問題
１．△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似であり，その相似比は１：３である。このとき，△ＤＥＦの面積は△ＡＢＣの何倍か答えなさい。
２．右の図のように２つの直線 \(l\) ， \(m\) が，３つの直線 \(p\) ，\(q\) ，\(r\) のと交わるとき， \(x\) の値を求めなさい
３．右の図のような直角三角形ＡＢＣがある。△ＡＣＤがＡＣ＝ＡＤの直角二等辺三角形となるようにＤをとる。また，点Ｄから辺ＡＢに垂線をひき，辺ＡＢとの交点をＥとする。
このとき，△ＡＢＣ∽△ＡＣＤを証明しなさい。
解説
相似比が１：３のとき，△ＤＥＦの面積は△ＡＢＣの何倍？
解答の方針
相似な三角形の対応する辺の長さの比は，相似比と等しくなります。
このことから、△ＡＢＣの底辺と高さを文字で表すと，
△ＤＥＦの底辺と高さも同じ文字と相似比を使って表すことができます。
これにより，△ＡＢＣと△ＤＥＦの面積を文字式で表し，比較できるようになります。
△ ＡＢＣと△ＤＥＦの底辺と高さを文字式で表す
相似な三角形の対応する辺の長さの比は，相似比と等しくなりますので，
△ＤＥＦの底辺の長さは△ＡＢＣの底辺の長さの３倍になります。
また，辺の長さが３倍になることから△ＤＥＦの高さも△ＡＢＣの高さの３倍になります。
底辺が３倍になると，高さも３倍になります。以上より，
△ＡＢＣの底辺を \(a\)，高さを \(h\) とするとき，
△ＤＥＦの底辺は \(3a\)，高さは \(3h\) と表すことができます。
△ ＡＢＣと△ＤＥＦの面積を文字式で表す
底辺が \(a\)，高さが \(h\) の △ＡＢＣの面積は，
△ＡＢＣの面積＝ \(a\) ✕ \(h\) ✕ \(\displaystyle\frac{1}{2}\)
＝\(\displaystyle\frac{1}{2}ah\) ・・・ （1）
底辺が \(3a\)，高さが \(3h\) の △ＤＥＦの面積は，
△ＤＥＦの面積＝ \(3a\) ✕ \(3h\) ✕ \(\displaystyle\frac{1}{2}\)
＝\(\displaystyle\frac{9}{2}ah\) ・・・ （2）
となります。
△ ＡＢＣと△ＤＥＦの面積の比を求める
（1）（2）より，
△ＡＢＣの面積：△ＤＥＦの面積＝\(\displaystyle\frac{1}{2}ah\)：\(\displaystyle\frac{9}{2}ah\)
＝\(1\)：\(9\)
となるので，△ＤＥＦの面積は△ＡＢＣの面積の９倍になります。
底辺と高さが両方３倍になるので，面積は９倍になります。 相似比がａ：ｂの三角形の性質
辺の長さの比 ・・・ ａ：ｂ
面積の比 ・・・ ａ2：ｂ2
\(x\) の値を求めなさい
右の図のとおり，平行な２直線の錯角は等しいので
2組の角の大きさが等しくなります。
よって，上の三角形と下の三角形は相似です。
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
２：\(x\)＝３：７.５
３\(x\)＝１５
\(x\)＝５(cm)
平行な２直線の錯角は等しい
三角形の相似条件
２組の角の大きさが等しい
相似な三角形の性質
対応する辺の比は等しい
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤを証明しなさい。
問題を解くための準備
問題文からわかる前提条件
ＡＣ＝ＡＤ
∠ＤＡＣ＝９０°
∠ＡＣＢ＝９０°
∠ＤＥＡ＝９０°
求める対象
△ＡＢＣ∽△ＤＡＥ
解答の方針
△ＡＢＣ∽△ＤＡＥを証明するために，三角形の相似条件の１つを満たしていることを証明します。
この問題では，特徴となる９０°が３か所あることに注目します。
９０°と∠ＢＡＣを利用することで∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＥを説明できます。
∠ＤＡＥ＝９０°ー∠ＢＡＣを示す
問題文より，△ＡＣＤはＡＣ＝ＡＤの直角二等辺三角形なので，
∠ＤＡＣ＝９０°
また，∠ＤＡＣは∠ＤＡＥと∠ＢＡＣに分けることができるので，
∠ＤＡＣ＝９０°
∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＣ＝９０°
∠ＤＡＥ＝９０°ー∠ＢＡＣ・・・（1）
∠ＡＢＣ＝９０°ー∠ＢＡＣを示す
問題文より，△ＡＢＣにおいて∠ＡＣＢ＝９０°になっています。
また、三角形の内角の和は１８０°なので，
∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°
∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＋９０°＝１８０°
∠ＡＢＣ＝９０°ー∠ＢＡＣ ・・・（2）
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤを示す
（1）（2）より，∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＥ
また、問題文より，∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＡ
となり，２組の角の大きさが等しいので，
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ となります。
