問題
１．右の図のように４本の直線が交わっており，
直線 \( m // n \)である。
このとき、 \(∠x \) の大きさを求めなさい。
２．右図の長方形ＡＢＣＤにおいて，点 \(Ｅ，Ｆ，Ｇ\)は
それぞれ辺 ＡＤ，ＤＣ，ＢＣ 上の点である。
∠ＤＥＦ＝１８°，∠ＦＧＣ＝２６° のとき，
\(∠x\) の大きさを求めなさい。
３．右の図で \( l // m\) のとき，\(∠x\) の値を求めなさい
４．右の図で \( l // m\) ，ＡＢ＝ＡＣのとき，\(∠x\) の値を求めなさい。
５．右の図で \(l//m\) のとき，\(∠x\) の値を求めなさい。
解答
１．７２°
２．４４°
３．５３°
４．２６°
３．２３°
解説
\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
\(m//n\) より，平行な２直線の錯角は等しいので，
∠ＢＣＤ＝３６° ・・・ （1）
２直線が交わっているとき，対頂角は等しいので，
∠ＥＤＣ＝７２° ・・・ （2）
（1）（2）より三角形の内角の和は１８０°なので，
∠ＣＡＤ＋∠ＡＣＤ＋∠ＡＤＣ＝１８０°
\(x\)＋３６°＋７２°＝１８０°
\(x\)＋１０８°＝１８０°
\(x\)＝７２°
\( ∠x\) の大きさを求めなさい。
この問題は補助線FHがひけるかがポイントです。
点Ｆを通り、辺ＡＤと辺ＢＣに平行な直線を引き、
辺ＡＢとの交点をＨとすると，
平行な２直線の錯角は等しいので，
∠ＥＦＨ＝∠ＤＥＦ＝１８° ・・・ （1）
同様に、
∠ＨＦＧ＝∠ＦＧＣ＝２６° ・・・ （2）
(1)，(2) と与えられた条件より、
∠ＥＦＧ＝∠ＥＦＨ＋∠ＧＦＨ
\(\;x\)＝１８°＋２６°
＝４４°
\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
補助線をひき，∠ＡＢＣを分ける
点Ｂを通り，直線 \( m，n\) に平行な直線 \(p\) をひくと，∠ＡＢＣを上下に分ける形になります。
このとき， 平行な２直線の錯角は等しいので，
∠ＡＢＣ（全）＝∠ＡＢＣ（上）＋∠ＡＢＣ（下）
１２０°＝９０°＋∠ＡＢＣ（下）
∠ＡＢＣ（下）＝３０°
補助線をひき，∠ＢＣＤを分ける
点Ｃを通り，直線 \( m，n\) に平行な直線 \(q\) をひくと，∠ＢＣＤを上下に分ける形になります。
このとき， 平行な２直線の錯角は等しいので，
∠ＢＣＤ（全）＝∠ＢＣＤ（上）＋∠ＢＣＤ（下）
\( x \) ＝３０°＋２３°
\( x \) ＝５３°
になっています。
\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
解答の方針
図から∠\(x\) を直接求めることはできなさそうなので，
△ＡＢＣに注目します。
△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形です。
また，∠ＢＡＣの大きさがわかっていますので，
底角である∠ＡＣＢを求めることができます。
\(l\;//\;m\) なので、∠ＡＣＢは、∠\(x\) と１８°を使って別の方法で表すことができます。
∠ＡＣＢを２通りの方法で表すことができると、方程式が立てられますので、方程式を解くことで∠\(x\) を求めることができます。
∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢを求める
問題で与えられた条件 ＡＢ＝ＡＣ より，△ＡＢＣは二等辺三角形であるとわかります。
二等辺三角形の底角は等しく，また，三角形の内角の和は１８０°なので，
∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°
∠ＡＢＣ＋９２°＋∠ＡＣＢ＝１８０°
∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝８８°
２∠ＡＣＢ＝８８°
∠ＡＣＢ＝４４° ・・・ （1）
補助線をひき，∠ＡＣＢを２つに分ける
点Ｃを通り，直線 \( l，m \) に平行な直線 \( n \) をひくと，∠ＡＣＢを上下に分ける形になります。
このとき， 平行な２直線の錯角は等しいので，
∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＢ（上）＋∠ＡＣＢ（下）
＝\( x \)＋１８° ・・・ （2）
になっています。
∠ＡＣＢを求める
（1）（2）は同じ∠ＡＣＢを表しているので，
∠ＡＣＢ＝４４°＝\( x \)＋１８°
\(\;\; x \)＝２６°
となります。
小問５．
∠ＡＤＥの大きさを直線 \(l，m\) の関係性から導く
直線 \(l，m\) において，平行な２直線の錯角は等しいので，
∠ＡＤＥ＝９０°＋\( x \) ・・・ （1）
∠ＡＥＤの大きさを求める
∠ＡＥＣは一直線上の点なので，
∠ＡＥＤ＝\(180°\)－∠ＤＥＣ
＝\(180°－140°\)
＝\(40°\)
∠ＡＤＥの大きさを△ＡＤＥの内角と外角の和から導く
△ＡＤＥにおいて，三角形の内角の和は \(180°\) なので，
∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＥ＋∠ＥＡＤ＝\(180°\)
∠ＡＤＥ＋\(27°\)＋\(40°\)＝\(180°\)
∠ＡＤＥ＝\(113°\)・・（2）
（1）＝（2）より，
\(90°＋ x ＝113°\)
\( x ＝23°\)
