示す記号 \( P \) をかき入れ，作図に用いた線は消さないこと。
\( ∠PBC=15°=\dfrac{1}{2}∠ABC \) より，直線 \( PB \) は \( ∠ABC \) の二等分線になります。
また，\( ∠PBC=∠PCB=15° \) より，\( △PBC \) は \( PB=PC \) の二等辺三角形なので，
点 \( P \) から線分 \( BC \) に垂線をひくと，線分 \( BC \) の垂直二等分線になります。
つまり，\( ∠B \) の二等分線と線分 \( BC \) の垂直二等分線を作図した交点が点 \( P \) になります。
手順１ 点 \( B \) を中心に線分 \( AB，BC \) と交わるように弧を描く。
（交点を \( D，E \) とします。）
手順２ 点 \( D，E \) を中心に弧を描く。
（交点を \( F \) とします。）
手順３ ２点 \( B，F \) を通る直線を描く。
手順４ 点 \( B，C \) を中心に弧を描く。
（交点を \( G，H \) とします。）
手順５ ２点 \( G，H \) を通る直線を描く。
手順３と手順５の直線の交点が点 \( P \) になります。
大問２
図１のような，小学校で学習したかけ算九九の表があります。優さんは，太線で囲んだ数のように，縦横に隣り合う４つの数を 
としたとき，４つの数の和 \( a+b+c+d \) がどんな数になるかを考えています。
例えば，
のとき \( 8+10+12+15=45 \) ，
のとき \( 10+15+12+18=55 \)
となります。
優さんは，\( 45=5×9，55=5×11 \) となることから，次のように予想しました。
（予想Ⅰ）
縦横に隣り合う４つの数の和は，\( 5 \) の倍数である。
次の問いに答えなさい。
問１ 予想Ⅰが正しいとはいえないことを，次のように説明するとき， ア ～ オ に当てはまる数を，それぞれ書きなさい。
（説明）
縦横に隣り合う４つの数が，
\( a= \) ア ，\( b= \) イ ，\( c= \) ウ ，\( d= \) エ のとき，
４つの数の和 \( a+b+c+d \) は， オ となり，\( 5 \) の倍数ではない。
したがって,縦横に隣り合う４つの数の和は，\( 5 \) の倍数であるとは限らない。
問２ 優さんは，予想Ｉがいつでも成り立つとは限らないことに気づき，縦横に隣り合う４つの数それぞれの，かけられる数とかける数に注目して，あらためて調べ，予想をノートにまとめました。
（優さんのノート）
\( 8 \) \( + \) \( 10 \) \( + \) \( 12 \) \( + \) \( 15 \)
\( =( \) ➁ \( \times \) 4⃣ \( )+( \) ➁ \( \times \) 5⃣ \( )+( \) ➂ \( \times \) 4⃣ \( )+( \) ➂ \( \times \) 5⃣ \( ) \)
\( = \) ➁ \( \times ( \) 4⃣ \( + \) 5⃣ \( )+ \) ➂ \( \times ( \) 4⃣ \( + \) 5⃣ \( ) \)
\( =( \) ➁ \( + \) ➂ \( ) \times ( \) 4⃣ \( + \) 5⃣ \( ) \)
かけられる数の和 かける数の和
縦横に隣り合う４つの数の和は，（かけられる数の和）\( \times \)（かける数の和）である。
予想Ⅱがいつでも成り立つことを，次のように説明するとき， ア ～ キ に当てはまる式を，それぞれ書きなさい。
(説明)
\( a \) を，かけられる数 \( m \) ，かける数 \( n \) の積として \( a=mn \) とすると，
\( b，c，d \) は，それぞれ \( m，n \) を使って，
\( b= \) ア ，\( c= \) イ ，\( d= \) ウ と表すことができる。
このとき，４つの数の和 \( a+b+c+d \) は，
\( a+b+c+d=mn+ \) ア \( + \) イ \( + \) ウ
\( =4mn+2m+2n+1 \)
\( =(2m+1)(2n+1) \)
\( =\{ \) エ \( +( \) オ \( )\}\{ \) カ \( +( \) キ \( )\} \) となる。
したがって，縦横に隣り合う４つの数の和は，
（かけられる数の和）\( \times \)（かける数の和）である。
問３ 優さんは，図２の太線で囲んだ数のように，縦横に隣り合う６つの数の和について調べてみたところ，縦横に隣り合う６つの数の和も，(かけられる数の和)×(かける数の和) となることがわかりました。
図２において，\( p+g+r+s+t+u=162 \) となるとき， \( p \) のかけられる数 \( x \)，かける数 \( y \) の値を，それぞれ求めなさい。
大問３
