ハラユタカ

下の表のように，連続する自然数を１から順番に，次の規則にしたがって並べていく。 このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。 （１）下の説明は，格段に並べた数について述べたものである。（ア）（イ）説明 各段の最大の数は４の倍数となっていることから，ｎ段目の最大の数はｎを用いて（ア）と表される。 したがって，ｎ段目の最小の数はｎを用いて（イ）と表される。

問題 同じ値段のりんごを７個買うには，持っているお金では１２０円足りませんが，６個買うと４０円余ります。 りんご１個の値段はいくらか求めなさい。 解説 この問題では，持っているお金を りんごを７個買う場合の合計金額との差額 りんごを６個買う場合の合計金額との差額 の２種類の方法を使って文字式で表すことにより，方程式を立てることができます。 りんごを７個買う場合の合計金額との差額 ＂りんごを７個買うには，持っているお金では１２０円足りません＂ということは， ＂持っているお金＂は，＂りんご７個の合計金額＂より１２０円少ない金額です。

右の図のように，連続する自然数をある規則にしたがって，１番目，２番目，３番目，･･･と並べていく。 このとき，３番目右上すみにある自然数は１６，左下すみにある自然数は１０となっている。 次の問い（１）～（３）に答えなさい。

１．△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似であり，その相似比は１：３である。このとき，△ＤＥＦの面積は△ＡＢＣの何倍か答えなさい。 ２．右の図のように２つの直線 \(l\) ， \(m\) が，３つの直線 \(p\) ，\(q\) ，\(r\) のと交わるとき， \(x\) の値を求めなさい ３．右の図のような直角三角形ＡＢＣがある。△ＡＣＤがＡＣ＝ＡＤの直角二等辺三角形となるようにＤをとる。また，点Ｄから辺ＡＢに垂線をひき，辺ＡＢとの交点をＥとする。 このとき，△ＡＢＣ∽△ＡＣＤを証明しなさい。

問題 シュークリームを２０個買おうと思っていたが，持っていたお金では１４０円足りなかったので， １８個買ったところ，１２０円余った。持っていたお金はいくらか求めなさい。 解説 この問題では，‟シュークリームを買うために必要なお金”と ‟持っていたお金”の関係を 方程式で表すことで求めることができます。 まずは，問題文の内容を方程式に変換します。 ‟シュークリームを２０個買おうと思っていたが，持っていたお金では１４０円足りなかった” ということは，‟シュークリーム２０個分のお金”よりも、‟持っていたお金”は１４０円少なかった。

１．一の位の数字が４である２けたの自然数Ａが，Ａの各位の数字の和の７倍に等しいとき，自然数Ａを求めなさい。 ２．２けたの自然数Ａは，各位の数字の和の４倍に等しく，また，十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる２けたの自然数は，自然数Ａの２倍より９だけ小さい。 このとき，自然数Ａを求めなさい。

ある店でシャツＡをまとめて２着以上買うと、１着目のシャツは定価のままですが、２着目のシャツは定価の１０％引きの価格となり、３着目以降のシャツは定価の３０％引きの価格となります。この店でシャツＡをまとめて４着買ったところ、定価で４着買うより１０５０円安くなりました。シャツＡの定価はいくらですか。 シャツＡの定価を \(x\) として方程式を作り、求めなさい。

１．連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に大きい数の積から１番小さい数と２番目に小さい数の積を引いたときの差は，その連続する４つの整数の和になることを証明しなさい。 ２．連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に小さい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明しなさい。 ３．連続する５つの整数について，２番目に小さい数と１番大きい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明しなさい。