問題
問題１．∠ \(x\) の大きさを求めなさい。
問題２．∠ \(x\) の大きさを求めなさい。
問題３．右の図のように，線分ＡＥとＢＤが交わって
おり，ＡＢ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＥである。
∠ＢＡＣ＝４４°のとき，∠ＣＤＥの大きさ
を求めなさい。
問題４．右の図のように，△ＡＢＣの辺ＡＢ上に点Ｄ，辺ＢＣ上に点Ｅがあり，∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＤ＝４０°，∠ＡＦＣ＝１１５° となっている。
また，線分ＡＥと線分ＣＤの交点をＦとするとき、∠ＡＢＣの大きさを求めなさい。
解説
小問１．
三角形の外角はとなりあっていない内角の和と
等しいので，
∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＝６２°＋４４°
\(\:\)＝１０６°
小問２．
解答の方針
まず，内角の大きさが２つわかっている三角形を探してみると，△ＡＤＥは∠ＡＥＤと∠ＥＡＤの２つの内角がわかっています。
このことから，∠ＡＤＥと∠ＦＤＢの大きさがわかります。
次に∠\(x\) が内角になる三角形を探すと，△ＡＢＣと△ＤＢＦが見つかります。
ここで，△ＤＢＦに注目すると，∠ＤＦＣが外角になっていることがわかります。
∠ＥＤＢを求める
△ＡＤＥに注目すると，∠ＥＤＢが外角になっているので，
∠ＦＤＢ＝∠ＥＡＤ＋∠ＡＥＤ
＝３７°＋２３°
＝５７°
∠ \(x\) を求める
次に，△ＤＢＦに注目すると，∠ＣＦＤが外角になっているので，
∠ＤＢＦ＋∠ＦＤＢ＝∠ＣＦＤ
\(x\) ＋５７°＝９７°
\(\:x\) ＝４０°
小問３．
解答するための準備
問題文からわかる前提条件
ＡＢ＝ＡＣ
ＣＤ＝ＣＥ
求める対象
∠ＣＤＥの大きさ
△ＡＢＣの底角を求める
△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形なので，
底角は等しく，
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
よって，
∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°
４４°＋２ ✕ ∠ＡＣＢ＝１８０°
２ ✕ ∠ＡＣＢ＝１８０°ー４４°
∠ＡＣＢ＝６８°
∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＤを示す
直線が交わってできる対頂角は等しいので，
∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＤ＝６８°
∠ＣＤＥを求める
△ＣＥＤはＣＥ＝ＣＤの二等辺三角形なので，
底角は等しく，
∠ＣＥＤ＝∠ＣＤＥ
よって，
∠ＥＣＤ＋∠ＣＥＤ＋∠ＣＤＥ＝１８０°
６８°＋２ ✕ ∠ＣＤＥ＝１８０°
２ ✕ ∠ＣＤＥ＝１８０°ー６８°
∠ＣＤＥ＝５６°
小問４．
解答の方針
∠ＡＢＣが内角となり、さらにもう１つの内角がわかっている△ＢＣＤに注目します。
ここで、∠ＣＤＡは外角になっていることがわかります。
また、∠ＡＦＣは△ＡＤＦの外角になっているので、これらを組み合わせると解答できます。
∠ＡＤＦを求める
∠ＡＦＣは△ＡＤＦの外角なので，
∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＦ＝∠ＡＦＣ
∠ＡＤＦ＋４０°＝１１５°
∠ＡＤＦ＝１１５°ー４０°
∠ＡＤＦ＝７５°
∠ＣＢＤを求める
∠ＡＤＦは△ＢＣＤの外角なので，
∠ＣＢＤ＋∠ＤＣＢ＝∠ＡＤＦ
∠ＣＢＤ＋４０°＝７５°
∠ＣＢＤ＝７５°－４０°
∠ＣＢＤ＝３５°