下の図のように，２つの関数 \( y=ax^2 \) (\( a \) は正の定数) ･･･ ➀，\( y=-3x^2 \) ･･･ ➁ のグラフがあります。➀のグラフ上に点 \( A \) があり，点 \( A \) の \( x \) 座標を正の数とします。点 \( A \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と➀のグラフとの交点を \( B \) とします。点 \( O \) は原点とします。
次の問いに答えなさい。
問１ \( a=2 \) とします。点 \( A \) の \( y \) 座標が \( 8 \) のとき，点 \( A \) と点 \( B \) との距離を求めなさい。
問２ ➀について \( x \) の値が \( 1 \) から \( 3 \) まで増加するときの変化の割合が，一次関数 \( y=x+2 \) について \( x \) の値が \( -1 \) から \( 2 \) まで増加するときの変化の割合に等しいとき， \( a \) の値を求めなさい。
問３ \( a=\dfrac{1}{3} \) とします。点 \( A \) の \( x \) 座標を \( 3 \) とします。➁のグラフ上に点 \( C \) を，\( x \) 座標が \( 1 \) となるようにとります。点 \( C \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と➁のグラフとの交点を \( D \) とします。線分 \( AB，CD \) 上にそれぞれ点 \( P，Q \) をとり，点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とします。ただし，\( 0<t≦1 \) とします。
陸さんは，コンピュータを使って直線 \( PQ \) を動かしたところ，直線 \( PQ \) が原点 \( O \) を通るとき，台形 \( ABDC \) の面積を２等分することに気づきました。
直線 \( PQ \) が原点 \( O \) を通るとき，次の(1) ，(2)に答えなさい。
(1) 点 \( Q \) の座標を，\( t \) を使って表しなさい。
点 \( A \) は \( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 3 \) なので，
\( y \) 座標は \( y=\dfrac{1}{3} \times 3^2=3 \)
点 \( A \) の \( y \) 座標と点 \( B，P \) の \( y \) 座標は等しいので，
点 \( B，P \) の \( y \) 座標も \( 3 \)
つまり，点 \( P \) の座標は，\( P(t，3) \)
直線 \( PQ \) は原点 \( O \) を通るので，
直線 \( PQ \) の式は，\( y=\dfrac{3}{t}x \)
また，点 \( C \) は \( y=-3x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 1 \) なので，
\( y \) 座標は \( y=-3 \times 1^2=-3 \)
点 \( C \) の \( y \) 座標と点 \( D，Q \) の \( y \) 座標は等しいので，
点 \( D，Q \) の \( y \) 座標は \( -3 \)
直線 \( PQ \) の式 \( y=\dfrac{3}{t}x \) に \( y=-3 \) を代入すると，
\( -3=\dfrac{3}{t}x \)
\( x=-t \)
以上より，点 \( Q \) の座標は，\( Q(-t，-3) \)
(2) 直線 \( PQ \) が台形 \( ABDC \) の面積を２等分することを説明しなさい。
\( A(3，3) \)，\( B(-3，3) \)，\( P(t，3) \) より，
\( AP=3-t \)，\( BP=t-(-3)=t+3 \)
\( C(1，-3) \)，\( B(-1，-3) \)，\( Q(-t，-3) \) より，
\( CQ=1-(-t)=1+t \)，\( DQ=-t-(-1)=-t+1 \)
となるので，
四角形 \( APQC \) の面積は，
\( \{(3-t)+(1+t) \} \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =4 \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =12 \)
四角形 \( BPQD \) の面積は，
\( \{ (t+3)+(-t+1) \} \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =4 \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =12 \)
よって，台形 \( ABDC= \) 四角形 \( APQC+ \) 四角形 \( BPQD \) より，
直線 \( PQ \) は台形 \( ABDC \) の面積を２等分する。
大問４
