問題
右の図のような，ＡＤ＝３ｃｍ，ＢＣ＝ \(2\sqrt{2}\)ｃｍ，ＣＤ＝\(\sqrt{2}\) ｃｍ ，∠ＢＣＤ＝９０° 四角形ＡＢＣＤがあり，∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣである。また、線分ＡＣと線分ＢＤの交点をEとする。
このとき，次の問いに答えなさい。
（１）△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
（２）△ＥＢＣと△ＥＡＤの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
解説
△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積の比を求めなさい
問題を解くための準備
問題からわかる条件
ＡＤ＝ \(3cm\)
ＢＣ＝\(2\sqrt{2} cm\) ｃｍ
ＣＤ＝ \(\sqrt{2} cm\) ｃｍ
∠ＢＣＤ＝９０°
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ
求める対象が何かを確認しましょう。
△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積の比
四角形ＡＢＣＤの持つ特徴は？
四角形ＡＢＣＤにおいて，△ＡＢＣと△ＢＣＤは，
辺ＢＣが共通，∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ
となっているので，∠ＢＡＣと∠ＢＤＣは弦ＢＣに対する円周角であり，四角形ＡＢＣＤは円に内接することがわかります。
また，∠ＢＣＤ＝９０°より，
線分ＢＤはこの円の直径になります。
ここから，四角形ＡＢＣＤが円に内接していることを利用して解いていきます。
線分ＢＤの長さを求める
△ＢＣＤは直角三角形なので，三平方の定理より，
ＢＤ２＝ＢＣ２＋ＣＤ２
＝ \(2\sqrt{2}\,^2＋\sqrt{2}\,^2\)
＝ \(10\)
ＢＤ＞０なので，ＢＤ＝\(\sqrt{10}\)
線分ＡＢの長さを求める
また，線分ＢＤは直径なので，△ＢＡＤも直角三角形になるので、三平方の定理より，
ＡＢ２＝ＢＤ２ーＡＤ２
＝ \( \sqrt{10}\,^2－ 3\,^2\)
＝ \(1\)
ＡＢ＞０なので、ＡＢ＝ \(1\)
△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積の比を求める
△ＥＡＢと△ＥＤＣは，
問題より，∠ＥＡＢ＝∠ＥＤＣ
対頂角なので，∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ
よって，２組の角の大きさが等しいので，
△ＥＡＢと△ＥＤＣ
また，ＡＢ：ＤＣ＝１：\(\sqrt{2}\) なので、
△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積比は，
△ＥＡＢ：△ＥＤＣ＝１２： \(\sqrt{2}\,^2\)
＝１：２
△ＥＢＣと△ＥＡＤの面積の比を求めなさい
∠ＢＣＡ＝∠ＡＤＢを示す
∠ＢＣＡと∠ＡＤＢは弧ＡＢに対する円周角なので，
∠ＢＣＡ＝∠ＡＤＢ ・・・（１）
∠ＣＢＤ＝∠ＤＡＣを示す
∠ＣＢＤと∠ＤＡＣは弧ＣＤに対する円周角なので，
∠ＣＢＤ＝∠ＤＡＣ ・・・（２）
△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積の比を求める
（１）（２）より，２組の角の大きさが等しいので，
△ＥＢＣ∽△ＥＡＤ
また，ＢＣ：ＡＤ＝\(2\sqrt{2}\)：\(3\)なので、
△ＥＢＣと△ＥＡＤの面積比は，
△ＥＢＣ：△ＥＡＤ＝ \(2\sqrt{2}\,^2\)： \(3\,^2\)
＝ \(8\)：\(9\)