右の図のように，円 \( O \) の円周上に３点 \( A，B，C \) をとります。\( ∠BAC \) の二等分線と線分 \( BC \) との交点を \( D \) とします。
次の問いに答えなさい。
問１ \( AD=CD，∠BAD=35° \) のとき，\( ∠ADC \) の大きさを求めなさい。
線分 \( AD \) は\( ∠BAC \) の二等分線なので，
\( ∠DAC=∠BAD=35° \)
\( △ADC \) は\( AD=CD \) の二等辺三角形なので，
\( ∠DCA=∠DAC=35° \)
よって，
\( ∠ADC=180°-(∠DCA+∠DAC)=110° \)
問２ 悠斗さんと由美さんは，コンピュータを使って，画面のように，線分 \( AD \) を延長した直線と円 \( O \) との交点を \( E \) としました。
次に，点 \( A，B，C \) を円周上で動かし，悠斗さんは「 \( △ABD \) と \( △CED \) が相似である」，由美さんは「 \( △ABD \) と \( △AEC \) が相似である」と予想し，それぞれ予想が成り立つことを証明しました。
(悠斗さんの証明)
\( △ABD \) と \( △CED \) において，
ア に対する イ は等しいから，
\( ∠ABD=∠CED \) ･･･ ➀
また、対頂角は等しいから，
\( ∠ADB=∠CDE \) ･･･ ➁
➀，➁から，
ウ ので，
\( △ABD \) ∽ \( △CED \)
(由美さんの証明)
\( △ABD \) と \( △AEC \) において，
ア に対する イ は等しいから，
\( ∠ABD=∠AEC \) ･･･ ➀
また,仮定から，
\( ∠BAD= ∠EAC \) ･･･ ➁
➀，➁から，
ウ ので，
\( △ABD \) ∽ \( △AEC \)
次の (1) ，(2) に答えなさい。
(1) ア～ウには，それぞれ共通する言葉が入ります。ア～ウに当てはまる言葉をそれぞれ書き入れ，証明を完成させなさい。
(2) \( AB=AD \) のとき，\( △ABE≡△ADC \) を証明しなさい。なお，悠斗さんや由美さんが証明したことを用いてもよいものとします。
\( △ABE \) と \( △ADC \) において，
仮定より，\( ∠BAE=∠DAC \) ･･･ ➀
弧 \( AB \) の円周角なので，\( ∠BEA=∠DCA \) ･･･ ➁
\( △ABD \) ∽ \( △AEC \) より，
\( AB=AD \) のとき，\( AE=AC \) ･･･ ➂
➀➁➂より，１組の辺とその両端の角が等しいので，
\( △ABE≡△ADC \)
大問５
Ａ市に住む中学生の翼さんは，ニュースで聞いたことをもとに，先生と話し合っています。
先生 「先生が子どもだった５０年くらい前は，もっと涼しかったんですけどね。」
翼さん 「どのくらい涼しかったんですか?」
先生 「最高気温が２５℃以上の『夏日』は，最近よりずっと少なかったはずです。」
翼さん 「そうなんですか。 家に帰ったら調べてみますね。」
次の問いに答えなさい。
問１ 翼さんは，今から５０年前と２０２１年の夏日の日数を比べてみることにしました。翼さんは，Ａ市の１９７２年と２０２１年における，７月と８月の日ごとの最高気温を調べ，その結果をノートにまとめました。次のア～ウ に当てはまる数を，それぞれ書きなさい。
(翼さんのノート１)
【わかったこと】
Ａ市の７～８月の夏日（最高気温が２５℃以上）
の日数は，
１９７２年が ア 日，
２０２１年が イ 日である。
【結論】
Ａ市の夏日の日数は，
１９７２年と２０２１年とでは
ウ 日しか変わらない。
問２ 翼さんは，ノート１を見せながら，先生と話し合っています。
先生 「本当ですか。ん? ７月と８月以外の月でも夏日になることがありますよ。
それに，調べた１９７２年と２０２１年の夏日の日数が，たまたま多かった，
あるいは，たまたま少なかったという可能性もありますよね。」
翼さん 「たしかにそうですね。 もう少し調べてみます!」
翼さんは，Ａ市の夏日の年間日数について，１９６２年から１９８１年までの２０年間 (以下，「Ｘ期間」とします。) と，２０１２年から２０２１年までの１０年間 (以下，「Ｙ期間」とします。) をそれぞれ調べ，その結果をノートにまとめることにしました。
(翼さんのノート２)
【まとめ】
Ａ市の夏日の年間日数について，Ｘ期間とＹ期間を比較した結果，５０年くらい前は，今と比べて といえる。
次の (1)～(3) に答えなさい。
(1) ノート２の度数分布表をもとに，Y期間の相対度数の度数折れ線(度数分布多角形)を，解答用紙にかき入れなさい。
(2) ノート２において，翼さんが「度数」ではなく「相対度数」をもとに比較している理由を説明しなさい。
(3) に当てはまる言葉として最も適当なものを，次のア～ウから選びなさい。また，選んだ理由を，Ｘ期間とＹ期間の２つの相対度数の度数折れ線 (度数分布多角形)の特徴と，その特徴から読み取れる傾向をもとに説明しなさい。
ア 暑かった イ 変わらなかった ウ 涼しかった
